Универсальное пространство Урысона определенное метрическое пространство , содержащее все отделимые метрических пространств в особенно хорошем образом. Эта математическая концепция принадлежит Павлу Самуиловичу Урысону .
Определение
Метрическое пространство ( U , d ) называется универсальным Урысона [1], если оно сепарабельно и полно и обладает следующим свойством:
- для любого конечного метрического пространства X , любой точки x в X и любого изометрического вложения f : X \ { x } → U существует изометрическое вложение F : X → U, которое расширяет f , т.е. такое, что F ( y ) = f ( y ) для всех y в X \ { x }.
Характеристики
Если U является Урысон универсален и X является сепарабельным метрическим пространством, то существует изометрическое вложение п : X → U . (Другие пространства обладают этим свойством: например, пространство l ∞ всех ограниченных вещественных последовательностей с нормой супремума допускает изометрические вложения всех сепарабельных метрических пространств (« вложение Фреше »), как и пространство C [0,1] всех непрерывные функции [0,1] → R , снова с нормой супремума, результат Стефана Банаха .)
Более того, любая изометрия между конечными подмножествами U продолжается до изометрии U на себя. Такая «однородность» на самом деле характеризует универсальные пространства Урысона: сепарабельное полное метрическое пространство, которое содержит изометрический образ каждого сепарабельного метрического пространства, является универсальным по Урысону тогда и только тогда, когда оно однородно в этом смысле.
Существование и уникальность
Урысон доказал, что универсальное пространство Урысона существует, и что любые два универсальных пространства Урысона изометричны . В этом можно убедиться следующим образом. Брать, два пространства Урысона. Они отделимы, поэтому зафиксируйте в соответствующих пространствах счетные плотные подмножества. Они должны быть в собственном смысле бесконечными, поэтому с помощью аргументов туда и обратно можно поэтапно построить частичные изометрии. чей домен (соответственно диапазон) содержит (соотв. ). Объединение этих карт определяет частичную изометриючей домен соотв. range плотны в соответствующих пространствах. И такие отображения расширяются (однозначно) до изометрий, поскольку требуется, чтобы пространство Урысона было полным.
Рекомендации
- ↑ Юха Хейнонен (январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств , получено 6 января 2009 г.