Число Вильямса

В теории чисел , А Уильямса счисления Ь является натуральным числом от формы для целых чисел б ≥ 2 , и п ≥ 1. ^[1] чисел Williams основывают 2 в точности числа Мерсенна .${\ displaystyle (b-1) \ cdot b ^ {n} -1}$

Уильямс прайм

Williams премьер является числом Williams , который является премьер . Их рассматривал Хью К. Уильямс . ^[2]

Наименьшее n ≥ 1 такое, что ( b −1) · b ⁿ - 1 простое число: (начинаются с b = 2)

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 1362 11, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, .. .

По состоянию на сентябрь 2018 ^{[Обновить]}года наибольшее известное основание 3 простых ^чисел Уильямса составляет 2 × 3 ^1360104 −1. ^[3]

Обобщение

Уильямса количество второго рода базовой б представляет собой натуральное число вида для целых чисел б ≥ 2 , и п ≥ 1, а Уильямс расцвет второго рода является числом Уильямса второго рода , который является простым числом. Простые числа Вильямса второго рода с основанием 2 - это в точности простые числа Ферма .${\ displaystyle (b-1) \ cdot b ^ {n} +1}$

Наименьшее n ≥ 1 такое, что ( b −1) · b ⁿ + 1 простое число: (начинаются с b = 2)

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, .. . (последовательность A305531 в OEIS )

По состоянию на сентябрь 2018 ^{[Обновить]}года наибольшее известное простое число Уильямса второго типа с основанием 3 составляет 2 × 3 ^1175232 +1. ^[4]

Уильямс количество третьего рода базовой б это натуральное число от формы для целых чисел Ь ≥ 2 и п ≥ 1, число Williams третьего рода основание 2 в точности число Thabit . Williams премьер - го рода является числом Williams третьего рода , который является простым.${\ displaystyle (b + 1) \ cdot b ^ {n} -1}$

Уильямс количество четвертого рода базовой б это натуральное число от формы для целых чисел б ≥ 2 , и п ≥ 1, а Уильямс расцвете четвертого рода является числом Уильямса четвертого рода , что является простым, такими простыми числа не существует для .${\ Displaystyle (Ь + 1) \ CDOT Ь ^ {п} +1}$${\ Displaystyle б \ эквив 1 {\ bmod {3}}}$

б	числа n такие, что является простым${\ displaystyle (b + 1) \ cdot b ^ {n} -1}$	числа n такие, что является простым${\ Displaystyle (Ь + 1) \ CDOT Ь ^ {п} +1}$
2	OEIS :  A002235	OEIS :  A002253
3	OEIS :  A005540	OEIS :  A005537
5	OEIS :  A257790	OEIS :  A143279
10	OEIS :  A111391	(не существует)

Предполагается, что для любого b ≥ 2 существует бесконечно много простых чисел Вильямса первого рода (исходных простых чисел Вильямса) с базой b , бесконечно много простых чисел Вильямса с базой b второго рода и бесконечно много простых чисел Вильямса с базой третьего рода. б . Кроме того, если b не = 1 mod 3, то существует бесконечно много простых чисел Вильямса четвертого рода с основанием b .

Двойная форма

Если мы позволим n принимать отрицательные значения и выберем числитель чисел, то получим эти числа:

Двойственные числа Вильямса первого рода с основанием b : числа вида с b ≥ 2 и n ≥ 1.${\ displaystyle b ^ {n} - (b-1)}$

Двойственные числа Вильямса второго рода с основанием b : числа вида с b ≥ 2 и n ≥ 1.${\ displaystyle b ^ {n} + (b-1)}$

Двойственные числа Вильямса третьего рода с основанием b : числа вида с b ≥ 2 и n ≥ 1.${\ displaystyle b ^ {n} - (b + 1)}$

Двойственные числа Вильямса четвертого типа с основанием b : числа вида с b ≥ 2 и n ≥ 1. (не существуют, когда b = 1 mod 3)${\ Displaystyle Ь ^ {п} + (Ь + 1)}$

В отличие от исходных простых чисел Вильямса каждого вида, некоторые большие двойственные простые числа Вильямса каждого вида являются только вероятными простыми числами , поскольку для этих простых чисел N ни N −1, ни N +1 не могут быть тривиально записаны в произведение.

б	числа n такие, что (вероятные) простые числа (двойные простые числа Вильямса первого рода)${\ displaystyle b ^ {n} - (b-1)}$	числа n такие, что (вероятные) простые числа (двойные простые числа Вильямса второго рода)${\ displaystyle b ^ {n} + (b-1)}$	числа n такие, что (вероятные) простые числа (двойные простые числа Вильямса третьего рода)${\ displaystyle b ^ {n} - (b + 1)}$	числа n такие, что (вероятные) простые числа (двойные простые числа Вильямса четвертого рода)${\ Displaystyle Ь ^ {п} + (Ь + 1)}$
2	OEIS :  A000043	(см. простое число Ферма )	OEIS :  A050414	OEIS :  A057732
3	OEIS :  A014224	OEIS :  A051783	OEIS :  A058959	OEIS :  A058958
4	OEIS :  A059266	OEIS :  A089437	OEIS :  A217348	(не существует)
5	OEIS :  A059613	OEIS :  A124621	OEIS :  A165701	OEIS :  A089142
6	OEIS :  A059614	OEIS :  A145106	OEIS :  A217352	OEIS :  A217351
7	OEIS :  A191469	OEIS :  A217130	OEIS :  A217131	(не существует)
8	OEIS :  A217380	OEIS :  A217381	OEIS :  A217383	OEIS :  A217382
9	OEIS :  A177093	OEIS :  A217385	OEIS :  A217493	OEIS :  A217492
10	OEIS :  A095714	OEIS :  A088275	OEIS :  A092767	(не существует)

(для наименьших двойных простых чисел Вильямса с основанием b 1-го, 2-го и 3-го родов см. OEIS :  A113516 , OEIS :  A076845 и OEIS :  A178250 )

Предполагается, что для любого b ≥ 2 существует бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса первого рода (исходных простых чисел Вильямса) с базой b , бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса второго рода с базой b и бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса с базой b база третьего типа b . Кроме того, если b не = 1 mod 3, то существует бесконечно много двойственных простых чисел Вильямса с основанием b четвертого рода .

Смотрите также

• Число Табита , которое в точности является числом Вильямса третьего типа с основанием 2

Рекомендации

Внешние ссылки

• Простота некоторых целых чисел вида 2 Ar n  - 1
• Некоторые простые числа вида 2 · 3 n  + 1 и 2 · 3 n  - 1
• Крис Колдуэлл, Самая большая известная база данных простых чисел на Prime Pages
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 2: (2−1) · 2 74207281 - 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 3: (3−1) · 3 1360104 - 1
• Простое число Вильямса второго рода с основанием 3: (3−1) · 3 1175232 + 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 10: (10−1) · 10 383643 - 1
• Простое число Вильямса первого рода с основанием 113: (113−1) · 113 286643 - 1
• Уильямс прайм в Prime wiki
• Список простых чисел Вильямса