В квантовой механике , в Вигнере 3-J символы , называемые также 3 -jm символами, являются альтернативой коэффициентов Клебша-Гордана с целью добавления угловых моментов. [1] В то время как оба подхода решают одну и ту же физическую проблему, символы 3- j решают это более симметрично.
Математическая связь с коэффициентами Клебша – Гордана.
Символы 3- j даны в терминах коэффициентов Клебша – Гордана формулой
Компоненты j и m являются квантовыми числами углового момента, т. Е. Каждое j (и каждое соответствующее m ) является либо неотрицательным целым числом, либо полу-нечетным целым числом . Показатель знакового множителя всегда является целым числом, поэтому он остается неизменным при переносе влево, и обратное соотношение следует после замены m 3 → - m 3 :
Определительная связь с коэффициентами Клебша – Гордана.
Коэффициенты CG определены таким образом, чтобы выразить сложение двух угловых моментов через третий:
С другой стороны, символы 3- j представляют собой коэффициенты, с которыми необходимо сложить три угловых момента, чтобы результат был равен нулю:
Здесь - состояние с нулевым угловым моментом (). Очевидно, что символ 3- j трактует все три угловых момента, участвующих в задаче сложения, на равной основе и, следовательно, является более симметричным, чем коэффициент CG.
Поскольку государство не изменяется при вращении, также говорят, что сжатие продукта трех вращательных состояний с символом 3- j инвариантно относительно вращений.
Правила отбора
Символ Вигнера 3- j равен нулю, если не выполняются все эти условия:
Свойства симметрии
Символ 3- j инвариантен относительно четной перестановки его столбцов:
Нечетная перестановка столбцов дает фазовый коэффициент:
Смена знака квантовые числа ( обращение времени ) также дает фазу:
Символы 3- j также обладают так называемыми симметриями Редже, которые не связаны с перестановками или обращением времени. [2] Эти симметрии:
С симметриями Редже символ 3- j имеет в общей сложности 72 симметрии. Они лучше всего отображаются с помощью определения символа Редже, который является взаимно однозначным соответствием между ним и символом 3- j и предполагает свойства полумагического квадрата: [3]
при этом 72 симметрии теперь соответствуют 3! ряд и 3! местами столбцов плюс транспонирование матрицы. Эти факты можно использовать для разработки эффективной схемы хранения. [3]
Отношения ортогональности
Система двух угловых моментов с величинами j 1 и j 2 может быть описана либо в терминах несвязанных базисных состояний (обозначенных квантовыми числами m 1 и m 2 ), либо в терминах связанных базисных состояний (обозначенных j 3 и m 3 ). Символы 3- j составляют унитарное преобразование между этими двумя базами, и эта унитарность подразумевает соотношения ортогональности
Треугольная дельта { J 1 J 2 J 3 } равно 1 , когда триада ( J 1 , J 2 , J 3 ) удовлетворяет условиям треугольника и равна нулю в противном случае. Сама треугольная дельта иногда сбивает с толку [4] « символом 3- j » (без m ) по аналогии с символами 6- j и 9- j , все из которых представляют собой неприводимые суммы 3- jm символов, в которых нет m переменных. оставаться.
Отношение к сферическим гармоникам
Символы 3- jm дают интеграл произведений трех сферических гармоник [ необходима ссылка ]
с участием , а также целые числа.
Связь с интегралами взвешенных по спину сферических гармоник
Аналогичные соотношения существуют для взвешенных по спину сферических гармоник, если:
Рекурсионные отношения
Асимптотические выражения
Для ненулевой 3- j символ
где , а также является функцией Вигнера . Как правило, лучшее приближение, подчиняющееся симметрии Редже, дается выражением
где .
Метрический тензор
Следующая величина действует как метрический тензор в теории углового момента и также известна как 1-jm-символ Вигнера : [1]
Его можно использовать для обращения времени по угловым моментам.
Прочие свойства
где P - многочлены Лежандра .
