Монодромия

Мнимая часть комплексного логарифма . Попытка определить комплексный логарифм на C \ {0} дает разные ответы по разным путям. Это приводит к бесконечной циклической группе монодромии и покрытию C \ {0} геликоидом (пример римановой поверхности ).

В математике , монодромии является изучение того , как объекты математического анализа , алгебраической топологии , алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии , ведут себя , как они «бегать» а особенность . Как следует из названия, основное значение монодромии происходит от «бегать поодиночке». Он тесно связан с покрывающими картами и их вырождением в разветвление ; аспект, вызывающий явления монодромии, состоит в том, что некоторые функции, которые мы, возможно, захотим определить, не могут быть однозначными.как мы «бегаем» по тропе, огибающей особенность. Неудачу монодромии можно измерить, определив группу монодромии : группу преобразований, действующих на данные, которые кодируют то, что действительно происходит, когда мы «бегаем» в одном измерении. Отсутствие монодромии иногда называют полидромией . ^[1]

Определение [ править ]

Пусть $Х$ связное и локально связной на основе топологического пространства с отмеченной точкой $х$ , и пусть быть покрытием с волокном . Для петли $γ: [0, 1] \to$ $X,$ основанной на $x$ , обозначим подъем под отображением покрытия, начинающийся в точке , через . Наконец, мы обозначаем конечной точкой , которая обычно отличается от . Есть теоремы , которые утверждают , что эта конструкция дает четко определенные действия группы из фундаментальной группы $П$ $1$ $($ $X$ $,$ ${\ displaystyle p: {\ tilde {X}} \ to X}$ ${\ Displaystyle F = p ^ {- 1} (х)}$ ${\tilde {x}}\in F$ ${\tilde {\gamma }}$ ${\tilde {x}}\cdot {\tilde {\gamma }}$ ${\tilde {\gamma }}(1)$ ${\tilde {x}}$ $х)$ на $F$ , атомчто стабилизатор източно, то есть, элемент $[γ]$ фиксирует точка $F$ тогда и только тогдакогда она представлена изображением петли воснове в. Это действие называется действием монодромии, а соответствующий гомоморфизм $π$ $1$ $($ $X$ $,$ $x$ $) \to Aut ($ $H$ $*$ $($ $F$ $x$ $))$ в группу автоморфизмов на $F$ является алгебраической монодромией . Образом этого гомоморфизма является ${\tilde {x}}$ $p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)$ ${\tilde {X}}$ ${\tilde {x}}$ группа монодромии . Существует еще одно отображение $π 1 (X, x) \to Diff (F x) / Is (F x)$ , образ которого называется группой топологической монодромии .

Пример [ править ]

Эти идеи впервые проявились в комплексном анализе . В процессе аналитического продолжения функция, которая является аналитической функцией $F (z)$ в некотором открытом подмножестве $E$ проколотой комплексной плоскости $ℂ \ {0},$ может быть продолжена обратно в $E$ , но с другими значениями. Например, возьмите

{\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}\end{aligned}}

затем аналитическое продолжение против часовой стрелки по кругу

|z|=1

приведет к возврату не к $F (z),$ а

F(z)+2\pi i

В этом случае группа монодромии бесконечна циклическая, а накрывающее пространство является универсальным покрытием проколотой комплексной плоскости. Это покрытие можно представить как геликоид (как определено в статье о геликоиде) с ограничением $ρ > 0$ . Карта покрытия - это вертикальная проекция, в некотором смысле очевидным образом схлопывающая спираль, чтобы получить проколотую плоскость.

Дифференциальные уравнения в комплексной области [ править ]

Одно из важных приложений - это дифференциальные уравнения , где одно решение может давать дополнительные линейно независимые решения путем аналитического продолжения . Линейные дифференциальные уравнения , определенные в открытом, подключенном множестве S в комплексной плоскости имеет монодромию группы, которая (точнее) представляет собой линейное представление о фундаментальных группы из S , обобщение всех аналитических продолжений круглых петель внутри S . Обратная задача построения уравнения (с регулярными особенностями ) по заданному представлению называется проблемой Римана – Гильберта .

Для регулярной (и, в частности, фуксовой) линейной системы в качестве образующих группы монодромии обычно выбираются операторы M _j, соответствующие петлям, каждая из которых обходит только один из полюсов системы против часовой стрелки. Если индексы j выбраны таким образом, что они увеличиваются от 1 до p + 1 при обходе базовой точки по часовой стрелке, то единственное соотношение между образующими - равенство . Задача Делиня – Симпсона - это следующая проблема реализации: для каких наборов классов сопряженности в GL ( n , C ) существуют неприводимые наборы матриц M _j $M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id}$ из этих классов, удовлетворяющих указанному выше соотношению? Задача была сформулирована Пьером Делинем, и Карлос Симпсон первым получил результаты в направлении ее решения. Аддитивный вариант задачи об остатках фуксовых систем сформулировал и исследовал Владимир Костов . Проблема рассматривалась другими авторами и для групп матриц, отличных от GL ( n , C ). ^[2]

Топологические и геометрические аспекты [ править ]

В случае накрывающей карты мы рассматриваем ее как частный случай расслоения и используем свойство гомотопического подъема, чтобы «следовать» по путям в базовом пространстве X (мы предполагаем, что оно линейно связано для простоты), когда они поднимаются. до в крышку C . Если мы продолжим цикл, основанный на x в X , который мы поднимем, чтобы начать с c выше x , мы снова закончим на некотором c * выше x ; вполне возможно, что c ≠ c * , и для кодирования этого рассмотрим действие фундаментальной группы $π$ ₁( X , x ) как группа перестановок на множестве всех c , как группа монодромии в этом контексте.

