В динамике жидкости , точка торможения поток представляет собой поток текучей среды , в непосредственной близости от твердой поверхности. По мере приближения к поверхности жидкость разделяется на два потока. Несмотря на то, что жидкость застаивается повсюду на твердой поверхности из -за условия прилипания , название « точка застоя» относится к точкам застоя невязких растворов Эйлера .
Hiemenz Flow [1] [2]
Хименц [3] сформулировал задачу и рассчитал решение численно в 1911 году, а затем Лесли Ховарт (1934). [4] Течение в окрестности точки торможения можно смоделировать потоком к бесконечной плоской пластине, даже если все тело изогнуто (эффекты локальной кривизны незначительны). Пусть тарелка будет в самолет с представляющий точку застоя. Функция невязкого потока и скорость из теории потенциального потока
где - произвольная константа (представляет собой скорость деформации в противоточной установке). Для реальной жидкости (включая вязкие эффекты) существует автомодельное решение, если определить
где - кинематическая вязкость ипредставляет собой толщину пограничного слоя, но она постоянна (завихренность, возникающая на твердой поверхности, предотвращается удалением из-за встречной конвекции, аналогичные профили - пограничный слой Блазиуса с отсасыванием, вихревой поток Кармана и т. Тогда компоненты скорости, а затем давление и уравнение дляс использованием уравнений Навье – Стокса :
и граничное условие из-за отсутствия проникновения и прилипания и условие набегающего потока для (Обратите внимание на граничные условия для далеко от пластины не указывается, потому что это часть решения - типичная проблема пограничного слоя)
Сформулированная здесь проблема является частным случаем пограничного слоя Фолкнера-Скана . Асимптотики для больших находятся
где - толщина вытеснения .
Точка застоя потока с перемещающейся пластиной [5]
Течение точки застоя с движущейся пластиной с постоянной скоростью можно рассматривать как модель для вращающихся твердых тел вблизи точек торможения. Функция потока
где удовлетворяет уравнению
и Ротт (1956) [6] дал решение как
Наклонный поток точки застоя
Предыдущий анализ предполагает, что поток наталкивается в нормальном направлении. Функция невязкого течения для потока с наклонной точкой торможения получается добавлением постоянной завихренности .
Соответствующий анализ для вязкой жидкости изучается Стюартом (1959), [7] Тамада (1979) [8] и Доррепаалом (1986). [9] Самоподобная функция потока:
где удовлетворяет уравнению
- .
Homann Flow
Соответствующая задача в осесимметричной координате решена Хоманном (1936) [10], и это служит моделью для обтекания вблизи точки торможения сферы. Пол А. Либби (1974) [11] (1976) [12] рассмотрел течение Хоманна с постоянно движущейся пластиной со скоростью а также допускается всасывание / впрыск со скоростью на поверхности.
Автомодельное решение получается путем введения следующего преобразования для скорости в цилиндрических координатах
а давление определяется выражением
Таким образом, уравнения Навье – Стокса сводятся к виду
с граничными условиями,
Когда , восстанавливается классическая проблема Хоманна.
Противотоки самолета
Струи, выходящие из щелевых струй, создают промежуточную точку застоя в соответствии с теорией потенциала. Течение вблизи точки торможения можно исследовать с помощью автомодельного решения. Эта установка широко используется в экспериментах по горению . Первоначальное исследование набегающих застойных потоков было проведено CY Wang. [13] [14] Пусть две жидкости с постоянными свойствами обозначены суффиксом протекающие в противоположном направлении, сталкиваются, и предположим, что две жидкости не смешиваются, а граница раздела (расположена в ) плоский. Скорость определяется выражением
где скорости деформации жидкостей. На границе раздела скорости, касательное напряжение и давление должны быть непрерывными. Вводя автомодельное преобразование,
уравнения результатов,
Условие непроникания на границе раздела и условие набегающего потока вдали от плоскости торможения становятся
Но уравнения требуют еще двух граничных условий. В, тангенциальные скорости , касательное напряжение и давление непрерывны. Следовательно,
где (от внешней невязкой проблемы) используется. Обане известны априори , но получены из условий соответствия. Третье уравнение определяет изменение внешнего давления.за счет эффекта вязкости. Таким образом, есть только два параметра, которые управляют потоком:
то граничные условия становятся
- .
Постоянная плотность и постоянная вязкость
Когда плотности и вязкости двух сталкивающихся струй одинаковы и постоянны, скорость деформации также постоянна. и решение потенциального потока становится решением уравнений Навье-Стокса, т. е.
везде в области потока. Керр и Долд нашли дополнительное новое решение, названное вихрем Керра – Долда уравнений Навье – Стокса в 1994 г. в виде периодического массива стационарных вихрей, наложенных на противоточные струи постоянной плотности и постоянной вязкости. [15]
Рекомендации
- ^ Розенхед, Луи, изд. Ламинарные пограничные слои. Кларендон Пресс, 1963.
- ^ Бэтчелор, Джордж Кейт . Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета, 2000.
- ^ Hiemenz, Карл. Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder ... Diss. 1911 г.
- ^ Ховарт, Лесли. О расчете установившегося течения в пограничном слое у поверхности цилиндра в потоке. № ARC-R / M-1632. СОВЕТ АЭРОНАВИГАЦИОННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЛОНДОН (ВЕЛИКОБРИТАНИЯ), 1934 год.
- ^ Дразин, Филип Г. и Норман Райли . Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.
- ^ Ротт, Николас. «Нестационарное вязкое течение в окрестности точки торможения». Ежеквартальный вестник прикладной математики 13.4 (1956): 444–451.
- ^ Стюарт, JT "Вязкое течение около точки торможения, когда внешний поток имеет однородную завихренность". Журнал аэрокосмических наук (2012).
- ^ Тамада, Ко. «Двумерный застойный поток, косо падающий на плоскую стенку». Журнал Физического общества Японии 46 (1979): 310.
- ^ Dorrepaal, JM "Точное решение уравнения Навье-Стокса, которое описывает неортогональный поток точки застоя в двух измерениях". Журнал гидромеханики 163 (1986): 141–147.
- ^ Хоманн, Фриц. "Der Einfluss grosser Zähigkeit bei der Strömung um den Zylinder und um die Kugel". ZAMM ‐ Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 16.3 (1936): 153–164.
- ^ Либби, Пол А. "Стена сдвигается в трехмерной точке застоя с движущейся стенкой". Журнал AIAA 12.3 (1974): 408–409.
- ^ Либби, Пол А. "Ламинарный поток в трехмерной точке застоя с большими скоростями впрыска". AIAA Journal 14.9 (1976): 1273–1279.
- ^ Ван, CY "Торможение потока на поверхности покоящейся жидкости - точное решение уравнений Навье-Стокса". Ежеквартальный вестник прикладной математики 43.2 (1985): 215–223.
- ^ Ван, CY "Встречные застойные потоки". Физика жидкостей 30.3 (1987): 915–917.
- Перейти ↑ Kerr, OS, & Dold, JW (1994). Периодические установившиеся вихри в застойном потоке. Журнал гидромеханики, 276, 307-325.