Связь с V- коэффициентами Рака
3- j- символы Вигнера связаны с V- коэффициентами Рака [5] простой фазой:
Смотрите также
Рекомендации
- ^ а б Вигнер, EP (1951). «О матрицах, сводящих кронекеровы произведения представлений групп СР». В Wightman, Артур С. (ред.). Собрание сочинений Эжена Поля Вигнера . 3 . С. 608–654. DOI : 10.1007 / 978-3-662-02781-3_42 . ISBN 978-3-642-08154-5.
- ^ Редже, Т. (1958). "Свойства симметрии коэффициентов Клебша-Гордана". Nuovo Cimento . 10 (3): 544. Полномочный код : 1958NCim ... 10..544R . DOI : 10.1007 / BF02859841 . S2CID 122299161 .
- ^ а б Rasch, J .; Ю, ACH (2003). «Эффективная схема хранения для предварительно рассчитанных коэффициентов Вигнера 3 j , 6 j и Гаунта». SIAM J. Sci. Comput . 25 (4): 1416–1428. DOI : 10.1137 / s1064827503422932 .
- ^ PES Wormer; Дж. Палдус (2006). «Диаграммы углового момента». Успехи квантовой химии . Эльзевир. 51 : 59–124. Bibcode : 2006AdQC ... 51 ... 59W . DOI : 10.1016 / S0065-3276 (06) 51002-0 . ISBN 9780120348510. ISSN 0065-3276 .
- ^ Раках, Г. (1942). «Теория комплексных спектров II». Физический обзор . 62 (9–10): 438–462. Полномочный код : 1942PhRv ... 62..438R . DOI : 10.1103 / PhysRev.62.438 .
- LC Biedenharn и JD Louck, Угловой момент в квантовой физике , том 8 Энциклопедии математики, Addison-Wesley, Reading, 1981.
- DM Brink и GR Satchler, Angular Momentum , 3-е издание, Clarendon, Oxford, 1993.
- Эдмондс, Угловой момент в квантовой механике , 2-е издание, Princeton University Press, Princeton, 1960.
- Максимон, Леонард С. (2010), «3j, 6j, 9j Symbols» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- Варшалович Д.А.; Москалев АН; Херсонский, В.К. (1988). Квантовая теория углового момента . World Scientific Publishing Co.
- Редже, Т. (1958). "Свойства симметрии коэффициентов Клебша-Гордона". Nuovo Cimento . 10 (3): 544–545. Bibcode : 1958NCim ... 10..544R . DOI : 10.1007 / BF02859841 . S2CID 122299161 .
- Мошинский, Маркос (1962). «Коэффициенты Вигнера для группы SU 3 и некоторые приложения». Ред. Мод. Phys . 34 (4): 813. Полномочный код : 1962RvMP ... 34..813M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.34.813 .
- Baird, GE; Биденхарн, LC (1963). «О представлении полупростых групп Ли. II». J. Math. Phys . 4 (12): 1449. Bibcode : 1963JMP ..... 4.1449B . DOI : 10.1063 / 1.1703926 .
- Сварт де, Дж. Дж. (1963). «Модель октета и ее коэффициенты Глебша-Гордана» . Ред. Мод. Phys . 35 (4): 916. Полномочный код : 1963RvMP ... 35..916D . DOI : 10.1103 / RevModPhys.35.916 .
- Baird, GE; Биденхарн, LC (1964). «О представлениях полупростых групп Ли. III. Явная операция сопряжения для SU n ». J. Math. Phys . 5 (12): 1723. Bibcode : 1964JMP ..... 5.1723B . DOI : 10.1063 / 1.1704095 .
- Хори, Хисаши (1964). «Представления симметричной группы и дробные коэффициенты отцовства». J. Phys. Soc. Jpn . 19 (10): 1783. Bibcode : 1964JPSJ ... 19.1783H . DOI : 10,1143 / JPSJ.19.1783 .
- P. McNamee, SJ; Чилтон, Фрэнк (1964). «Таблицы коэффициентов Клебша-Гордана для SU 3 ». Ред. Мод. Phys . 36 (4): 1005. Полномочный код : 1964RvMP ... 36.1005M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.36.1005 .
