Неполная гамма-функция

Верхняя неполная гамма-функция для некоторых значений s: 0 (синий), 1 (красный), 2 (зеленый), 3 (оранжевый), 4 (фиолетовый).

В математике , то верхние и нижний неполные функции гамма являются типами специальных функций , которые возникают как решения различных математических задач , такие как определенные интегралы .

Их соответствующие имена происходят от их интегральных определений, которые определены аналогично гамма-функции, но с другими или «неполными» интегральными пределами. Гамма-функция определяется как интеграл от нуля до бесконечности. Это контрастирует с нижней неполной гамма-функцией, которая определяется как интеграл от нуля до переменного верхнего предела. Аналогичным образом, неполная верхняя гамма-функция определяется как интеграл от нижнего предела переменной до бесконечности.

Определение [ править ]

Верхняя неполная гамма-функция определяется как:

${\ Displaystyle \ Gamma (s, x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t, \, \!}$

тогда как нижняя неполная гамма-функция определяется как:

${\ displaystyle \ gamma (s, x) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t. \, \ !}$

Свойства [ править ]

В обоих случаях s является комплексным параметром, так что действительная часть s положительна.

По интегрирования по частям находим рекуррентные соотношения

${\ Displaystyle \ Gamma (s + 1, x) = s \ Gamma (s, x) + x ^ {s} e ^ {- x}}$

и

${\ displaystyle \ gamma (s + 1, x) = s \ gamma (s, x) -x ^ {s} e ^ {- x}.}$

Поскольку обычная гамма-функция определяется как

${\ displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t}$

у нас есть

${\ Displaystyle \ Gamma (s) = \ Gamma (s, 0) = \ lim _ {x \ to \ infty} \ gamma (s, x)}$

и

${\ Displaystyle \ gamma (s, x) + \ Gamma (s, x) = \ Gamma (s).}$

Продолжение до сложных значений [ править ]

Нижняя неполная гамма и верхняя неполная гамма-функция, как определено выше для действительных положительных s и x , могут быть преобразованы в голоморфные функции как по x, так и по s , определенные для почти всех комбинаций комплексных x и s . ^[1] Комплексный анализ показывает, как свойства реальных неполных гамма-функций распространяются на их голоморфные аналоги.

Нижняя неполная гамма-функция [ править ]

Голоморфное расширение [ править ]

Повторное применение рекуррентного соотношения для нижней неполной гамма- функции приводит к разложению в степенной ряд : [2]

${\ displaystyle \ gamma (s, x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s} e ^ {- x} x ^ {k}} {s (s + 1) \ cdots (s + k)}} = x ^ {s} \, \ Gamma (s) \, e ^ {- x} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {\ Gamma (s + k + 1)}}.}$

Учитывая быстрый рост в абсолютной величине из Г ( г + K ) , когда K  → ∞, а также тот факт , что обратный Г ( г ) является целой функцией , коэффициенты в крайнем правом сумме корректно определены, и локально сумма сходится равномерно для всех комплексных s и x . По теореме Вейерштрасса ^[2] предельная функция, иногда обозначаемая как ,${\ displaystyle \ gamma ^ {*}}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {*} (s, z): = e ^ {- z} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {\ Gamma (s + k + 1)}}}$ [3]

это все по отношению к обоим г (при фиксированном s ) и S (при фиксированном г ) [4] , и, таким образом, голоморфному на ℂ × ℂ по теореме Hartog в [5] . Следовательно, следующее разложение

${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z)}$ [6] ,

расширяет действительную нижнюю неполную гамма-функцию как голоморфную функцию как совместно, так и отдельно по z и s . Как следует из свойств и Г-функции , что первые два фактора захвата особенности из (при г = 0 или ев не-целое положительное число), в то время как последний фактор вносит свой вклад в ее нулей.${\displaystyle z^{s}}$${\displaystyle \gamma (s,z)}$

Многозначность [ править ]

Комплексный логарифм лог  г  = Журнал | z | +  i  arg  z определяется только с точностью, кратной 2πi, что делает его многозначным . Функции, использующие комплексный логарифм, обычно наследуют это свойство. Среди них комплексная степень и, поскольку в его разложении фигурирует z ^s , также и γ-функция.

