Система переменной массы

Ракеты , которые теряют значительное количество массы в качестве топлива во время полета, являются примером системы переменной массы.

В механике система с переменной массой - это совокупность материи , масса которой изменяется со временем . Попытка применить второй закон движения Ньютона непосредственно к такой системе может сбивать с толку . ^[1]^[2] Вместо этого зависимость массы m от времени можно рассчитать, изменив второй закон Ньютона и добавив член для учета импульса, переносимого массой, входящей в систему или покидающей ее. Общее уравнение движения переменной массы записывается как

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} + \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = м {\ mathrm {d} \ mathbf {v} \ over \ mathrm {d} t}}

где F _ext - чистая внешняя сила, действующая на тело, v _rel - относительная скорость убегающей или набегающей массы относительно центра масс тела, а v - скорость тела. ^[3] В астродинамике , которая занимается механикой ракет , термин v _rel часто называют эффективной скоростью истечения и обозначают v _e . ^[4]

Вывод [ править ]

Существуют разные выводы для уравнения движения системы с переменной массой, в зависимости от того, входит ли масса в тело или выходит из него (другими словами, увеличивается или уменьшается масса движущегося тела соответственно). Для упрощения расчетов все тела считаются частицами . Также предполагается, что масса не способна воздействовать на тело внешними силами за пределами событий аккреции / абляции.

Увеличение массы [ править ]

В момент 1 масса d m с относительной скоростью u вот-вот столкнется с основным телом массы m и скорости v . Через время d t , в момент 2, обе частицы движутся как одно тело со скоростью v + d v .

Следующий вывод относится к телу, которое набирает массу ( аккреция ). Тело изменяющейся во времени массы m движется со скоростью v в начальный момент времени t . В этот же момент частица массы dm движется со скоростью u . Начальный импульс можно записать как ^[5]

{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {\ mathrm {1}} = m \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ mathrm {d} m}

Теперь, в момент времени t + d t , пусть основное тело и частица срастутся в тело со скоростью v + d v . Таким образом, новый импульс системы можно записать как

\mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v}

Поскольку d m d v является произведением двух малых значений, им можно пренебречь, что означает, что в течение d t импульс системы изменяется в течение

\mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m)=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m

Следовательно, по второму закону Ньютона

\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-(\mathbf {u} -\mathbf {v} ){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}

Учитывая , что U - V есть скорость д м по отношению к м , символ , как об _отна , это окончательное уравнение может быть организовано в виде ^[6]

\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}

Массовая абляция / выброс [ править ]

В системе, где масса выбрасывается или удаляется из основного тела, вывод немного отличается. Пусть в момент t масса m движется со скоростью v , что означает, что начальный импульс системы равен

\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v}

Предполагая, что u - это скорость уносимой массы d m относительно земли, в момент времени t + d t импульс системы становится равным

\mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m-\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )-\mathbf {u} \mathrm {d} m=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathrm {d} m-\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {u} \mathrm {d} m

где u - скорость выброшенной массы относительно земли, и отрицательна, потому что уносимая масса движется в направлении, противоположном массе. Таким образом, в течение d t импульс системы изменяется на

\mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathrm {d} m-\mathbf {u} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} )=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {u} )\mathrm {d} m

Относительная скорость v _отн уносимой массы по отношению к массе m записывается как

\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }=\mathbf {u} -(-\mathbf {v} -\mathrm {d} \mathbf {v} )=\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {u}

Поэтому изменение импульса можно записать как

\mathrm {d} \mathbf {p} =m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m

Следовательно, по второму закону Ньютона

\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}

Поэтому окончательное уравнение можно представить в виде

\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}

Формы [ править ]

При выпуске этот ракетный шар выбрасывает значительную часть своей массы в виде воздуха, вызывая большое ускорение.

По определению ускорения , = D V / д т , так что уравнение движения с переменной инерцией может быть записано в виде

\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a}

В органах, которые не рассматриваются как частицы должны быть заменены на _см , ускорение центра масс системы, а это означает

\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }

Часто сила тяги определяется следующим образом: $\mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}$

\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }

Эта форма показывает, что тело может иметь ускорение за счет тяги, даже если на него не действуют внешние силы ( F _ext = 0). Наконец, обратите внимание, что если позволить F _net быть суммой F _ext и F _тяги, тогда уравнение снова приобретет обычную форму второго закона Ньютона:

\mathbf {F} _{\mathrm {net} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }

Уравнение идеальной ракеты [ править ]

Отношение масс ракеты к конечной скорости, рассчитанное по уравнению ракеты.