В дифференциальной геометрии аналогичную роль играет параллельный перенос . В главном расслоении B над гладким многообразием М , А соединение позволяет «горизонтальное» перемещение из волокон выше м в М к соседним. Эффект, примененный к петлям, основанным на m, заключается в определении группы голономии перемещений волокна в m ; если структурной группой B является G , это подгруппа G, которая измеряет отклонение B от продукта расслоения M × G.

Группоид монодромии и слоения [ править ]

Путь в основании имеет пути в общем пространстве, поднимающие его. Продвигаясь по этим путям, мы получаем действие монодромии от фундаментального группоида.

По аналогии с фундаментальным группоидом можно избавиться от выбора базовой точки и определить группоид монодромии. Здесь мы рассматриваем (гомотопические классы) подъемы путей в базовом пространстве X расслоения . Результат имеет структуру группоида над базой пространства X . Преимущество заключается в том, что мы можем отказаться от условия связности X . $p:{\tilde {X}}\to X$

Более того, конструкция также может быть обобщена на слоения : рассмотрим слоение M (возможно, особое) . Тогда для каждого пути в листе мы можем рассмотреть его индуцированный диффеоморфизм на локальных трансверсальных сечениях, проходящих через концы. В односвязной карте этот диффеоморфизм становится уникальным и особенно каноническим между различными трансверсальными сечениями, если мы переходим к ростку диффеоморфизма вокруг концов. Таким образом, он также становится независимым от пути (между фиксированными конечными точками) внутри односвязной карты и, следовательно, инвариантен относительно гомотопии. $(M,{\mathcal {F}})$ ${\mathcal {F}}$

Определение с помощью теории Галуа [ править ]

Пусть F ( х ) обозначает поле рациональных функций в переменной х над полем F , который является полем частных этого кольца многочленов F [ х ]. Элемент y = f ( x ) из F ( x ) определяет расширение конечного поля [ F ( x ): F ( y )].

Это расширение обычно не является Галуа, но имеет замыкание Галуа L ( f ). Ассоциированная группа Галуа расширения [ L ( f ): F ( y )] называется группой монодромии f .

В случае F = C теория римановой поверхности допускает геометрическую интерпретацию, данную выше. В случае, когда расширение [ C ( x ): C ( y )] уже является Галуа, ассоциированная группа монодромии иногда называется группой преобразований колоды .

Это связано с теорией Галуа накрывающих пространств, приводящей к теореме существования Римана .

См. Также [ править ]

Группа кос
Теорема монодромии
Группа классов отображения (проколотого диска)

Примечания [ править ]

^ Кениг, Вольфганг; Спрекельс, Юрген (2015). Карл Вейерштрасс (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes - аспекты его жизни и работы (на немецком языке). Springer-Verlag. С. 200–201. ISBN 9783658106195. Проверено 5 октября 2017 года .
^ В. П. Костов (2004), «Проблема Делиня – Симпсона - обзор», J. Algebra , 281 (1): 83–108, arXiv : math / 0206298 , doi : 10.1016 / j.jalgebra.2004.07.013 , MR 2091962 , S2CID 119634752 и ссылки в нем.

Ссылки [ править ]

В. И. Данилов (2001) [1994], «Монодромия» , Энциклопедия математики , EMS Press
«Групповые группоиды и группоиды монодромии», О. Мучук, Б. Киличарслан, Т. Чахан, Н. Алемдар, Топология и ее приложения 158 (2011) 2034–2042 doi: 10.1016 / j.topol.2011.06.048
Р. Браун Топология и группоиды (2006).
П. Дж. Хиггинс, "Категории и группоиды", ван Ностранд (1971). Перепечатка ТАС.

[König2015-1] Кениг, Вольфганг; Спрекельс, Юрген (2015). Карл Вейерштрасс (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes - аспекты его жизни и работы (на немецком языке). Springer-Verlag. С. 200–201. ISBN 9783658106195. Проверено 5 октября 2017 года .

[2] В. П. Костов (2004), «Проблема Делиня – Симпсона - обзор», J. Algebra , 281 (1): 83–108, arXiv : math / 0206298 , doi : 10.1016 / j.jalgebra.2004.07.013 , MR 2091962 , S2CID 119634752 и ссылки в нем.

[1]