Неопределенность многозначных функций вносит сложности, поскольку необходимо указать, как выбрать значение. Стратегии решения этой проблемы:

• (наиболее общий способ) заменить область многозначных функций подходящим многообразием в ×, называемым римановой поверхностью . Хотя это устраняет многозначность, необходимо знать стоящую за этим теорию [7] ;
• ограничить область определения таким образом, чтобы многозначная функция распадалась на отдельные однозначные ветви , которые можно обрабатывать индивидуально.

Для правильной интерпретации формул в этом разделе можно использовать следующий набор правил. Если не указано иное, предполагается следующее:

Секторы [ править ]

Секторы в ℂ, имеющие вершину в z = 0, часто оказываются подходящими областями для сложных выражений. Сектор D состоит из всех комплексных z, удовлетворяющих z ≠ 0 и α - δ <arg z < α + δ с некоторым α и 0 < δ ≤ π . Часто α можно выбрать произвольно и при этом не указывать. Если δ не указано, предполагается, что оно равно π, а сектор фактически представляет собой всю плоскость ℂ, за исключением полупрямой, начинающейся в точке z = 0 и направленной в направлении - α, обычно служащий срезом ветки . Примечание: во многих приложениях и текстах α молчаливо принимается равным 0, что центрирует сектор вокруг положительной действительной оси.

Филиалы [ править ]

В частности, однозначный и голоморфный логарифм существует на любом таком секторе D, мнимая часть которого привязана к диапазону ( α - δ , α + δ ). На основе такого ограниченного логарифма z ^s и неполные гамма-функции, в свою очередь, коллапсируют до однозначных голоморфных функций на D (или ℂ × D ), называемых ветвями их многозначных аналогов на D. Добавление кратного 2π к α дает разный набор коррелированных ветвей на том же множестве D . Однако в любом данном контексте αсчитается фиксированным, и с ним связаны все задействованные ветви. Если | α | < δ ветви называются главными , так как они равны своим действительным аналогам на положительной вещественной оси. Примечание. Во многих приложениях и текстах формулы верны только для основных ветвей.

Связь между ветками [ править ]

Значения различных ветвей как комплексной степенной функции, так и нижней неполной гамма-функции могут быть получены друг из друга путем умножения [8] для подходящего целого числа k .${\displaystyle e^{2\pi \mathrm {i} ks}}$

Поведение возле точки ветвления [ править ]

Приведенное выше разложение дополнительно показывает, что γ ведет себя около z = 0 асимптотически, как:

${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$

Для положительных вещественных x , y и s , x ^y / y → 0, когда ( x , y ) → (0, s ). Кажется, это оправдывает установку γ (s, 0) = 0 для действительного s > 0. Однако в сложной области дела обстоят несколько иначе. Только если (а) действительная часть s положительна и (б) значения u ^v взяты только из конечного набора ветвей, они гарантированно сходятся к нулю при ( u , v ) → (0, s ), и γ ( u , v). На одной ветви из & gamma ; ( б ) естественно выполняется, поэтому существует γ ( s , 0) = 0 при х с положительной вещественной частью является непрерывный предел . Также отметим, что такое продолжение ни в коем случае не является аналитическим .

Алгебраические отношения [ править ]

Все алгебраические соотношения и дифференциальные уравнения, наблюдаемые вещественным γ ( s , z ), верны и для его голоморфного аналога. Это следствие теоремы о тождестве [9] , утверждающей, что уравнения между голоморфными функциями, действительными на вещественном интервале, выполняются всюду. В частности, рекуррентное соотношение [10] и ∂γ ( s , z ) / ∂z = z ^{s −1} e ^{- z} [11] сохраняются на соответствующих ветвях.

