В математике , в теории обыкновенных дифференциальных уравнений на комплексной плоскости. , точки делятся на обычные точки , в которых коэффициенты уравнения являются аналитическими функциями , и особые точки , в которых некоторый коэффициент имеет особенность . Затем среди особых точек важное различие проводится между регулярной особой точкой , где рост решений ограничен (в любом малом секторе) алгебраической функцией, и нерегулярной особой точкой , где для полного множества решений требуются функции с более высоким ростом тарифы. Это различие возникает, например, между гипергеометрическим уравнением с тремя регулярными особыми точками и уравнением Бесселя, которое в некотором смысле являетсяпредельный случай , но где аналитические свойства существенно различаются.
Формальные определения
Точнее, рассмотрим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n -го порядка
с мероморфными функциями p i ( z ) . Можно предположить, что
Если это не так, вышеприведенное уравнение необходимо разделить на p n ( x ). Это может привести к появлению особых точек, которые следует учитывать.
Уравнение следует изучить на сфере Римана, чтобы включить бесконечно удаленную точку в качестве возможной особой точки. При необходимости можно применить преобразование Мёбиуса для перемещения ∞ в конечную часть комплексной плоскости, см. Пример дифференциального уравнения Бесселя ниже.
Затем метод Фробениуса, основанный на указательном уравнении, может быть применен для поиска возможных решений, которые представляют собой степенной ряд, умноженный на комплексные степени ( z - a ) r около любого заданного a в комплексной плоскости, где r не обязательно должно быть целым числом; эта функция может существовать, следовательно, только благодаря сечению ветви, выходящей из a , или на римановой поверхности некоторого проколотого диска вокруг a . Это представляет трудности для с обычной точки ( Lazarus Fuchs 1866). Когда a - регулярная особая точка , что по определению означает, что
имеет полюс порядка не выше i в точке a , метод Фробениуса также можно заставить работать и предоставлять n независимых решений около точки a .
В противном случае точка a является неправильной особенностью . В этом случае группа монодромии, связывающая решения с помощью аналитического продолжения , в целом имеет меньшее значение, и решения труднее изучать, кроме как с точки зрения их асимптотических разложений. Неправильность нерегулярной особенности измеряется рангом Пуанкаре ( Arscott (1995) ).
Условие регулярности является своего рода условием многоугольника Ньютона в том смысле, что допустимые полюса находятся в области, когда она нанесена на график относительно i и ограничена линией под углом 45 ° к осям.
Обыкновенное дифференциальное уравнение которого только особые точки, в том числе точки на бесконечности, являются регулярными особыми точками называются фуксово обыкновенное дифференциальное уравнение.
Примеры дифференциальных уравнений второго порядка
В этом случае приведенное выше уравнение сводится к:
Различают следующие случаи:
- Точка a - обычная точка, когда функции p 1 ( x ) и p 0 ( x ) аналитичны в точке x = a .
- Точка a является регулярной особой точкой, если p 1 ( x ) имеет полюс порядка 1 при x = a, а p 0 имеет полюс порядка до 2 при x = a .
- В противном случае точка a является неправильной особой точкой .
Мы можем проверить, существует ли нерегулярная особая точка на бесконечности, используя замену и отношения:
Таким образом, мы можем преобразовать уравнение в уравнение относительно w и проверить, что происходит при w = 0. Если а также являются частными от многочленов, то будет нерегулярная особая точка в бесконечном x, если только многочлен в знаменателеимеет степень как минимум на единицу больше, чем степень его числителя и знаменателя имеет степень как минимум на две больше, чем степень его числителя.
Ниже перечислены несколько примеров из обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики, которые имеют особые точки и известные решения.
Дифференциальное уравнение Бесселя
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Он находится в решении уравнения Лапласа в цилиндрических координатах :
для произвольного действительного или комплексного числа a ( порядка от функции Бесселя ). Наиболее распространенная и важный частный случай, где α представляет собой целое число п .
Разделив это уравнение на x 2, мы получим:
В этом случае p 1 ( x ) = 1 / x имеет полюс первого порядка в точке x = 0. Когда α ≠ 0, p 0 ( x ) = (1 - α 2 / x 2 ) имеет полюс второго порядка в точке x. = 0. Таким образом, это уравнение имеет регулярную особенность в 0.
Чтобы увидеть, что происходит, когда x → ∞, нужно использовать преобразование Мёбиуса , например. После выполнения алгебры:
Сейчас на ,
имеет полюс первого порядка, но
имеет полюс четвертого порядка. Таким образом, это уравнение имеет нерегулярную особенность присоответствующий x в ∞.
Дифференциальное уравнение Лежандра
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Он находится в решении уравнения Лапласа в сферических координатах :
Открытие квадратной скобки дает:
И разделив на (1 - x 2 ):
Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в точках ± 1 и ∞.
Дифференциальное уравнение Эрмита
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка встречается при решении одномерного не зависящего от времени уравнения Шредингера
для гармонического осциллятора . В этом случае потенциальная энергия V ( x ) равна:
Это приводит к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка:
Это дифференциальное уравнение имеет нерегулярную особенность в точке ∞. Его решения - полиномы Эрмита .
Гипергеометрическое уравнение
Уравнение можно определить как
Разделив обе части на z (1 - z ), получим:
Это дифференциальное уравнение имеет регулярные особые точки в точках 0, 1 и ∞. Решение - гипергеометрическая функция .
Рекомендации
- Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл .
- Е. Т. Копсон , Введение в теорию функций комплексного переменного (1935 г.)
- Федорюк, М.В. (2001) [1994], "Уравнение Фукса" , Энциклопедия математики , EMS Press
- А. Р. Форсайт Теория дифференциальных уравнений Vol. IV: Обычные линейные уравнения (Издательство Кембриджского университета, 1906 г.)
- Эдуард Гурса , Курс математического анализа, Том II, Часть II: Дифференциальные уравнения, стр. 128 − ff. (Ginn & Co., Бостон, 1917 г.)
- Ильяшенко, Ю.С. (2001) [1994], "Регулярная особая точка" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Э.Л. Инс, Обыкновенные дифференциальные уравнения , Dover Publications (1944)
- Т.М. МакРоберт Функции комплексного переменного с. 243 (Макмиллан, Лондон, 1917 г.)
- Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон Курс современного анализа стр. 188 − ff. (Издательство Кембриджского университета, 1915 г.)