Преобразование эквивалентного импеданса

Эквивалентное сопротивление является эквивалентной схемой из электрической сети с сопротивлением элементов ^{[Примечание 2]} , который представляет одинаковое сопротивление между всеми парами клемм ^{[Примечание 10]} , как делали данную сеть. В данной статье описывается математические преобразования между некоторыми пассивной , линейными сетями импеданса обычно встречается в электронных схемах.

Существует ряд хорошо известных и часто используемых эквивалентных схем в линейном сетевом анализе . К ним относятся резисторы , включенные последовательно , резисторы , включенные параллельно, а также последовательные и параллельные цепи для конденсаторов , катушек индуктивности и общего сопротивления. Также хорошо известны схемы эквивалентного генератора тока Нортона и Тевенина и схемы генератора напряжения соответственно, а также преобразование Y-Δ . Ни один из них здесь подробно не обсуждается; следует обращаться к отдельным связанным статьям.

Количество эквивалентных схем, в которые может быть преобразована линейная сеть, неограниченно. Даже в самых тривиальных случаях это можно увидеть, например, если спросить, сколько различных комбинаций резисторов, включенных параллельно, эквивалентно данному комбинированному резистору. Количество последовательных и параллельных комбинаций, которые могут быть сформированы, растет экспоненциально с увеличением количества резисторов n . Для больших п размер набора был обнаружен с помощью численных методов , чтобы быть приблизительно 2,53 ^л и аналитически строгие оценки даны в последовательности Фарея из чисел Фибоначчи . ^[1] Эта статья никогда не может быть исчерпывающей, но возможны некоторые обобщения. Вильгельм Кауэр нашел преобразование, которое могло бы генерировать все возможные эквиваленты данного рационального, ^{[примечание 9],} пассивного, линейного однополюсного , ^{[примечание 8]} или, другими словами, любого заданного двухполюсного импеданса. Также часто встречаются трансформации 4-терминальных, особенно 2-портовых, сетей , и возможны трансформации еще более сложных сетей.

Огромный масштаб темы эквивалентных схем подчеркивается в рассказе Сидни Дарлингтона . Согласно Дарлингтону, большое количество эквивалентных схем было обнаружено Рональдом М. Фостером после его и Джорджа Кэмпбелла статьи 1920 года о недиссипативных четырехпортах. В ходе этой работы они рассмотрели способы соединения четырех портов с помощью идеальных трансформаторов ^{[примечание 5]} и передачи максимальной мощности. Они нашли ряд комбинаций, которые могут иметь практическое применение, и попросили AT&Tпатентный отдел, чтобы они были запатентованы. Патентный отдел ответил, что бессмысленно просто патентовать некоторые схемы, если конкурент может использовать эквивалентную схему, чтобы обойти патент; они должны запатентовать их все или не беспокоиться. Поэтому Фостер принялся за вычисление каждого из них. Он пришел к огромной сумме 83 539 эквивалентов (577 722 эквивалента, если учесть различные коэффициенты выпуска). Это было слишком много для патентования, поэтому вместо этого информация была передана в общественное достояние, чтобы не дать конкурентам AT&T запатентовать их в будущем. ^{[2] [3]}

2-х терминальные, 2-х элементные сети [ править ]

Один импеданс имеет два терминала для подключения к внешнему миру, поэтому его можно описать как 2-терминальную или однопортовую сеть. Несмотря на простое описание, нет ограничений на количество ячеек ^{[примечание 6]} и, следовательно, на сложность и количество элементов, которые может иметь импедансная сеть. Двухэлементные ^{[примечание 4]} сети распространены в схемотехнике; фильтры, например, часто представляют собой сети типа LC, и разработчики печатных схем предпочитают сети типа RC, потому что индукторыменее просты в изготовлении. Преобразования проще и легче найти, чем для трехэлементных сетей. Одноэлементные сети можно рассматривать как частный случай двухэлементного типа. Преобразования в этом разделе можно использовать в некоторых сетях трехэлементного типа, заменив элемент Z _n сетью элементов . Однако это ограничено максимум двумя заменяемыми импедансами; остаток не будет свободным выбором. Все уравнения преобразования, приведенные в этом разделе, принадлежат Отто Зобелю . ^[4]

3-х элементные сети [ править ]

Одноэлементные сети являются тривиальными, а двухэлементные ^{[примечание 3]} - двухэлементные сети - это либо два последовательно соединенных элемента, либо два параллельных элемента, также тривиальные. Наименьшее количество нетривиальных элементов равно трем, и возможны два нетривиальных преобразования типа двухэлементов, одно из которых является как обратным преобразованием, так и топологическим двойственным преобразованием другого. ^[5]