Интегральное представление [ править ]

Последнее соотношение говорит нам, что при фиксированном s , γ является примитивом или первообразной голоморфной функции z ^{s −1} e ^{- z} . Следовательно, [12] для любого комплекса u , v ≠ 0,

${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$

выполняется до тех пор, пока путь интегрирования полностью содержится в области определения ветви подынтегрального выражения. Если, кроме того, действительная часть s положительна, то применяется предел γ ( s , u ) → 0 при u → 0, что в итоге приводит к комплексному интегральному определению γ

${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t,\,\Re (s)>0.}$[13]

Здесь действителен любой путь интегрирования, содержащий 0 только в начале, иначе ограниченный областью ветви подынтегрального выражения, например прямая линия, соединяющая 0 и z .

Предел для z → + ∞ [ править ]

Реальные ценности [ править ]

Учитывая интегральное представление главной ветви кривой γ, для всех положительных вещественных s, x выполняется следующее уравнение: [14]

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t=\lim _{x\rightarrow \infty }\gamma (s,x)}$

S комплекс [ править ]

Этот результат распространяется на комплексные s . Предположим, сначала 1 ≤ Re (s) ≤ 2 и 1 <a <b . потом

${\displaystyle |\gamma (s,b)-\gamma (s,a)|\leq \int _{a}^{b}|t^{s-1}|e^{-t}\,{\rm {d}}t=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,{\rm {d}}t}$

куда

${\displaystyle |z^{s}|=|z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$[15]

был использован в середине. Поскольку окончательный интеграл становится сколь угодно малым, если только a достаточно велико, γ (s, x) сходится равномерно при x → ∞ на полосе 1 ≤ Re (s) ≤ 2 к голоморфной функции ^[3], которая должна быть Γ ( s) в силу теоремы тождества [16] . Переходя к пределу в рекуррентном соотношении γ ( s , x ) = ( s  - 1) γ ( s  - 1, x ) -  x ^{s −1} e ^{- x} и отмечая, что lim x ⁿ e ^{- x}= 0 при x → ∞ и всех n, показывает, что γ (s, x) сходится и вне полосы к функции, подчиняющейся рекуррентному соотношению Γ-функции. Следует

${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\rightarrow \infty }\gamma (s,x)}$

для всех комплексных s, не являющихся положительным целым числом, x вещественным и γ основным.

Секторная конвергенция [ править ]

Пусть теперь u из сектора | arg z | < δ < π / 2 с некоторым фиксированным δ ( α = 0), γ - главная ветвь в этом секторе, и посмотрим на

${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}$

Как показано выше, первое различие можно сделать сколь угодно малым, если | u | достаточно большой. Второе отличие позволяет сделать следующие оценки:

${\displaystyle |\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)|\leq \int _{u}^{|u|}|z^{s-1}e^{-z}|\,{\rm {d}}z=\int _{u}^{|u|}|z|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,{\rm {d}}z,}$

где мы использовали интегральное представление γ и формулу о | z ^s | над. Если проинтегрировать по дуге радиуса R = | u | около 0, соединяющего u и | u |, то последний интеграл равен

${\displaystyle \leq R|\arg u|\,R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$

где М = δ (COS δ ) ^{-Re ы} е ^{Im sδ} является постоянная , не зависящая от U или R . Снова обращаясь к поведению x ⁿ e ^{- x} для больших x , мы видим, что последнее выражение приближается к 0, когда R увеличивается к ∞. Всего у нас теперь есть:

${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\rightarrow \infty }\gamma (s,z),\quad |\arg z|<\pi /2-\epsilon ,}$

если s не является неотрицательным целым числом, 0 < ε < π / 2 произвольно мало, но фиксировано, а γ обозначает главную ветвь в этой области.

Обзор [ править ]

${\displaystyle \gamma (s,z)}$ является:

• целиком по z для фиксированного положительного интеграла s;
• многозначная голоморфная по z для фиксированного s, не целого, с точкой ветвления в z = 0;
• на каждой ветви, мероморфной по s при фиксированном z ≠ 0, с простыми полюсами в неположительных целых числах s.

