Закрученный поток фон Кармана - это поток, создаваемый равномерно вращающимся бесконечно длинным плоским диском, названным в честь Теодора фон Кармана, который решил проблему в 1921 году. [1] Вращающийся диск действует как насос для жидкости и используется в качестве модели для центробежных вентиляторов или компрессоры. Этот поток классифицируется по категории стационарных потоков, в которых завихренность, генерируемая на твердой поверхности, не может распространяться далеко за счет встречной конвекции, другими примерами являются пограничный слой Блазиуса с отсосом, течение в точке остановки и т.
Описание потока
Рассмотрим плоский диск бесконечного радиуса, вращающийся с постоянной угловой скоростью в жидкости, которая изначально везде находится в состоянии покоя. Вблизи поверхности жидкость вращается диском из-за трения, которое затем вызывает центробежные силы, которые перемещают жидкость наружу. Это радиальное движение жидкости наружу около диска должно сопровождаться осевым движением жидкости внутрь к диску для сохранения массы. Теодор фон Карман [1] заметил, что основные уравнения и граничные условия допускают такое решение, что а также являются функциями только, где компоненты скорости в цилиндрической координировать с ось вращения и представляет собой плоский диск. В силу симметрии давление жидкости может зависеть только от радиальной и осевой координаты.. Тогда уравнение неразрывности и несжимаемые уравнения Навье – Стокса сводятся к
где - кинематическая вязкость.
Нет вращения на бесконечности
Скорости подобия закрученного потока фон Кармана и давление для бесконечного вращающегося диска как функция расстояния над диском.
Поскольку нет вращения в целом , становится независимым от в результате чего . Следовательно а также .
Здесь граничные условия для жидкости находятся
Автомодельное решение получается введением следующего преобразования, [2]
где - плотность жидкости.
Автомодельные уравнения:
с граничными условиями для жидкости находятся
Связанные обыкновенные дифференциальные уравнения необходимо решать численно, и точное решение дает Кокран (1934). [3] Осевая скорость притока на бесконечности, полученная в результате численного интегрирования, равна, поэтому полный истекающий объемный поток через цилиндрическую поверхность радиуса является . Касательное напряжение на диске равно. Если пренебречь краевыми эффектами, крутящий момент, прилагаемый жидкостью к диску с большим () но конечный радиус является
Фактор добавляется для учета обеих сторон диска. Из численного решения крутящий момент определяется как. Крутящий момент, предсказываемый теорией, прекрасно согласуется с экспериментом на больших дисках вплоть до числа Рейнольдса около, поток становится турбулентным при большом числе Рейнольдса. [4]
Вращение твердого тела на бесконечности
К этой проблеме обратился Джордж Кейт Бэтчелор (1951). [5] Пусть- угловая скорость на бесконечности. Теперь давление на является . Следовательно а также . Тогда граничные условия для жидкости находятся
Автомодельное решение получается введением следующего преобразования:
Автомодельные уравнения:
с граничными условиями для жидкости является
Решение легко получить только при т.е. жидкость на бесконечности вращается в том же направлении, что и пластина. Для, решение более сложное в том смысле, что возникают ветвления с множеством решений. Эванс (1969) [6] получил решение для диапазона. Зандберген и Дейкстра [7] [8] показали, что решение имеет особенность квадратного корня при и обнаружил, что ветвь второго решения сливается с решением, найденным для . Решение второй ветви продолжается до, в этот момент появляется ветвь третьего решения. Они также обнаружили бесконечное количество ветвей решения вокруг точки. Бодойни (1975) [9] рассчитал решения для больших отрицательных, показал, что решение разрушается при . Если позволить вращающейся пластине иметь равномерную скорость всасывания на пластине, то можно получить осмысленное решение для. [4]
Для (представляет вращение твердого тела, вся жидкость вращается с одинаковой скоростью) раствор достигает вращения твердого тела на бесконечности колебательным образом от пластины. Осевая скорость отрицательна для и положительный для . Есть явное решение, когда.
Почти вращаясь с той же скоростью,
Поскольку оба граничных условия для почти равны единице, можно было бы ожидать решения для немного отклониться от единицы. Соответствующие шкалы для а также можно получить из автомодельных уравнений. Следовательно,
В первом приближении (без учета ) автомодельное уравнение [10] принимает вид
Поток принимает неосесимметричное решение с осесимметричными граничными условиями, обнаруженными Хьюиттом, Даком и Фостером. [12] Определение
и основные уравнения
с граничными условиями
Решение существует путем численного интегрирования для .