Описание	Сеть	Преобразовать уравнения	Преобразованная сеть
Преобразование 1.1 Преобразование 1.2 является обратным этому преобразованию.		${\ displaystyle p_ {1} = 1 + m_ {1} \,}$  ${\ Displaystyle p_ {2} = m_ {1} (1 + m_ {1}) \,}$  ${\ displaystyle p_ {3} = (1 + m_ {1}) ^ {2} \.}$
Преобразование 1.2 Обратное преобразование и топологическое двойственное преобразование Преобразования 1.1.		${\ displaystyle p_ {1} = {\ frac {{m_ {1}} ^ {2}} {1 + m_ {1}}} \,}$  ${\ displaystyle p_ {2} = {\ frac {m_ {1}} {1 + m_ {1}}} \,}$  ${\ displaystyle p_ {3} = \ left ({\ frac {m_ {1}} {1 + m_ {1}}} \ right) ^ {2} \.}$
Пример 1. Пример Transform 1.2. Уменьшенный размер индуктора имеет практические преимущества.		${\ displaystyle m_ {1} = 0,5 \,}$  ${\ displaystyle p_ {1} = \ textstyle {\ frac {1} {6}} \,}$ ${\displaystyle p_{2}=\textstyle {\frac {1}{3}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}=\textstyle {\frac {1}{9}}\ .}$

4-элементные сети [ править ]

Существует четыре нетривиальных 4-элементных преобразования для 2-элементных сетей. Два из них являются обратными преобразованиями двух других, а два являются двойственными двум другим. Дальнейшие преобразования возможны в частном случае, когда Z ₂ делается таким же типом элемента, что и Z ₁ , то есть когда сеть сокращается до одноэлементного типа. Количество возможных сетей продолжает расти по мере увеличения количества элементов. Для всех записей в следующей таблице определено: ^[6]

Описание	Сеть	Преобразовать уравнения	Преобразованная сеть
Преобразование 2.1 Преобразование 2.2 является обратным этому преобразованию. Преобразование 2.3 является топологическим двойником этого преобразования.		${\displaystyle p_{1}={\frac {q_{1}+q_{2}}{2q_{5}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}={\frac {q_{1}-q_{2}}{2q_{4}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}={\frac {m_{2}}{q_{5}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}={\frac {m_{2}}{q_{4}}}\ .}$
Преобразование 2.2 Преобразование 2.1 является обратным этому преобразованию. Преобразование 2.4 является топологическим двойником этого преобразования.		${\displaystyle p_{1}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{2})}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{1})}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}={\frac {m_{2}}{1+m_{2}}}\ .}$
Преобразование 2.3 Преобразование 2.4 является обратным этому преобразованию. Преобразование 2.1 является топологическим двойником этого преобразования.		${\displaystyle p_{1}={\frac {q_{4}(q_{1}+q_{2})}{2m_{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}={\frac {q_{5}(q_{1}-q_{2})}{2m_{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}=q_{4}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}=q_{5}\ .}$
Преобразование 2.4 Преобразование 2.3 является обратным этому преобразованию. Преобразование 2.2 является топологическим двойником этого преобразования.		${\displaystyle p_{1}=1+m_{1}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}=m_{1}q_{3}(1+m_{1})\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}=1+m_{2}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}=m_{1}q_{3}(1+m_{2})\ .}$
Пример 2. Пример Transform 2.2.		${\displaystyle m_{1}=3\ ,}$ ${\displaystyle m_{2}=1\ ,}$ ${\displaystyle q_{3}=2\ ,}$ ${\displaystyle p_{1}=\textstyle {\frac {1}{4}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}=\textstyle {\frac {3}{4}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}=\textstyle {\frac {1}{8}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}=\textstyle {\frac {1}{2}}\ .}$

2-терминальные, n -элементные, 3-х элементные сети [ править ]

С простыми сетями, состоящими всего из нескольких элементов, можно иметь дело, формулируя сетевые уравнения «вручную» с применением простых сетевых теорем, таких как законы Кирхгофа . Эквивалентность двух сетей доказывается прямым сравнением двух наборов уравнений и приравниванием коэффициентов . Для больших сетей требуются более мощные методы. Обычный подход - начать с представления сети импедансов в виде матрицы . Этот подход хорош только для рациональных ^{[примечание 9]} сетей. Любая сеть, которая включает в себя распределенные элементы , такие как линия передачи , не может быть представлена ​​конечной матрицей. Как правило, n- сетка ^{[примечание 6]}Для представления сети требуется матрица размером n x n . Например, матрица для 3-ячеистой сети может выглядеть так:

${\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}}$

Элементы матрицы выбираются так, чтобы матрица образовывала систему линейных уравнений для напряжений и токов сетки (как определено для анализа сетки ):