Верхняя неполная гамма-функция [ править ]

Что касается неполной верхней гамма-функции , голоморфное расширение по z или s задается формулой

${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$ [17]

в точках ( s , z ), где существует правая часть. Поскольку является многозначным, то же самое верно для , но ограничение на главные значения дает только однозначную главную ветвь .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

Когда s является неположительным целым числом в приведенном выше уравнении, ни одна из частей разницы не определена, и ограничивающий процесс , разработанный здесь для s → 0, заполняет пропущенные значения. Комплексный анализ гарантирует голоморфность , поскольку оказывается ограниченным в окрестности этого предела при фиксированном z [18] .${\displaystyle \Gamma (s,z)}$

Для определения предела полезен степенной ряд при z = 0. При замене его степенным рядом в интегральном определении , получаем (предположим, что x , s положительные действительные числа):${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle e^{-x}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\operatorname {d} t=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\operatorname {d} t=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}}$

или же

${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}}.}$ [19]

которое, как последовательное представление всей функции, сходится для всех комплексных x (и всех комплексных s, не являющихся целым неположительным числом).${\displaystyle \gamma ^{*}}$

С снятием ограничения на реальные значения, серия допускает расширение:

${\displaystyle \gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.}$

Когда s  → 0:

${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\rightarrow \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\rightarrow -\gamma }$, ^[4]

( Это константа Эйлера-Mascheroni здесь), следовательно,${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma (0,z)=\lim _{s\rightarrow 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!)}}}$

является предельной функцией для верхней неполной гамма-функции при s  → 0, также известной как экспоненциальный интеграл . ^[5]${\displaystyle E_{1}(z)}$

Посредством рекуррентного соотношения значения для натуральных чисел n могут быть получены из этого результата ^[6]${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$

${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+(-1)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$

таким образом, верхняя неполная гамма-функция оказывается существующей и голоморфной как по z, так и по s для всех s и z  ≠ 0.

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$ является:

• целиком по z для фиксированного положительного интеграла s;
• многозначный голоморфный по z для фиксированного ненулевого s, отличного от положительного целого числа, с точкой ветвления в z = 0;
• = для s с положительной действительной частью и z = 0 (предел, когда ), но это непрерывное расширение, а не аналитическое ( не выполняется для действительного s <0!);${\displaystyle \Gamma (s)}$${\displaystyle (s_{i},z_{i})\rightarrow (s,0)}$
• на каждой ветви, целой по s при фиксированном z ≠ 0.

Особые значения [ править ]

• ${\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}$если s - положительное целое число ,
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$если s - натуральное число , ^[7]
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$для ,${\displaystyle x>0}$
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$,
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$.

Здесь, является экспоненциальным интегралом , является обобщенным экспоненциальным интегралом , является функцией ошибки , и это дополнительная функция ошибок , .${\displaystyle \operatorname {Ei} }$${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$${\displaystyle \operatorname {erf} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$

Асимптотическое поведение [ править ]

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow {\frac {1}{s}}}$как ,${\displaystyle x\rightarrow 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow -{\frac {1}{s}}}$as и (для вещественных s ошибка Γ ( s , x ) ~ - x ^s / s порядка O ( x ^{min { s + 1, 0}} ), если s ≠ −1 и O (ln ( x )), если s = −1 ),${\displaystyle x\rightarrow 0}$${\displaystyle \Re (s)<0}$
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\rightarrow \Gamma (s)}$как ,${\displaystyle x\rightarrow \infty }$
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\rightarrow 1}$как ,${\displaystyle x\rightarrow \infty }$
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$как асимптотический ряд где и . ^[8]${\displaystyle |z|\to \infty }$${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$

Формулы оценки [ править ]

Нижнюю гамма-функцию можно оценить с помощью разложения в степенной ряд: [20]

${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)...(s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}}$

где - символ Почхаммера .${\displaystyle s^{\overline {k+1}}}$

Альтернативное расширение

${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$

где M - вырожденная гипергеометрическая функция Куммера .

Связь с конфлюэнтной гипергеометрической функцией Куммера [ править ]

Когда действительная часть z положительна,

${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$

куда

${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$

имеет бесконечный радиус сходимости.

Снова с конфлюэнтными гипергеометрическими функциями и с использованием тождества Куммера,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}{\rm {d}}u=\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}{\rm {d}}u=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}{\rm {d}}u.\end{aligned}}}$

Для фактического вычисления числовых значений непрерывная дробь Гаусса обеспечивает полезное разложение:

${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Эта цепная дробь сходится для всех комплексных z , если только s не является отрицательным целым числом.

Верхняя гамма-функция имеет непрерывную дробь

${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$^[9]

и

${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$^{[ необходима цитата ]}

Теорема умножения [ править ]

Справедлива следующая теорема умножения :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}$

Программная реализация [ править ]

Неполные гамма-функции доступны в различных системах компьютерной алгебры .

Однако, даже если они недоступны напрямую, неполные значения функций можно вычислить с помощью функций, обычно включаемых в электронные таблицы (и пакеты компьютерной алгебры). В Excel , например, они могут быть рассчитаны с помощью функции гаммы в сочетании с функцией распределения гамма .

Нижняя неполная функция: = EXP (GAMMALN (s)) * GAMMA.DIST (x, s, 1, TRUE)${\displaystyle \gamma (s,x)}$

Верхняя неполная функция: = EXP (GAMMALN (s)) * (1-GAMMA.DIST (x, s, 1, TRUE)) .${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

Они следуют из определения кумулятивной функции распределения гамма-распределения .

Регуляризованные гамма-функции и случайные величины Пуассона [ править ]

Две связанные функции - это регуляризованные гамма-функции:

${\displaystyle P(s,x)={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},}$

${\displaystyle Q(s,x)={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).}$

${\displaystyle P(s,x)}$это интегральная функция распределения для гаммы случайных величин с параметром формы и масштабом параметром 1.${\displaystyle s}$

Когда - целое число, - кумулятивная функция распределения для случайных величин Пуассона : Если - случайная величина, то${\displaystyle s}$${\displaystyle Q(s,\lambda )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\rm {Poi}}(\lambda )}$

${\displaystyle Pr(X<s)=\sum _{i<s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s,\lambda )}{\Gamma (s)}}=Q(s,\lambda ).}$

Эта формула может быть получена путем многократного интегрирования по частям.

Производные [ править ]

Используя приведенное выше интегральное представление, производная верхней неполной гамма-функции по x равна${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$

Производная по первому аргументу дается формулой ^[10]${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$

а вторую производную по

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)]}$

где функция является частным случаем G-функции Мейера${\displaystyle T(m,s,x)}$

${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$

Этот частный случай имеет собственные свойства внутреннего замыкания, потому что его можно использовать для выражения всех последовательных производных. В целом,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$

где - перестановка, определяемая символом Поххаммера :${\displaystyle P_{j}^{n}}$

${\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$

Все такие производные могут быть последовательно получены из:

${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$

и

${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{x}}[T(m-1,s,x)+T(m,s,x)]}$

Эта функция может быть вычислена из ее представления в виде ряда, действительного для , ${\displaystyle T(m,s,x)}$${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}}$

с пониманием того, что s не является отрицательным целым числом или нулем. В таком случае необходимо использовать лимит. Результаты для могут быть получены аналитическим продолжением . Некоторые частные случаи этой функции можно упростить. Например, , где является интегральной показательной . Эти производные и функция обеспечивают точные решения ряда интегралов путем повторного дифференцирования интегрального определения верхней неполной гамма-функции. ^{[11] [12]} Например,${\displaystyle |z|\geq 1}$${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$${\displaystyle x\,T(3,1,x)={\rm {E}}_{1}(x)}$${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)}$${\displaystyle T(m,s,x)}$

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}{\rm {d}}t={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}{\rm {d}}t={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$

Эта формула может быть дополнительно завышена или обобщается на огромный класс преобразований Лапласа и Меллин . В сочетании с системой компьютерной алгебры использование специальных функций обеспечивает мощный метод решения определенных интегралов, в частности тех, которые встречаются в практических инженерных приложениях (см. Более подробную информацию в разделе « Символьная интеграция» ).