- Hecht, KT (1965). « Перевязка СУ 3 и дробное отцовство в оболочке 2с-1д». Nucl. Phys . 62 (1): 1. Bibcode : 1965NucPh..62 .... 1H . DOI : 10.1016 / 0029-5582 (65) 90068-4 . ЛВП : 2027,42 / 32049 .
- Itzykson, C .; Науэнберг, М. (1966). «Унитарные группы: представления и разложения». Ред. Мод. Phys . 38 (1): 95. Полномочный код : 1966RvMp ... 38 ... 95I . DOI : 10.1103 / RevModPhys.38.95 . ОСТИ 1444219 .
- Крамер, П. (1967). «Орбитальные дробные коэффициенты отцовства для модели оболочки гармонического осциллятора». Z. Phys . 205 (2): 181. Bibcode : 1967ZPhy..205..181K . DOI : 10.1007 / BF01333370 . S2CID 122879812 .
- Крамер, П. (1968). «Коэффициенты пересоединения симметричной группы для конфигураций моделей оболочек и кластеров». Z. Phys . 216 (1): 68. Bibcode : 1968ZPhy..216 ... 68K . DOI : 10.1007 / BF01380094 . S2CID 121508850 .
- Hecht, KT; Пан, Синг Чинг (1969). "О схеме супермультиплета Вигнера" (PDF) . J. Math. Phys . 10 (9): 1571. Bibcode : 1969JMP .... 10.1571H . DOI : 10.1063 / 1.1665007 . ЛВП : 2027,42 / 70485 .
- Лезуо, KJ (1972). «Симметрическая группа и базис Гельфанда U (3). Обобщения тождества Дирака». J. Math. Phys . 13 (9): 1389. Bibcode : 1972JMP .... 13.1389L . DOI : 10.1063 / 1.1666151 .
- Draayer, JP; Акияма, Йошими (1973). «Коэффициенты Вигнера и Рака для SU 3 » (PDF) . J. Math. Phys . 14 (12): 1904. Bibcode : 1973JMP .... 14.1904D . DOI : 10.1063 / 1.1666267 . ЛВП : 2027,42 / 70151 .
- Акияма, Йошими; Draayer, JP (1973). «Руководство пользователя по программам fortran для коэффициентов Вигнера и Рака для SU 3 ». Комп. Phys. Comm . 5 (6): 405. Bibcode : 1973CoPhC ... 5..405A . DOI : 10.1016 / 0010-4655 (73) 90077-5 . ЛВП : 2027,42 / 24983 .
- Палдус, Йозеф (1974). «Теоретико-групповой подход к расчетам конфигурационного взаимодействия и теории возмущений для атомных и молекулярных систем». J. Chem. Phys . 61 (12): 5321. Bibcode : 1974JChPh..61.5321P . DOI : 10.1063 / 1.1681883 .
- Шультен, Клаус; Гордон, Рой Г. (1975). «Точное рекурсивное вычисление 3j и 6j-коэффициентов квантово-механической связи угловых моментов». J. Math. Phys . 16 (10): 1961–1970. Bibcode : 1975JMP .... 16.1961S . DOI : 10.1063 / 1.522426 .
- Haacke, EM; Моффат, JW; Савария, П. (1976). «Расчет SU (4) коэффициентов Глебша-Гордана». J. Math. Phys . 17 (11): 2041. Bibcode : 1976JMP .... 17.2041H . DOI : 10.1063 / 1.522843 .
- Палдус, Йозеф (1976). «Унитарно-групповой подход к проблеме многоэлектронной корреляции: соотношение формулировок таблиц Гельфанда и Вейля». Phys. Rev. A . 14 (5) : 1620. Bibcode : 1976PhRvA..14.1620P . DOI : 10.1103 / PhysRevA.14.1620 .
