Преобразование Y-Δ , также обозначаемое как звезда-дельта и также известное под многими другими названиями, представляет собой математический метод, упрощающий анализ электрической сети . Название происходит от формы принципиальных схем , которые выглядят соответственно как буква Y и греческая заглавная буква Δ . Эта теория преобразования цепей была опубликована Артуром Эдвином Кеннелли в 1899 году. [1] Она широко используется при анализе трехфазных электрических цепей.
Преобразование Y-Δ можно рассматривать как частный случай преобразования « звезда-сетка» для трех резисторов . В математике преобразование Y-Δ играет важную роль в теории круговых плоских графов . [2]
Имена
Иллюстрация преобразования в его T-представлении.
Преобразование Y-Δ известно под множеством других имен, в основном основанных на двух задействованных фигурах, перечисленных в любом порядке. Буква Y , обозначаемая звездой , также может называться Т или звездой ; Δ , прописано , как дельта , можно также назвать треугольник , Π (прописано , как пи ), или сетка . Таким образом, общие названия для преобразования включают в себя звезды на треугольник или дельта-Уай , звезда-треугольник , звезда-сетка , или Т-П .
Базовое преобразование Y-Δ
Цепи Δ и Y с обозначениями, которые используются в этой статье.
Преобразование используется для установления эквивалентности для сетей с тремя терминалами. Если три элемента заканчиваются в общем узле и ни один из них не является источником, узел удаляется путем преобразования импедансов. Для обеспечения эквивалентности полное сопротивление между любой парой клемм должно быть одинаковым для обеих сетей. Приведенные здесь уравнения действительны как для комплексных, так и для реальных сопротивлений.
Уравнения перехода от Δ к Y
Общая идея состоит в том, чтобы вычислить импеданс в оконечном узле Y-цепи с импедансами , к соседним узлам в Δ-схеме на
где - все сопротивления в цепи Δ. Это дает конкретные формулы
Уравнения перехода от Y к Δ
Общая идея состоит в том, чтобы вычислить импеданс в цепи Δ на
где представляет собой сумму произведений всех пар импедансов в цепи Y и - импеданс узла в цепи Y, который находится напротив края с . Таким образом, формулы для отдельных ребер
Или, если вместо сопротивления используется проводимость:
Обратите внимание, что общая формула от Y к Δ с использованием полной проводимости аналогична формуле от Δ к Y с использованием сопротивления.
Доказательство существования и единственности преобразования
Возможность преобразования может быть показана как следствие теоремы суперпозиции для электрических цепей . Краткое доказательство, а не доказательство, полученное как следствие более общего преобразования звездной сетки , может быть представлено следующим образом. Эквивалентность заключается в том, что для любых внешних напряжений ( а также ), применяемые в трех узлах ( а также ) соответствующие токи ( а также ) одинаковы как для схемы Y, так и для схемы Δ, и наоборот. В этом доказательстве мы начнем с заданных внешних токов в узлах. Согласно теореме суперпозиции, напряжения могут быть получены путем изучения суперпозиции результирующих напряжений в узлах следующих трех задач, применяемых в трех узлах с током:
а также
Эквивалентность легко показать с помощью схемных законов Кирхгофа, которые. Теперь каждая проблема относительно проста, поскольку включает только один-единственный идеальный источник тока. Чтобы получить точно такие же выходные напряжения в узлах для каждой задачи, эквивалентные сопротивления в двух цепях должны быть одинаковыми, это можно легко найти, используя основные правила для последовательных и параллельных цепей :
Хотя обычно шести уравнений более чем достаточно, чтобы выразить три переменные () в терминах трех других переменных (), здесь нетрудно показать, что эти уравнения действительно приводят к разработанным выше выражениям.
Фактически теорема суперпозиции устанавливает связь между значениями сопротивлений, теорема единственности гарантирует единственность такого решения.
Упрощение сетей
Резистивные цепи между двумя выводами теоретически можно упростить до одного эквивалентного резистора (в более общем смысле то же самое верно и для импеданса). Последовательные и параллельные преобразования являются основными инструментами для этого, но для сложных сетей, таких как мост, показанный здесь, их недостаточно.