Неопределенные и определенные интегралы [ править ]

Следующие неопределенные интегралы легко получить с помощью интегрирования по частям (с опущенной постоянной интегрирования в обоих случаях):

${\displaystyle \int x^{b-1}\gamma (s,x)\mathrm {d} x={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),}$

${\displaystyle \int x^{b-1}\Gamma (s,x)\mathrm {d} x={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).}$

Нижняя и верхняя неполные гамма-функции связаны через преобразование Фурье :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}\mathrm {d} z={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$

Это следует, например, из подходящей специализации ( Градштейн и Рыжик 2015 , §7.642) . harv error: no target: CITEREFGradshteynRyzhik2015 (help)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 6.5». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 . «Неполная гамма-функция» . §6.5.
• Алласия, Джампьетро; Безенги, Рената (1986). «Численный расчет неполных гамма-функций по правилу трапеций». Нумер. Математика . 50 (4): 419–428. DOI : 10.1007 / BF01396662 . S2CID  121964300 .
• Аморе, Паоло (2005). «Асимптотические и точные представления в виде ряда для неполной гамма-функции». Europhys. Lett . 71 (1): 1–7. arXiv : math-ph / 0501019 . Bibcode : 2005EL ..... 71 .... 1A . DOI : 10,1209 / EPL / i2005-10066-6 . Руководство по ремонту  2170316 . S2CID  1921569 .
• Г. Арфкен и Х. Вебер. Математические методы для физиков . Harcourt / Academic Press, 2000. (См. Главу 10.)
• ДиДонато, Армидо Р .; Моррис-младший, Альфред Х. (декабрь 1986 г.). «Вычисление отношений неполных гамма-функций и их обратных». Транзакции ACM на математическом программном обеспечении . 12 (4): 377–393. DOI : 10.1145 / 22721.23109 . S2CID  14351930 .
• Баракат, Ричард (1961). «Оценка неполной гамма-функции мнимого аргумента полиномами Чебышева» . Математика. Комп . 15 (73): 7–11. DOI : 10.1090 / s0025-5718-1961-0128058-1 . Руководство по ремонту  0128058 .
• Царский Петр; Поласек, Мартин (1998). «Неполная гамма- функция F_m (x) для вещественных и комплексных аргументов». J. Comput. Phys . 143 (1): 259–265. Bibcode : 1998JCoPh.143..259C . DOI : 10,1006 / jcph.1998.5975 . Руководство по ремонту  1624704 .
• Чаудри, М. Аслам; Зубаир, С.М. (1995). «О разложении обобщенных неполных гамма-функций с приложениями к преобразованиям Фурье» . J. Comput. Прил. Математика . 59 (101): 253–284. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (94) 00026-W . Руководство по ремонту  1346414 .
• ДиДонато, Армидо Р .; Моррис-младший, Альфред Х. (сентябрь 1987 г.). «АЛГОРИТМ 654: подпрограммы FORTRAN для вычисления неполных соотношений гамма-функций и их обратных» . Транзакции ACM на математическом программном обеспечении . 13 (3): 318–319. DOI : 10.1145 / 29380.214348 . S2CID  19902932 . (См. Также www.netlib.org/toms/654 ).
• Früchtl, H .; Отто, П. (1994). «Новый алгоритм оценки неполной гамма-функции на векторных компьютерах». ACM Trans. Математика. Софтв . 20 (4): 436–446. DOI : 10.1145 / 198429.198432 . S2CID  16737306 .
• Гаучи, Уолтер (1998). «Неполная гамма-функция времен Трикоми». Atti Convegni Lincei . 147 : 203–237. Руководство по ремонту  1737497 .
• Гаучи, Уолтер (1999). «Примечание о рекурсивном вычислении неполных гамма-функций». ACM Trans. Математика. Софтв . 25 (1): 101–107. DOI : 10.1145 / 305658.305717 . Руководство по ремонту  1697463 . S2CID  36469885 .
