В математике гауссова или обычная гипергеометрическая функция 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) - это специальная функция, представленная гипергеометрическим рядом , которая включает в себя множество других специальных функций в качестве конкретных или предельных случаев . Это решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (ОДУ). Каждое линейное ОДУ второго порядка с тремя регулярными особыми точками можно преобразовать в это уравнение.
Систематические списки некоторых из многих тысяч опубликованных идентичностей, включающих гипергеометрическую функцию, см. В справочных работах Erdélyi et al. (1953) и Olde Daalhuis (2010) . Не существует известной системы для организации всех идентичностей; действительно, не существует известного алгоритма, который мог бы генерировать все идентичности; известен ряд различных алгоритмов, которые генерируют различные серии идентификаторов. Теория алгоритмического открытия идентичностей остается активной темой исследований.
История
Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Уоллисом в его книге 1655 года « Бесконечная арифметика» .
Гипергеометрические ряды изучал Леонард Эйлер , но первое полное систематическое рассмотрение дал Карл Фридрих Гаусс ( 1813 ).
Исследования девятнадцатого века включали исследования Эрнста Куммера ( 1836 ) и фундаментальную характеристику гипергеометрической функции Бернхардом Риманом ( 1857 ) с помощью дифференциального уравнения, которому она удовлетворяет.
Риман показал, что дифференциальное уравнение второго порядка для 2 F 1 ( z ), рассмотренное на комплексной плоскости, может быть охарактеризовано (на сфере Римана ) его тремя регулярными особенностями .
Случаи, когда решениями являются алгебраические функции, были найдены Германом Шварцем ( список Шварца ).
Гипергеометрический ряд
Гипергеометрическая функция определена для | z | <1 по степенному ряду
Оно не определено (или бесконечно), если c равно неположительному целому числу. Здесь ( q ) n - (восходящий) символ Поххаммера , который определяется следующим образом:
Серия завершается, если a или b является неположительным целым числом, и в этом случае функция сводится к полиному:
Для сложных аргументов z с | z | ≥ 1 его можно аналитически продолжить по любому пути в комплексной плоскости, избегающему точек ветвления 1 и бесконечности.
При c → - m , где m - целое неотрицательное число, имеем 2 F 1 ( z ) → ∞ . Деление на величину Т ( гр ) от гамма - функции , мы имеем предел:
2 F 1 ( z ) является наиболее обычным типом обобщенных гипергеометрических рядов p F q и часто обозначается просто F ( z ) .
Формулы дифференцирования
Использование идентичности , показано, что
и в более общем плане
В частном случае, когда , у нас есть
Особые случаи
Многие из общих математических функций могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции или как ее предельные случаи. Вот некоторые типичные примеры:
Функция вырожденная гипергеометрическая (или функция Куммера) может быть задана как предел гипергеометрической функции
поэтому все функции, которые являются частными его случаями, такие как функции Бесселя , могут быть выражены как пределы гипергеометрических функций. К ним относятся большинство часто используемых функций математической физики.
Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения второго порядка с 3 регулярными особыми точками, поэтому их можно выразить через гипергеометрическую функцию многими способами, например
Несколько ортогональных многочленов, в том числе многочлены Якоби P(α, β)
nи их особые случаи полиномов Лежандра , полиномы Чебышева , многочлены Гегенбауэра можно записать в терминах гипергеометрических функций с помощью
Другие полиномы, специальные случаи включают Кравчук полиномы , полиномы Майкснера , Meixner-Поллачек полиномы .
Эллиптические модульные функции иногда могут быть выражены как функции, обратные отношениям гипергеометрических функций, аргументы которых a , b , c равны 1, 1/2, 1/3, ... или 0. Например, если
тогда
является эллиптической модулярной функцией от τ.
Неполные бета-функции B x ( p , q ) связаны соотношением
В полные эллиптические интегралы К и Е определяются
Гипергеометрическое дифференциальное уравнение
Гипергеометрическая функция является решением гипергеометрического дифференциального уравнения Эйлера
который имеет три регулярные особые точки : 0,1 и ∞. Обобщение этого уравнения на три произвольных регулярных особых точки дается дифференциальным уравнением Римана . Любое дифференциальное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками можно преобразовать в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменных.
Решения в особых точках
Решения гипергеометрического дифференциального уравнения строятся из гипергеометрического ряда 2 F 1 ( a , b ; c ; z ). Уравнение имеет два линейно независимых решения. В каждой из трех особых точек 0, 1, ∞ обычно есть два специальных решения вида x s, умноженного на голоморфную функцию от x , где s - один из двух корней исходного уравнения, а x - локальная переменная, равная нулю. в регулярной особой точке. Это дает 3 × 2 = 6 специальных решений, как показано ниже.
Вокруг точки z = 0 два независимых решения, если c не является целым неположительным числом,
и, при условии, что c не является целым числом,
Если c - целое неположительное число 1− m , то первое из этих решений не существует и должно быть заменено наВторое решение не существует, если c - целое число больше 1 и равно первому решению или его замене, когда c - любое другое целое число. Поэтому, когда c является целым числом, для второго решения необходимо использовать более сложное выражение, равное умножению первого решения на ln ( z ) плюс еще один ряд по степеням z , включающий дигамма-функцию . См. Olde Daalhuis (2010) для подробностей.
Вокруг z = 1, если c - a - b не целое число, у одного есть два независимых решения
а также
Вокруг z = ∞, если a - b не является целым числом, одно имеет два независимых решения
а также
Опять же, когда не выполняются условия нецелостности, существуют другие более сложные решения.
Любые 3 из 6 вышеупомянутых решений удовлетворяют линейному соотношению, поскольку пространство решений двумерно, что дает (6
3) = 20 линейных соотношений между ними, называемых формулами связи .
24 решения Куммера
Фуксово уравнение второго порядка с n особыми точками имеет группу симметрий, действующих (проективно) на его решениях, изоморфную группе Кокстера D n порядка n ! 2 n −1 . Для гипергеометрического уравнения n = 3, поэтому группа имеет порядок 24 и изоморфна симметрической группе в 4 точках и была впервые описана Куммером . Изоморфизм с симметрической группой является случайным и не имеет аналога для более чем трех особых точек, и иногда лучше думать о группе как о расширении симметрической группы на трех точках (действующих как перестановки трех особых точек) посредством Клейн 4-группа (чей элементы меняют знаки разностей показателей в четном числе особых точек). Группа Куммера из 24 преобразований порождается тремя преобразованиями, переводящими решение F ( a , b ; c ; z ) в одно из
которые соответствуют транспозициям (12), (23) и (34) при изоморфизме с симметрической группой в 4 точках 1, 2, 3, 4. (Первая и третья из них фактически равны F ( a , b ; c ; z ), тогда как второе является независимым решением дифференциального уравнения.)
Применение преобразований Куммера 24 = 6 × 4 к гипергеометрической функции дает приведенные выше решения 6 = 2 × 3, соответствующие каждому из 2 возможных показателей в каждой из 3 особых точек, каждая из которых появляется 4 раза из-за тождеств
Q-форма
Гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к Q-форме
сделав замену w = uv и исключив член первой производной. Считается, что
а v дается решением
который
Q-форма важна по отношению к производной Шварца ( Hille 1976 , стр. 307–401).
Карты треугольника Шварца
Треугольник Шварца карты или Шварц сек -функции являются отношениями пар решений.
где k - одна из точек 0, 1, ∞. Обозначение
также иногда используется. Обратите внимание, что коэффициенты связности становятся преобразованиями Мёбиуса на треугольных отображениях.
Обратите внимание, что каждое отображение треугольника является правильным в точке z ∈ {0, 1, ∞} соответственно, причем
а также
В частном случае А, р и v , с реальным, 0 ≤ X, р, ν <1 , то S-карты являются конформные отображения по верхней полуплоскости Н к треугольников на сфере Римана , ограниченных дугами окружностей. Это отображение является обобщением на отображение Шварца-Кристоффеля до треугольников с круглыми дугами. Особые точки 0,1 и ∞ отправлены в вершины треугольника. Углы треугольника равны πλ, πμ и πν соответственно.
Кроме того, в случае λ = 1 / p , μ = 1 / q и ν = 1 / r для целых чисел p , q , r треугольник разбивает сферу, комплексную плоскость или верхнюю полуплоскость в зависимости от того, λ + μ + ν - 1 положительно, равно нулю или отрицательно; а s-отображения являются функциями, обратными автоморфным функциям для группы треугольников〈p , q , r〉 = ∆ ( p , q , r ).
Группа монодромии
Монодромия гипергеометрического уравнения описывает, как фундаментальные решения меняются при аналитическом продолжении по путям в плоскости z, которые возвращаются в ту же точку. То есть, когда путь огибает сингулярность 2 F 1 , значение решений в конечной точке будет отличаться от начальной точки.
Два фундаментальных решения гипергеометрического уравнения связаны друг с другом линейным преобразованием; таким образом, монодромия - это отображение (гомоморфизм групп):
где π 1 - фундаментальная группа . Другими словами, монодромия - это двумерное линейное представление фундаментальной группы. Группа монодромии уравнения является образом этого отображения, т. Е. Группой, порожденной матрицами монодромии. Представление монодромии фундаментальной группы можно явно вычислить в терминах показателей в особых точках. [1] Если (α, α '), (β, β') и (γ, γ ') - показатели в точках 0, 1 и ∞, то, взяв z 0 около 0, петли вокруг 0 и 1 имеют монодромию матрицы
- а также
где
Если 1- a , c - a - b , a - b - нецелые рациональные числа со знаминателями k , l , m, то группа монодромии конечна тогда и только тогда, когдасм . список Шварца или алгоритм Ковачича .
Интегральные формулы
Тип Эйлера
Если B - бета-функция, то
при условии, что z не является действительным числом, таким, что оно больше или равно 1., и может быть доказано путем разложения (1 - zx ) - a с использованием биномиальной теоремы и последующего интегрирования по члену для z с абсолютным значением меньше 1 , и аналитическим продолжением в другом месте. Когда z - действительное число, большее или равное 1, необходимо использовать аналитическое продолжение, потому что (1 - zx ) равно нулю в некоторой точке опоры интеграла, поэтому значение интеграла может быть некорректно определенным. Это было дано Эйлером в 1748 году и подразумевает гипергеометрические преобразования Эйлера и Пфаффа.
Другие представления, соответствующие другим ветвям , даются путем взятия того же подынтегрального выражения, но путем интегрирования в виде замкнутого цикла Похгаммера, охватывающего особенности в различных порядках. Такие пути соответствуют действию монодромии .
Интеграл Барнса
Барнс использовал теорию вычетов для вычисления интеграла Барнса
в виде
где проведен контур для отделения полюсов 0, 1, 2 ... от полюсов - a , - a - 1, ..., - b , - b - 1, .... Это справедливо до тех пор, пока z не является неотрицательным действительным числом.
Джон трансформация
Гипергеометрическую функцию Гаусса можно записать как преобразование Джона ( Гельфанд, Гиндикин и Граев, 2003 , 2.1.2).
Смежные отношения Гаусса
Шесть функций
называются смежными с 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) . Гаусс показал, что 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) может быть записано как линейная комбинация любых двух его смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах a , b , c и z . Это дает
отношения, заданные путем определения любых двух строк в правой части
где F = 2 F 1 ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = 2 F 1 ( a + 1, b ; c ; z ) и т. д. Повторное применение этих соотношений дает линейную связь над C (z) между любыми тремя функциями вида
где m , n и l - целые числа.
Непрерывная дробь Гаусса
Гаусс использовал отношения смежности, чтобы дать несколько способов записать частное двух гипергеометрических функций в виде непрерывной дроби, например:
Формулы преобразования
Формулы преобразования связывают две гипергеометрические функции при разных значениях аргумента z .
Дробно-линейные преобразования
Преобразование Эйлера есть
Отсюда следует, комбинируя два преобразования Пфаффа
которые, в свою очередь, следуют из интегрального представления Эйлера. О расширении первого и второго преобразований Эйлера см. Rathie & Paris (2007) и Rakha & Rathie (2011) . Его также можно записать как линейную комбинацию
Квадратичные преобразования
Если два из чисел 1 - c , c - 1, a - b , b - a , a + b - c , c - a - b равны или одно из них равно 1/2, то происходит квадратичное преобразование числа гипергеометрическая функция, связывающая ее с другим значением z, связанным квадратным уравнением. Первые примеры были даны Куммером (1836 г.) , а полный список - Гурса (1881 г.) . Типичный пример:
Преобразования высшего порядка
Если 1− c , a - b , a + b - c различаются знаками или два из них равны 1/3 или −1/3, то существует кубическое преобразование гипергеометрической функции, связывающее ее с другим значением z, связанным кубическим уравнением. Первые примеры были приведены Гурса (1881 г.) . Типичный пример:
Есть также некоторые преобразования степени 4 и 6. Преобразования других степеней существуют только в том случае , если a , b и c - определенные рациональные числа ( Vidunas 2005 ). Например,
Значения в особых точках z
См. Slater (1966 , приложение III), где приведен список формул суммирования в особых точках, большинство из которых также встречается у Bailey (1935) . Гессель и Стэнтон (1982) дают дальнейшие оценки по большему количеству пунктов. Koepf (1995) показывает, как большинство этих идентичностей можно проверить с помощью компьютерных алгоритмов.
Специальные значения при z = 1
Теорема суммирования Гаусса, названная в честь Карла Фридриха Гаусса , является тождеством
которое следует из интегральной формулы Эйлера, полагая z = 1. Оно включает тождество Вандермонда как частный случай.
Для особого случая, когда ,
Формула Дугалла обобщает это на двусторонний гипергеометрический ряд при z = 1.
Теорема Куммера ( z = −1)
Есть много случаев, когда гипергеометрические функции можно вычислить при z = −1, используя квадратичное преобразование для изменения z = −1 на z = 1, а затем используя теорему Гаусса для оценки результата. Типичный пример - теорема Куммера, названная в честь Эрнста Куммера :
которое следует из квадратичных преобразований Куммера
и теорему Гаусса, положив z = −1 в первое тождество. Для обобщения суммирования Куммера см. Lavoie, Grondin & Rathie (1996) .
Значения при z = 1/2
Вторая теорема Гаусса о суммировании:
Теорема Бейли
Об обобщениях второй теоремы суммирования Гаусса и теоремы суммирования Бейли см. Lavoie, Grondin & Rathie (1996) .
Прочие моменты
Есть много других формул, дающих гипергеометрическую функцию как алгебраическое число при специальных рациональных значениях параметров, некоторые из которых перечислены в Gessel & Stanton (1982) и Koepf (1995) . Некоторые типичные примеры приведены
который можно переформулировать как
всякий раз, когда −π < x <π и T - (обобщенный) многочлен Чебышева .
Смотрите также
- Ряд Аппеля , 2-переменное обобщение гипергеометрических рядов
- Базовый гипергеометрический ряд, отношение членов которого является периодической функцией индекса
- Двусторонний гипергеометрический ряд p H p подобен обобщенному гипергеометрическому ряду, но суммируется по всем целым числам.
- Биномиальный ряд 1 F 0
- Конфлюэнтный гипергеометрический ряд 1 F 1 ( a ; c ; z )
- Эллиптический гипергеометрический ряд, где отношение членов является эллиптической функцией индекса
- Гипергеометрический интеграл Эйлера , интегральное представление 2 F 1
- H-функция Фокса , расширение G-функции Мейера
- Функция Фокса – Райта , обобщение обобщенной гипергеометрической функции.
- Решение Фробениуса гипергеометрического уравнения
- Общая гипергеометрическая функция, введенная И. М. Гельфандом .
- Обобщенный гипергеометрический ряд p F q, где отношение членов является рациональной функцией индекса
- Геометрический ряд , где соотношение членов является константой
- Функция Гойна , решения ОДУ второго порядка с четырьмя регулярными особыми точками
- Функция Хорна , 34 различных сходящихся гипергеометрических ряда от двух переменных
- Ряд Гумберта 7 гипергеометрических функций двух переменных
- Гипергеометрическое распределение , дискретное распределение вероятностей
- Гипергеометрическая функция матричного аргумента , многомерное обобщение гипергеометрического ряда
- Функция Кампе де Ферие , гипергеометрические ряды двух переменных
- Гипергеометрический ряд Лауричеллы , гипергеометрический ряд трех переменных
- E-функция МакРоберта , расширение обобщенного гипергеометрического ряда p F q на случай p > q +1.
- G-функция Мейера , расширение обобщенного гипергеометрического ряда p F q на случай p > q +1.
- Модульный гипергеометрический ряд , завершающая форма эллиптического гипергеометрического ряда
- Тета-гипергеометрические ряды , особый вид эллиптических гипергеометрических рядов.
- Конформные блоки Вирасоро , специальные функции в двумерной конформной теории поля, которые в некоторых случаях сводятся к гипергеометрическим функциям.
Рекомендации
- ^ Инс 1944 , стр. 393-393
- Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. 71 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62321-6. Руководство по ремонту 1688958 .
- Бейли, WN (1935). Обобщенные гипергеометрические ряды (PDF) . Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинального (PDF) на 24.06.2017 . Проверено 23 июля 2016 .
- Beukers, Frits (2002), гипергеометрическая функция Гаусса . (конспекты лекций с обзором основ, а также карты треугольников и монодромия)
- Olde Daalhuis, Адри Б. (2010), «Гипергеометрическая функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Эрдейи, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF) . Vol. I. Нью-Йорк - Торонто - Лондон: ISBN McGraw – Hill Book Company, Inc. 978-0-89874-206-0. Руководство по ремонту 0058756 .
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) - Гаспер, Джордж и Рахман, Мизан (2004). Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание, Энциклопедия математики и ее приложений, 96, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4 .
- Гаусс, Карл Фридрих (1813). "Общие исследования серии бесконечных". 1 + α β 1 ⋅ γ Икс + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) Икс Икс + и т.п. {\ displaystyle 1 + {\ tfrac {\ alpha \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ х + {\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} ~ x ~ x + {\ mbox {и т. д.}}} " . Commentationes societatis regiae scientificarum Gottingensis Recentiores (на латыни). Геттинген. 2 .
- Гельфанд И.М.; Гиндикин, С.Г., Граев, М.И. (2003) [2000]. Избранные темы интегральной геометрии . Переводы математических монографий. 220 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2932-5. MR 2000133 .
- Гессель, Ира и Стэнтон, Деннис (1982). «Странные оценки гипергеометрических рядов». Журнал СИАМ по математическому анализу . 13 (2): 295–308. DOI : 10.1137 / 0513021 . ISSN 0036-1410 . Руководство по ремонту 0647127 .
- Гурса, Эдуар (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 10 : 3–142 . Проверено 16 октября 2008 .
- Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
- Хилле, Эйнар (1976). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области . Дувр. ISBN 0-486-69620-0.
- Инс, Э.Л. (1944). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Dover Publications.
- Кляйн, Феликс (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 39 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1. Руководство по ремонту 0668700 .
- Кёпф, Вольфрам (1995). «Алгоритмы m-кратного гипергеометрического суммирования». Журнал символических вычислений . 20 (4): 399–417. DOI : 10.1006 / jsco.1995.1056 . ISSN 0747-7171 . Руководство по ремонту 1384455 .
- Куммер, Эрнст Эдуард (1836). "Über die hypergeometrische Reihe 1 + α ⋅ β 1 ⋅ γ Икс + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) Икс 2 + α ( α + 1 ) ( α + 2 ) β ( β + 1 ) ( β + 2 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ γ ( γ + 1 ) ( γ + 2 ) Икс 3 + и т.п. {\ displaystyle 1 + {\ tfrac {\ alpha \ cdot \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} ~ x + {\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ gamma +1)}} x ^ {2} + {\ tfrac {\ alpha (\ alpha +1) (\ alpha +2) \ beta (\ beta +1) (\ beta + 2)} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot \ gamma (\ gamma +1) (\ gamma +2)}} x ^ {3} + {\ mbox {и т. Д.}}} " . Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 15 : 39–83, 127–172. ISSN 0075-4102 .
- Lavoie, JL; Grondin, F .; Рати, АК (1996). «Обобщения теоремы Уиппла о сумме 3 F 2 ». J. Comput. Прил. Математика . 72 : 293–300.
- Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Веттерлинг, В. Т. и Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.13. Гипергеометрические функции» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
- Ракха, Массачусетс; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца». Бык. Корейская математика. Soc . 48 (1): 151–156.
- Рати, Арджун К .; Париж, РБ (2007). «Расширение преобразования типа Эйлера для ряда 3F2». Дальний Восток J. Math. Sci . 27 (1): 43–48.
- Риман, Бернхард (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F (α, β, γ, x) darstellbaren Functionen" . Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке). Геттинген: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7 : 3–22. (перепечатку этой статьи можно найти в «Все публикации Римана» (PDF) .)
- Слейтер, Люси Джоан (1960). Конфлюэнтные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. Руководство по ремонту 0107026 .
- Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-06483-X. Руководство по ремонту 0201688 . (есть мягкая обложка 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 )
- Видунас, Раймундас (2005). «Преобразования некоторых гипергеометрических функций Гаусса». Журнал символических вычислений . 178 : 473–487. arXiv : математика / 0310436 . DOI : 10.1016 / j.cam.2004.09.053 .
- Уолл, HS (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей . D. Van Nostrand Company, Inc.
- Уиттакер, ET и Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
- Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, моя любовь: модульные интерпретации конфигурационных пространств . Брауншвейг - Висбаден: Фридр. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. Руководство по ремонту 1453580 .
Внешние ссылки
- "Гипергеометрическая функция" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Джон Пирсон, Вычисление гипергеометрических функций ( Оксфордский университет , кандидатская диссертация)
- Марко Петковсек, Герберт Уилф и Дорон Цайльбергер, Книга «A = B» (свободно загружаемая)
- Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция» . MathWorld .