Каноническая форма Вейра

На изображении показан пример общей матрицы Вейра, состоящей из двух блоков, каждый из которых является базовой матрицей Вейра. Основная матрица Вейра в верхнем левом углу имеет структуру (4,2,1), а другая - структуру (2,2,1,1).

В математике , в линейной алгебре , каноническая форма Вейра (или форма Вейра или матрица Вейра ) представляет собой квадратную матрицу, удовлетворяющую определенным условиям. Квадратная матрица называется в Вейр канонической форме , если матрица удовлетворяет условиям , определяющие Вейр каноническую форму. Форма Вейра была открыта чешским математиком Эдуардом Вейром в 1885 году. ^{[1] [2] [3]} Форма Вейра не стала популярной среди математиков, и ее затмила тесно связанная, но отличная каноническая форма, известная под названиемКаноническая форма Иордании . ^[3] Форма Вейра была переоткрыта несколько раз с момента первоначального открытия Вейра в 1885 году. ^[4] Эта форма называлась по-разному: модифицированная форма Жордана, переупорядоченная форма Жордана, вторая форма Жордана и H-форма . ^[4] Нынешняя терминология принадлежит Шапиро, который представил ее в статье, опубликованной в American Mathematical Monthly в 1999 году. ^{[4] [5]}

Недавно было найдено несколько приложений для матрицы Вейра. Особый интерес представляет применение матрицы Вейра в изучении филогенетических инвариантов в биоматематике .

Определения [ править ]

Базовая матрица Вейра [ править ]

Определение [ править ]

Базовая матрица Вейра с собственным значением - это матрица следующего вида: Существует разбиение${\ displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle n_ {1} + n_ {2} + \ cdots + n_ {r} = n}$из с${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п_ {1} \ geq n_ {2} \ geq \ cdots \ geq n_ {r} \ geq 1}$

Таким образом, когда он рассматривается как матрица блоков , где блок является матрицей, присутствуют следующие три функции:${\ displaystyle W}$${\ Displaystyle г \ раз г}$ ${\ displaystyle (W_ {ij})}$${\ displaystyle (я, j)}$${\ displaystyle W_ {ij}}$${\ displaystyle n_ {i} \ times n_ {j}}$

1. Главные диагональные блоки - это скалярные матрицы для .${\ displaystyle W_ {ii}}$${\ displaystyle n_ {i} \ times n_ {i}}$ ${\ displaystyle \ lambda I}$${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, г}$
2. Первые наддиагональные блоки являются полной колонками ранга матрицей в восстановленной форме строки эшелона (то есть, единичная матрица с последующей нулевыми строками) для .${\displaystyle W_{i,i+1}}$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i+1}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,r-1}$
3. Все остальные блоки W равны нулю (то есть когда ).${\displaystyle W_{ij}=0}$${\displaystyle j\neq i,i+1}$

В этом случае мы говорим, что имеет структуру Вейра .${\displaystyle W}$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})}$

Пример [ править ]

Ниже приводится пример базовой матрицы Вейра.

В этой матрице и . Так же обстоит дело со структурой Вейра . Также,${\displaystyle n=9}$${\displaystyle n_{1}=4,n_{2}=2,n_{3}=2,n_{4}=1}$${\displaystyle W}$${\displaystyle (4,2,2,1)}$

а также

Общая матрица Вейра [ править ]

Определение [ править ]

Позвольте быть квадратной матрицей и пусть быть различными собственными значениями . Мы говорим, что это матрица Вейра (или матрица Вейра), если она имеет следующий вид:${\displaystyle W}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

где - базовая матрица Вейра с собственным значением для .${\displaystyle W_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$

Пример [ править ]

На следующем изображении показан пример общей матрицы Вейра, состоящей из трех основных блоков матрицы Вейра. Базовая матрица Вейра в верхнем левом углу имеет структуру (4,2,1) с собственным значением 4, средний блок имеет структуру (2,2,1,1) с собственным значением -3, а блок в правом нижнем углу угол имеет структуру (3, 2) с собственным значением 0.

Связь между формами Вейра и Иордании [ править ]

Каноническая форма Вейра связана с жордановой формой простой перестановкой для каждого базового блока Вейра следующим образом: первый индекс каждого подблока Вейра образует наибольшую жордановую цепочку. После вычеркивания этих строк и столбцов первый индекс каждого нового подблока образует вторую по величине цепочку Жордана и так далее. ^[6]${\displaystyle W=P^{-1}JP}$${\displaystyle J}$${\displaystyle P}$

Форма Вейра каноническая [ править ]

То, что форма Вейра является канонической формой матрицы, является следствием следующего результата: ^[3] Каждая квадратная матрица над алгебраически замкнутым полем подобна матрице Вейра, которая уникальна с точностью до перестановки ее основных блоков. Матрица называется вейровской (канонической) формой матрицы .${\displaystyle A}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$

Вычисление канонической формы Вейра [ править ]

Редукция к нильпотентному случаю [ править ]

Позвольте быть квадратной матрицей порядка над алгебраически замкнутым полем и пусть различные собственные значения будут . Теорема Жордана – Шевалле утверждает, что она похожа на блочно-диагональную матрицу вида${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{k}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\lambda _{1}I+N_{1}&&&\\&\lambda _{2}I+N_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&\lambda _{k}I+N_{k}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}I&&&\\&\lambda _{2}I&&\\&&\ddots &\\&&&\lambda _{k}I\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}N_{1}&&&\\&N_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&N_{k}\\\end{bmatrix}}=D+N}$

где - диагональная матрица , - нильпотентная матрица , и , оправдывая сокращение на подблоки . Таким образом, проблема приведения к форме Вейра сводится к проблеме приведения нильпотентных матриц к форме Вейра. Это приводит к обобщенной теореме о разложении собственного подпространства .${\displaystyle D}$${\displaystyle N}$${\displaystyle [D,N]=0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle N_{i}}$