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015 г.) [октябрь 2014 г.]. «8.35.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc., стр. 908–911. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 .
• Джонс, Уильям Б .; Трон, WJ (1985). «О вычислении неполных гамма-функций в комплексной области» . J. Comput. Прил. Математика . 12–13: 401–417. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (85) 90034-2 . Руководство по ремонту  0793971 .
• "Неполная гамма-функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Матар, Ричард Дж. (2004). «Численное представление неполной гамма-функции комплексного аргумента». Численные алгоритмы . 36 (3): 247–264. arXiv : math / 0306184 . Bibcode : 2004NuAlg..36..247M . DOI : 10,1023 / Б: NUMA.0000040063.91709.58 . Руководство по ремонту  2091195 . S2CID  30860614 .
• Miller, Allen R .; Московиц, Ира С. (1998). «О некоторых обобщенных неполных гамма-функциях» . J. Comput. Прил. Математика . 91 (2): 179–190. DOI : 10.1016 / s0377-0427 (98) 00031-4 .
• Париж, RB (2010), «Неполная гамма-функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Париж, РБ (2002). «Равномерное асимптотическое разложение неполной гамма-функции» . J. Comput. Прил. Математика . 148 (2): 323–339. Bibcode : 2002JCoAM.148..323P . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (02) 00553-8 . MR  1936142 .
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Такенага, Рой (1966). «Об оценке неполной гамма-функции» . Математика. Комп . 20 (96): 606–610. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1966-0203911-3 . Руководство по ремонту  0203911 .
• Темме, Нико (1975). «Равномерные асимптотические разложения неполных гамма-функций и неполных бета-функций» . Математика. Комп . 29 (132): 1109–1114. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1975-0387674-2 . Руководство по ремонту  0387674 .
• Террас, Рихо (1979). «Определение неполных гамма-функций посредством аналитического интегрирования». J. Comput. Phys . 31 (1): 146–151. Bibcode : 1979JCoPh..31..146T . DOI : 10.1016 / 0021-9991 (79) 90066-4 . Руководство по ремонту  0531128 .
• Трикоми, Франческо Г. (1950). "Sulla funzione gamma incompleta". Анна. Мат. Pura Appl . 31 : 263–279. DOI : 10.1007 / BF02428264 . Руководство по ремонту  0047834 . S2CID  120404791 .
• Трикоми, Ф.Г. (1950). "Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Гаммафункция". Математика. Z . 53 (2): 136–148. DOI : 10.1007 / bf01162409 . Руководство по ремонту  0045253 . S2CID  121234109 .
• ван Деун, Йорис; Охлаждает, Рональд (2006). «Устойчивое повторение неполной гамма-функции с мнимым вторым аргументом». Нумер. Математика . 104 (4): 445–456. DOI : 10.1007 / s00211-006-0026-1 . Руководство по ремонту  2249673 . S2CID  43780150 .
• Виницки, Серж (2003). «Вычисление неполной гамма-функции с произвольной точностью». Лект. Нет. Комп. Sci . Конспект лекций по информатике. 2667 : 790–798. DOI : 10.1007 / 3-540-44839-x_83 . ISBN 978-3-540-40155-1. Руководство по ремонту  2110953 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Неполная гамма-функция» . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

• ${\displaystyle P(a,x)}$- Калькулятор регуляризованной нижней неполной гамма-функции
• ${\displaystyle Q(a,x)}$- Калькулятор регуляризованной верхней неполной гамма-функции
• ${\displaystyle \gamma (a,x)}$- Калькулятор нижней неполной гамма-функции
• ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$- Калькулятор неполной верхней гамма-функции
• формулы и тождества функций неполной гамма-функции. wolfram.com