Преобразование Y-Δ можно использовать для исключения одного узла за раз и создания сети, которую можно дополнительно упростить, как показано.
Преобразование сети мостовых резисторов с использованием преобразования Y-Δ для исключения узла D дает эквивалентную сеть, которую можно легко дополнительно упростить.
Обратное преобразование Δ-Y, добавляющее узел, часто также полезно для дальнейшего упрощения.
Преобразование схемы мостовых резисторов с использованием преобразования Δ-Y также дает эквивалентную схему, которую можно легко дополнительно упростить.
Каждая двухконтактная сеть, представленная планарным графом, может быть уменьшена до одного эквивалентного резистора последовательностью последовательных, параллельных преобразований Y-Δ и Δ-Y. [3] Однако существуют неплоские сети, которые нельзя упростить с помощью этих преобразований, например, правильная квадратная сетка, обернутая вокруг тора , или любого члена семейства Петерсена .
Теория графов
В теории графов преобразование Y-Δ означает замену подграфа Y графа эквивалентным подграфом Δ. Преобразование сохраняет количество ребер в графе, но не количество вершин или количество циклов . Два графика называются Y-Δ эквивалентными, если один может быть получен из другого серией Y-Δ преобразований в любом направлении. Например, семейство Петерсена - это класс эквивалентности Y-Δ .
Демонстрация
Уравнения преобразования Δ-нагрузки в Y-нагрузку
Цепи Δ и Y с метками, которые используются в этой статье.
Связать от Δ до от Y сравнивается импеданс между двумя соответствующими узлами. Импеданс в любой конфигурации определяется, как если бы один из узлов был отключен от цепи.
Полное сопротивление между N 1 и N 2 при отключенном N 3 в Δ:
Для упрощения пусть быть суммой .
Таким образом,
Соответствующий импеданс между N 1 и N 2 в Y прост:
следовательно:
(1)
Повторение для :
(2)
и для :
(3)
Отсюда значения может быть определен линейной комбинацией (сложение и / или вычитание).
Например, сложение (1) и (3), а затем вычитание (2) дает
Для полноты:
(4)
(5)
(6)
Уравнения преобразования нагрузки по оси Y в Δ
Позволять
.
Мы можем записать Δ в уравнения Y в виде
(1)
(2)
(3)
Умножение пар уравнений дает
(4)
(5)
(6)
и сумма этих уравнений равна
(7)
Фактор с правой стороны, оставив в числителе, исключив в знаменателе.
(8)
Обратите внимание на сходство между (8) и {(1), (2), (3)}
Разделить (8) на (1)
что является уравнением для . Разделив (8) на (2) или (3) (выражения для или же ) дает остальные уравнения.
Преобразование Δ в Y практического генератора
Во время анализа сбалансированных трехфазных систем питания обычно анализируется эквивалентная пофазная (или однофазная) схема из-за ее простоты. Для этого используются эквивалентные звездообразные соединения для генераторов , трансформаторов , нагрузок и двигателей . Обмотки статора практического трехфазного генератора с соединением треугольником, показанного на следующем рисунке, можно преобразовать в эквивалентный генератор с соединением звездой, используя шесть следующих формул [1] :
Практичный генератор, подключенный по схеме дельта / треугольник / пи. Показанные величины являются векторными напряжениями и комплексными импедансами. Щелкните изображение, чтобы развернуть его.
Полученная сеть выглядит следующим образом. Нейтральный узел эквивалентной сети фиктивен, как и векторные напряжения между фазой и нейтралью. Во время преобразования линейные векторные токи и линейные (или линейные или межфазные) фазовые напряжения не изменяются.
Эквивалентный практичный генератор, подключенный по схеме звезда / звезда / тройник. Щелкните изображение, чтобы развернуть его.
Если фактический дельта-генератор сбалансирован, что означает, что внутренние векторные напряжения имеют одинаковую величину и сдвинуты по фазе на 120 ° между собой, а три комплексных импеданса одинаковы, то предыдущие формулы сводятся к четырем следующим:
где для последних трех уравнений используется первый знак (+), если последовательность фаз положительная / abc, или второй знак (-), если последовательность фаз отрицательная / acb .