Приведение нильпотентной матрицы к форме Вейра [ править ]

Учитывая нильпотентную квадратную матрицу порядка над алгебраически замкнутым полем , следующий алгоритм производит обратимую матрицу и матрицу Вейра такие, что .${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W=C^{-1}AC}$

Шаг 1

Позволять ${\displaystyle A_{1}=A}$

Шаг 2

1. Вычислить базис для нулевого пространства в .${\displaystyle A_{1}}$
2. Расширить базис для нулевого пространства до базиса для -мерного векторного пространства .${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F^{n}}$
3. Сформируйте матрицу, состоящую из этих базисных векторов.${\displaystyle P_{1}}$
4. Вычислить . квадратная матрица размера - пустота .${\displaystyle P_{1}^{-1}A_{1}P_{1}={\begin{bmatrix}0&B_{2}\\0&A_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (A_{1})}$

Шаг 3

Если не равно нулю, повторите шаг 2 .${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle A_{2}}$

1. Вычислить основу для нулевого пространства .${\displaystyle A_{2}}$
2. Расширить основу для нулевого пространства до основы для векторного пространства, имеющего размерность - null .${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (A_{1})}$
3. Сформируйте матрицу, состоящую из этих базисных векторов.${\displaystyle P_{2}}$
4. Вычислить . представляет собой квадратную матрицу размера - недействительности - недействительности .${\displaystyle P_{2}^{-1}A_{2}P_{2}={\begin{bmatrix}0&B_{3}\\0&A_{3}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (A_{1})}$${\displaystyle (A_{2})}$

Шаг 4

Продолжайте процессы шагов 1 и 2, чтобы получить квадратные матрицы все меньшего размера и соответствующие обратимые матрицы, пока не будет получена первая нулевая матрица .${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},\ldots }$${\displaystyle A_{r}}$

Шаг 5

Структура Вейра - where = nullity .${\displaystyle A}$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle (A_{i})}$

ШАГ 6

1. Вычислите матрицу (здесь это единичные матрицы подходящего размера).${\displaystyle P=P_{1}{\begin{bmatrix}I&0\\0&P_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\0&P_{3}\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}I&0\\0&P_{r}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle I}$
2. Вычислить . представляет собой матрицу следующего вида:${\displaystyle X=P^{-1}AP}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}0&X_{12}&X_{13}&\cdots &X_{1,r-1}&X_{1r}\\&0&X_{23}&\cdots &X_{2,r-1}&X_{2r}\\&&&\ddots &\\&&&\cdots &0&X_{r-1,r}\\&&&&&0\end{bmatrix}}}$.

Шаг 7.

Используйте элементарные операции со строками, чтобы найти обратимую матрицу подходящего размера, так что продукт представляет собой матрицу формы .${\displaystyle Y_{r-1}}$${\displaystyle Y_{r-1}X_{r,r-1}}$${\displaystyle I_{r,r-1}={\begin{bmatrix}I\\O\end{bmatrix}}}$

Шаг 8

Установите диагональ и вычислите . В этой матрице -блок есть .${\displaystyle Q_{1}=}$${\displaystyle (I,I,\ldots ,Y_{r-1}^{-1},I)}$${\displaystyle Q_{1}^{-1}XQ_{1}}$${\displaystyle (r,r-1)}$${\displaystyle I_{r,r-1}}$

Шаг 9

Найдите матрицу, образованную как произведение элементарных матриц, такую как матрица, в которой все блоки над блоком содержат только 's.${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle R_{1}^{-1}Q_{1}^{-1}XQ_{1}R_{1}}$${\displaystyle I_{r,r-1}}$${\displaystyle 0}$

Шаг 10.

Повторите шаги 8 и 9 на колонке преобразование -блока с помощью конъюгации с некоторой обратимой матрицей . Используйте этот блок, чтобы очистить блоки выше, через сопряжение произведением элементарных матриц.${\displaystyle r-1}$${\displaystyle (r-1,r-2)}$${\displaystyle I_{r-1,r-2}}$${\displaystyle Q_{2}}$${\displaystyle R_{2}}$

Шаг 11

Повторите эти процессы для столбцов, используя спряжения по . Результирующая матрица теперь имеет форму Вейра.${\displaystyle r-2,r-3,\ldots ,3,2}$${\displaystyle Q_{3},R_{3},\ldots ,Q_{r-2},R_{r-2},Q_{r-1}}$${\displaystyle W}$

Шаг 12.

Пусть . Тогда .${\displaystyle C=P_{1}{\text{diag}}(I,P_{2})\cdots {\text{diag}}(I,P_{r-1})Q_{1}R_{1}Q_{2}\cdots R_{r-2}Q_{r-1}}$${\displaystyle W=C^{-1}AC}$

Приложения формы Вейра [ править ]

Некоторые известные применения формы Вейра перечислены ниже: ^[3]

1. Форму Вейра можно использовать для упрощения доказательства теоремы Герстенхабера, которая утверждает, что подалгебра, порожденная двумя коммутирующими матрицами, имеет размерность не больше .${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n}$
2. Набор конечных матриц называется приблизительно одновременно диагонализуемым, если они могут быть возмущены до одновременно диагонализируемых матриц. Форма Вейра используется для доказательства приближенной одновременной диагонализуемости различных классов матриц. Свойство приближенной одновременной диагонализуемости имеет приложения при изучении филогенетических инвариантов в биоматематике .
3. Форму Вейра можно использовать для упрощения доказательств неприводимости многообразия всех k -наборов коммутирующих комплексных матриц.

Ссылки [ править ]