Уравнение идеальной ракеты или уравнение ракеты Циолковского можно использовать для изучения движения транспортных средств, которые ведут себя как ракета (когда тело ускоряется, выбрасывая часть своей массы, топливо , с высокой скоростью). Его можно вывести из общего уравнения движения для систем с переменной массой следующим образом: когда никакие внешние силы не действуют на тело ( F _ext = 0), уравнение движения системы с переменной массой сводится к ^[2]

\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}

Если предположить, что скорость выброшенного топлива, v _отн , имеет направление, противоположное ускорению ракеты, d v / d t , скалярный эквивалент этого уравнения может быть записан как

-v_{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} t}

из которого d t может быть сокращено, чтобы дать

-v_{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m=m\mathrm {d} v\,

Интегрирование путем разделения переменных дает

-v_{\mathrm {rel} }\int _{m_{0}}^{m_{1}}{\frac {\mathrm {d} m}{m}}=\int _{v_{0}}^{v_{1}}\mathrm {d} v

v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=v_{1}-v_{0}

Переставив и положив Δ v = v ₁ - v ₀ , мы приходим к стандартной форме уравнения идеальной ракеты:

\Delta v=v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}

где m ₀ - начальная общая масса, включая топливо, m ₁ - конечная общая масса, v _rel - эффективная скорость выхлопа (часто обозначаемая как v _e ), а Δ v - максимальное изменение скорости транспортного средства (когда нет действуют внешние силы).

Ссылки [ править ]

^ Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику . Лондон: Макгроу-Хилл . С. 133–139 . ISBN 0-07-035048-5.
^ а б Басавараджу, G; Гош, Дипин (1 февраля 1985 г.). Механика и термодинамика . Тата МакГроу-Хилл . С. 162–165. ISBN 978-0-07-451537-2.
^ Plastino, Angel R .; Муццио, Хуан К. (1992). «Об использовании и злоупотреблении вторым законом Ньютона для задач переменной массы» . Небесная механика и динамическая астрономия . Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. 53 (3): 227–232. Bibcode : 1992CeMDA..53..227P . DOI : 10.1007 / BF00052611 . ISSN 0923-2958 . Проверено 30 декабря 2011 .
^ Бенсон, Том. «Уравнение идеальной ракеты» . НАСА . Проверено 30 декабря 2011 года .
^ Cveticanin, L (1998-10-21). Динамика машин с переменной массой (1-е изд.). CRC Press . С. 15–20. ISBN 978-90-5699-096-1.
^ Giancoli, Дуглас С. (2008). Физика для ученых и инженеров . 2 (4, иллюстрированное изд.). Pearson Education. С. 236–238. ISBN 978-0-13-227359-6.

[1] Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику . Лондон: Макгроу-Хилл . С. 133–139 . ISBN 0-07-035048-5.

[Basavaraju-2] а б Басавараджу, G; Гош, Дипин (1 февраля 1985 г.). Механика и термодинамика . Тата МакГроу-Хилл . С. 162–165. ISBN 978-0-07-451537-2.

[Plastino-3] Plastino, Angel R .; Муццио, Хуан К. (1992). «Об использовании и злоупотреблении вторым законом Ньютона для задач переменной массы» . Небесная механика и динамическая астрономия . Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. 53 (3): 227–232. Bibcode : 1992CeMDA..53..227P . DOI : 10.1007 / BF00052611 . ISSN 0923-2958 . Проверено 30 декабря 2011 .

[NASA-4] Бенсон, Том. «Уравнение идеальной ракеты» . НАСА . Проверено 30 декабря 2011 года .

[Cveticanin-5] Cveticanin, L (1998-10-21). Динамика машин с переменной массой (1-е изд.). CRC Press . С. 15–20. ISBN 978-90-5699-096-1.

[Giancoli-6] Giancoli, Дуглас С. (2008). Физика для ученых и инженеров . 2 (4, иллюстрированное изд.). Pearson Education. С. 236–238. ISBN 978-0-13-227359-6.

[1]