В математике , особенно в комбинаторике , пара Вильфа – Цайльбергера или пара WZ - это пара функций, которые могут использоваться для подтверждения определенных комбинаторных тождеств . Пары WZ названы в честь Герберта С. Уилфа и Дорон Зейлбергера и играют важную роль в вычислении многих сумм, включающих биномиальные коэффициенты , факториалы и вообще любые гипергеометрические ряды . Аналог функции WZ можно использовать для нахождения эквивалентной и более простой суммы. Хотя найти пары WZ вручную в большинстве случаев непрактично,Алгоритм Госпера обеспечивает надежный метод для поиска аналога функции WZ и может быть реализован в программе символьных манипуляций .
Определение
Две функции F и G образуют пару WZ тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
Вместе эти условия гарантируют, что
потому что функция G телескопирует :
Следовательно,
это
Константа не зависит от n . Его значение можно найти, подставив n = n 0 вместо конкретного n 0 .
Если F и G образуют пару WZ, то они удовлетворяют соотношению
где является рациональной функцией от n и k и называется сертификатом доказательства WZ .
Пример
Пару Вильфа-Цайльбергера можно использовать для проверки идентичности.
Разделите удостоверение на его правую часть:
Используйте подтверждающий сертификат
чтобы убедиться, что левая часть не зависит от n , где
Теперь F и G образуют пару Вильфа – Цайльбергера.
Чтобы доказать, что константа в правой части тождества равна 1, подставьте , например , n = 0 .
Рекомендации
- Марко Петковсек ; Герберт Уилф и Дорон Зейлбергер (1996). А = В . А.К. Петерс. ISBN 1-56881-063-6.
- Тефера, Акалу (2010), "Что такое ... пара Вильфа-Цайльбергера?" (PDF) , Уведомления AMS , 57 (4): 508–509..
Смотрите также
- Метод Альмквиста – Цейльбергера , аналог метода WZ для вычисления определенных интегралов .
Внешние ссылки
- Алгоритм Госпера дает метод генерации пар WZ, если они существуют.
- Generatingfunctionology предоставляет подробную информацию о методе сертификации личности WZ.