Два вращающихся коаксиальных диска
К этой проблеме обращались Джордж Кейт Бэтчелор (1951), [5] Кейт Стюартсон (1952) [13] и многие другие исследователи. Здесь решение непростое из-за наложенного в задаче дополнительного масштаба длины, т. Е. Расстояниямежду двумя дисками. Кроме того, единственность и существование стационарного решения также зависят от соответствующего числа Рейнольдса. Тогда граничные условия для жидкости находятся
С точки зрения , расположение верхней стены просто . Таким образом, вместо масштабирования
Здесь граничных условий шесть, потому что давление не известно ни на верхней, ни на нижней стенке; должен быть получен как часть решения. Для большого числа Рейнольдса, Бэтчелор утверждал, что жидкость в ядре будет вращаться с постоянной скоростью, между двумя пограничными слоями на каждом диске в течение и было бы два равномерных встречных потока толщины для . Однако Стюартсон предсказал, что для жидкость в керне не будет вращаться при , но осталось только по два пограничных слоя на каждом диске. Оказывается, предсказания Стюартсона оправдались .
Также существует точное решение, если два диска вращаются вокруг разных осей, но для .
Приложения
Вихревой поток фон Кармана находит свое применение в широком диапазоне областей, включая вращающиеся машины, системы фильтрации, компьютерные запоминающие устройства, приложения для теплопередачи и массообмена, проблемы, связанные с горением, планетарные образования, геофизические приложения и т. Д.
^Кокран, WG (1934). «Течение вращающегося диска». Математические труды Кембриджского философского общества . 30 .
^ а бШлихтинг, Герман (1960). Теория пограничного слоя . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
^ а бБэтчелор, Джордж Кейт (1951). «Заметка о классе решений уравнений Навье – Стокса, представляющих установившееся вращательно-симметричное течение». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 4 : 29–41. DOI : 10.1093 / qjmam / 4.1.29 .
^ Эванс, DJ "Вращательно-симметричный поток вязкой жидкости в присутствии бесконечного вращающегося диска с равномерным всасыванием". Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики 22.4 (1969): 467-485.
Перейти ↑ Zandbergen, PJ, and D. Dijkstra. «Неуникальные решения уравнений Навье-Стокса для закрученного потока Кармана». Журнал инженерной математики 11.2 (1977): 167-188.
Перейти ↑ Dijkstra, D., and PJ Zandbergen. «Некоторые дальнейшие исследования неуникальных решений уравнений Навье-Стокса для закрученного потока Кармана». Архив механики, Archiwum Mechaniki Stosowanej 30 (1978): 411-419.
^ Bodonyi, RJ "О вращательно-симметричном потоке над бесконечным вращающимся диском". Журнал гидромеханики 67.04 (1975): 657-666.
^ а бБэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в гидродинамику . Пресса Кембриджского университета. ISBN 978-0521663960.
^ Дразин, Филип Г. и Норман Райли . Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.
Перейти ↑ Hewitt, RE, PW Duck и MR Foster. «Устойчивые решения пограничного слоя для закрученной стратифицированной жидкости во вращающемся конусе». Журнал гидромеханики 384 (1999): 339-374.
^Стюартсон, К. (1953). «О потоке между двумя вращающимися коаксиальными дисками». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (2): 333. DOI : 10.1017 / S0305004100028437 .
Библиография
Фон Карман, Теодор (1921). "Über Luminare und Turbulente Reibung" (PDF) . Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik . 1 (4): 233–252. DOI : 10.1002 / zamm.19210010401 .
Бэтчелор, Джордж Кейт (1951). «Заметка о классе решений уравнений Навье-Стокса, представляющих установившееся вращательно-симметричное течение». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 4 : 29–41. DOI : 10.1093 / qjmam / 4.1.29 .
Стюартсон, К. (1953). «О потоке между двумя вращающимися коаксиальными дисками». Математические труды Кембриджского философского общества . 49 (2): 333. DOI : 10.1017 / S0305004100028437 .
Бэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в гидродинамику . Пресса Кембриджского университета. ISBN 978-0521663960.
Ландау, Лев D . Механика жидкости . ISBN 978-0750627672.
Шлихтинг, Герман (1960). Теория пограничного слоя . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
Шлихтинг, Герман и Герстен, Клаус (2017). Теория пограничного слоя . ISBN 978-3662529171.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )