Список Шварца

В математической теории специальных функций , список Шварца или таблица Шварц список из 15 случаев найденных Hermann Schwarz ( 1873 г. , стр. 323) , когда гипергеометрические функции могут быть выражены алгебраически. Точнее, это список параметров, определяющих случаи, в которых гипергеометрическое уравнение имеет конечную группу монодромии или, что то же самое, имеет два независимых решения, которые являются алгебраическими функциями . В нем перечислено 15 случаев, разделенных классом изоморфизма группы монодромии (исключая случай циклической группы), и был впервые выведен Шварцем методами комплексной аналитической геометрии. Соответственно, утверждение не напрямую в терминах параметров, определяющих гипергеометрическое уравнение, а в терминах величин, используемых для описания определенных сферических треугольников .

Более широкое значение таблицы для общих дифференциальных уравнений второго порядка на комплексной плоскости было показано Феликсом Кляйном , который доказал результат о том, что случаи конечной монодромии для таких уравнений и регулярных особенностей могут быть приписаны заменам переменной (комплексные аналитические отображения сферы Римана в себя), которые приводят уравнение к гипергеометрической форме. На самом деле верно больше: список Шварца лежит в основе всех уравнений второго порядка с регулярными особенностями на компактных римановых поверхностях, имеющих конечную монодромию, путем отката от гипергеометрического уравнения на сфере Римана с помощью комплексного аналитического отображения степени, вычислимой по данным уравнения. ^[1]^[2]

Номер	${\ displaystyle \ lambda}$	${\ displaystyle \ mu}$	${\ displaystyle \ nu}$	площадь/ ${\ displaystyle \ pi}$	многогранник
1	1/2	1/2	п / п (≤ 1/2)	п / п	Двугранный
2	1/2	1/3	1/3	1/6	Тетраэдр
3	2/3	1/3	1/3	2/6	Тетраэдр
4	1/2	1/3	1/4	1/12	Куб / октаэдр
5	2/3	1/4	1/4	2/12	Куб / октаэдр
6	1/2	1/3	1/5	1/30	Икосаэдр / Додекаэдр
7	2/5	1/3	1/3	2/30	Икосаэдр / Додекаэдр
8	2/3	1/5	1/5	2/30	Икосаэдр / Додекаэдр
9	1/2	2/5	1/5	3/30	Икосаэдр / Додекаэдр
10	3/5	1/3	1/5	30 апреля	Икосаэдр / Додекаэдр
11	2/5	2/5	2/5	30 июня	Икосаэдр / Додекаэдр
12	2/3	1/3	1/5	30 июня	Икосаэдр / Додекаэдр
13	4/5	1/5	1/5	30 июня	Икосаэдр / Додекаэдр
14	1/2	2/5	1/3	30.07	Икосаэдр / Додекаэдр
15	3/5	2/5	1/3	30.10	Икосаэдр / Додекаэдр

Число ${\ displaystyle \ lambda, \ mu, \ nu}$ являются (с точностью до перестановок, смены знаков и добавления ${\ displaystyle (\ ell, m, n) \ in \ mathbb {Z} ^ {3}}$ с ${\ displaystyle \ ell + m + n}$ даже) различия ${\ displaystyle 1-c, cab, ba}$ показателей гипергеометрического дифференциального уравнения в трех особых точках ${\ displaystyle 0,1, \ infty}$ . Они являются рациональными числами тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle a, b}$ и ${\ displaystyle c}$ являются, вопрос, который имеет значение в арифметике, а не в геометрических подходах к теории.

Дальнейшая работа

Расширение результатов Шварца было дано Т. Кимура, занимавшегося случаями , когда компонента единицы в дифференциальной группе Галуа гипергеометрического уравнения является разрешимой группой . ^[3]^[4] Общий результат, связывающий дифференциальную группу Галуа G и группу монодромии Γ, утверждает, что G является замыканием Зариски группы Γ - эта теорема приписывается в книге Мацуда Мичио Куга . По общей дифференциальной теории Галуа полученная таблица Кимуры-Шварца классифицирует случаи интегрируемости уравнения алгебраическими функциями и квадратурами .

Другой соответствующий список - это список К. Такеучи , который классифицировал (гиперболические) треугольные группы, которые являются арифметическими группами (85 примеров). ^[5]

Эмиль Пикар стремился расширить работу Шварца в комплексной геометрии с помощью обобщенной гипергеометрической функции , чтобы построить случаи уравнений, в которых монодромия была дискретной группой в проективной унитарной группе PU (1, n ). Пьер Делинь и Джордж Мостоу использовали его идеи для построения решеток в проективной унитарной группе. Эта работа восстанавливает в классическом случае конечность списка Такеучи и с помощью характеристики построенных им решеток, которые являются арифметическими группами, предоставила новые примеры неарифметических решеток в PU (1, n ). ^[6]

Балдассари применил универсальность Клейна, чтобы обсудить алгебраические решения уравнения Ламе с помощью списка Шварца. ^[7]

Другие гипергеометрические функции, которые могут быть выражены алгебраически, такие как те, что в списке Шварца, возникают в теоретической физике в контексте ${\ displaystyle T {\ overline {T}}}$ деформации двумерных калибровочных теорий. ^[8]

См. Также

Треугольник Шварца

Примечания

^ Современное рассмотрение находится в F. Baldassarri, B. Dwork, О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка с алгебраическими решениями , Amer. J. Math. 101 (1) (1979) 42–76.
^ http://archive.numdam.org/ARCHIVE/GAU/GAU_1986-1987__14_/GAU_1986-1987__14__A12_0/GAU_1986-1987__14__A12_0.pdf , стр.5-6.
^ http://fe.math.kobe-u.ac.jp/FE/Free/vol12/fe12-18.pdf
^ http://www.intlpress.com/MAA/p/2001/8_1/MAA-8-1-113-120.pdf на стр. 116 для рецептуры.
^ http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.jmsj/1240433796
^ http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1986__63_/PMIHES_1986__63__5_0/PMIHES_1986__63__5_0.pdf
^ F. Baldassarri, Об алгебраических решениях дифференциального уравнения Ламе , J. Дифференциальные уравнения 41 (1) (1981) 44–58. Исправление в алгебраических решениях уравнения Ламе, Revisited (PDF) , Роберт С. Майер.
^ Бреннан, Т. Дэниэл; Ферко, Кристиан; Сетхи, Савдип (2019). "Неабелев аналог DBI из ${\ displaystyle T {\ overline {T}}}$ ". arXiv : 1912.12389 [ hep-th ].

Ссылки

Мацуда, Мичихико (1985), Лекции по алгебраическим решениям гипергеометрических дифференциальных уравнений (PDF) , Лекции по математике, 15 , Токио: Kinokuniya Company Ltd., MR 1104881
Schwarz, HA (1873), "Ueber diejenigen Fälle in wellchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 75 : 292–335, ISSN 0075-4102

Внешние ссылки

К нелинейному списку Шварца (PDF)

[1] Современное рассмотрение находится в F. Baldassarri, B. Dwork, О линейных дифференциальных уравнениях второго порядка с алгебраическими решениями , Amer. J. Math. 101 (1) (1979) 42–76.

[2] ttp://archive.numdam.org/ARCHIVE/GAU/GAU_1986-1987__14_/GAU_1986-1987__14__A12_0/GAU_1986-1987__14__A12_0.pdf , стр.5-6.

[3] ttp://fe.math.kobe-u.ac.jp/FE/Free/vol12/fe12-18.pdf

[4] ttp://www.intlpress.com/MAA/p/2001/8_1/MAA-8-1-113-120.pdf на стр. 116 для рецептуры.

[5] ttp://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.jmsj/1240433796

[6] ttp://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1986__63_/PMIHES_1986__63__5_0/PMIHES_1986__63__5_0.pdf

[7] F. Baldassarri, Об алгебраических решениях дифференциального уравнения Ламе , J. Дифференциальные уравнения 41 (1) (1981) 44–58. Исправление в алгебраических решениях уравнения Ламе, Revisited (PDF) , Роберт С. Майер.

[8] Бреннан, Т. Дэниэл; Ферко, Кристиан; Сетхи, Савдип (2019). "Неабелев аналог DBI из ${\ displaystyle T {\ overline {T}}}$ ". arXiv : 1912.12389 [ hep-th ].

[1]