Ультрагиперболическое уравнение
В области математики уравнений в частных производных ультрагиперболическое уравнение представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных для неизвестной скалярной функции u от 2 n переменных x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y n вида
В более общем смысле, если a - любая квадратичная форма от 2 n переменных с сигнатурой ( n , n ), то любое УЧП, главная часть которого равна, называется ультрагиперболическим. Любое такое уравнение можно привести к указанному выше виду с помощью замены переменных. [1]
Ультрагиперболическое уравнение изучалось с ряда точек зрения. С одной стороны, оно напоминает классическое волновое уравнение . Это привело к ряду разработок, касающихся его характеристик , одна из которых принадлежит Фрицу Джону : уравнение Джона .
В 2008 году Уолтер Крейг и Стивен Вайнштейн доказали, что при нелокальном ограничении задача с начальными значениями корректна для начальных данных, заданных на гиперповерхности коразмерности один. [2]
Уравнение изучалось также с точки зрения симметрических пространств и эллиптических дифференциальных операторов . [3] В частности, ультрагиперболическое уравнение удовлетворяет аналогу теоремы о среднем значении для гармонических функций .