- Бикерстафф, РП; Батлер, PH; Окурки, МБ; Haase, R. w .; Рид, MF (1982). «Таблицы 3jm и 6j для некоторых баз СУ 6 и СУ 3 ». J. Phys. . 15 (4): 1087. Bibcode : 1982JPhA ... 15.1087B . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 15/4/014 .
- Сарма, ЧР; Сахасрабудхе, Г.Г. (1980). «Перестановочная симметрия состояний многих частиц». J. Math. Phys . 21 (4): 638. Bibcode : 1980JMP .... 21..638S . DOI : 10.1063 / 1.524509 .
- Чен, Цзинь-Цюань; Гао, Мэй-Хуан (1982). «Новый подход к представлению группы перестановок». J. Math. Phys . 23 (6): 928. Bibcode : 1982JMP .... 23..928C . DOI : 10.1063 / 1.525460 .
- Сарма, CR (1982). «Определение базиса неприводимых представлений унитарной группы для U (p + q) ↓ U (p) × U (q)». J. Math. Phys . 23 (7): 1235. Bibcode : 1982JMP .... 23.1235S . DOI : 10.1063 / 1.525507 .
- Chen, J.-Q .; Чен, X.-G. (1983). «Базис Гельфанда и матричные элементы градуированной унитарной группы U (m / n)». J. Phys. . 16 (15): 3435. Bibcode : 1983JPhA ... 16.3435C . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 16/15/010 .
- Никам, РС; Динеша, КВ; Сарма, CR (1983). «Сокращение представлений внутреннего продукта унитарных групп». J. Math. Phys . 24 (2): 233. Bibcode : 1983JMP .... 24..233N . DOI : 10.1063 / 1.525698 .
- Чен, Цзинь-Цюань; Коллинсон, Дэвид Ф .; Гао, Мэй-Хуан (1983). «Коэффициенты преобразования групп перестановок». J. Math. Phys . 24 (12): 2695. Bibcode : 1983JMP .... 24.2695C . DOI : 10.1063 / 1.525668 .
- Чен, Цзинь-Цюань; Гао, Мэй-Жуан; Чен, Сюань-Ген (1984). «Коэффициент Клебша-Гордана для SU (m / n) базиса Гельфанда». J. Phys. . 17 (3): 481. Bibcode : 1984JPhA ... 17..727K . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 17/3/011 .
- Шриниваса Рао, К. (1985). «Специальные вопросы квантовой теории углового момента». Прамана . 24 (1): 15–26. Bibcode : 1985Prama..24 ... 15R . DOI : 10.1007 / BF02894812 . S2CID 120663002 .
- Вэй, Лицян (1999). «Единый подход для точного расчета угловых моментов связи и коэффициентов обратной связи». Комп. Phys. Comm . 120 (2–3): 222–230. Bibcode : 1999CoPhC.120..222W . DOI : 10.1016 / S0010-4655 (99) 00232-5 .
- Rasch, J .; Ю, ACH (2003). «Схема эффективного хранения предварительно рассчитанных коэффициентов Вигнера 3j, 6j и Гаунта». SIAM J. Sci. Comput . 25 (4): 1416–1428. DOI : 10.1137 / s1064827503422932 .
Внешние ссылки
- Стоун, Энтони. «Калькулятор коэффициента Вигнера» .
- Воля, А. " Веб-калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана, 3- j и 6- j " . Архивировано из оригинала на 2007-09-29. (Числовой)
- Стивенсон, Пол (2002). "Клебш-О-Матик" . Компьютерная физика . 147 (3): 853–858. Bibcode : 2002CoPhC.147..853S . DOI : 10.1016 / S0010-4655 (02) 00462-9 .
- Калькулятор 369j-символов в плазменной лаборатории Института Вейцмана (числовой)
- Frederik J Simons: архив программного обеспечения Matlab, код THREEJ.M
- Sage (математическая программа) Дает точный ответ для любого значения j, m
- Йоханссон, HT; Форссен, К. "(WIGXJPF)" . (точный; C, фортран, питон)
- Йоханссон, HT "(FASTWIGXJ)" . (быстрый поиск, точный; C, фортран)