${\displaystyle \mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]} }$

Например, диаграмма на Рисунке 1 может быть представлена ​​в виде матрицы импеданса следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}}$

и соответствующая система линейных уравнений есть

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

В наиболее общем случае каждая ветвь ^{[примечание 1]} Z _p сети может состоять из трех элементов, так что

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }=sL_{\mathrm {p} }+R_{\mathrm {p} }+{1 \over sC_{\mathrm {p} }}}$

где L , R и C представляют индуктивность , сопротивление и емкость соответственно, а s - оператор комплексной частоты .${\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }$

Это обычный способ представления общего импеданса , но для целей данной статьи является математически более удобным иметь дело с эластичностью , D , обратная емкости, C . В этих терминах полное сопротивление ветви может быть представлено как

${\displaystyle sZ_{\mathrm {p} }=s^{2}L_{\mathrm {p} }+sR_{\mathrm {p} }+D_{\mathrm {p} }\,\!}$

Точно так же каждая запись матрицы импеданса может состоять из суммы трех элементов. Следовательно, матрица может быть разложена на три матрицы размером n x n , по одной для каждого из трех типов элементов:

${\displaystyle s\mathbf {[Z]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} }$

Желательно, чтобы матрица [ Z ] представляла полное сопротивление Z ( s ). Для этого петля одной из сеток разрезается, а Z ( s ) - это импеданс, измеренный между точками, разрезанными таким образом. Обычно предполагается, что порт внешнего соединения находится в ячейке 1 и, следовательно, подключен через матричный вход Z ₁₁ , хотя было бы вполне возможно сформулировать это с подключениями к любым желаемым узлам. ^{[Примечание 7]} В последующем обсуждении Z ( ы ) , принятый через Z ₁₁ предполагаются. Z ( s ) можно рассчитать из [Z ] автора ^[7]

${\displaystyle Z(s)={\frac {|\mathbf {Z} |}{z_{11}}}}$

где z ₁₁ - дополнение к Z ₁₁ и | Z | - определитель [ Z ].

Для приведенного выше примера сети

Правильность этого результата легко проверить, если использовать более прямой метод последовательного и параллельного включения резисторов. Однако такие методы быстро становятся утомительными и громоздкими с ростом размера и сложности анализируемой сети.

Записи [ R ], [ L ] и [ D ] не могут быть установлены произвольно. Чтобы [ Z ] мог реализовать импеданс Z ( s ), тогда [ R ], [ L ] и [ D ] должны все быть положительно определенными матрицами . Даже тогда реализация Z ( s ), как правило, будет содержать идеальные трансформаторы ^{[примечание 5]} в сети. Найти только те преобразования, которые не требуют взаимных индуктивностей или идеальных трансформаторов, - более сложная задача. Точно так же, если начать с «другого конца» и указать выражение дляZ ( s ), это опять же не может быть сделано произвольно. Чтобы быть реализованным как рациональный импеданс, Z ( s ) должен быть положительно-действительным . Условие положительного вещественного числа (PR) является необходимым и достаточным ^[8], но могут быть практические причины для отказа от некоторых топологий . ^[7]

Общее преобразование импеданса для поиска эквивалентных рациональных однопортовых портов из данного экземпляра [ Z ] принадлежит Вильгельму Кауэру . Группа действительных аффинных преобразований

${\displaystyle \mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]} }$

куда

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

инвариантен в Z ( s ). То есть все преобразованные сети являются эквивалентами согласно данному здесь определению. Если Z ( s ) для исходной данной матрицы реализуемо, то есть удовлетворяет условию PR, то все преобразованные сети, созданные этим преобразованием, также будут соответствовать условию PR. ^[7]

3-х и 4-х терминальные сети [ править ]

При обсуждении 4-терминальных сетей сетевой анализ часто проводится с точки зрения 2-портовых сетей, охватывающих широкий спектр практически полезных схем. «2-портовый», по сути, относится к способу подключения сети к внешнему миру: терминалы были подключены попарно к источнику или нагрузке. Можно взять точно такую ​​же сеть и подключить ее к внешней схеме таким образом, чтобы она больше не работала как 2-портовая. Эта идея продемонстрирована на рисунке 2.

Сеть с 3 терминалами также может использоваться как 2 порта. Для этого один из выводов соединяется совместно с одним выводом обоих портов. Другими словами, один терминал был разделен на два терминала, и сеть была фактически преобразована в сеть с 4 терминалами. Эта топология известна как несбалансированная топология и противоположна сбалансированной топологии. Сбалансированная топология требует, как показано на рисунке 3, чтобы импеданс, измеренный между клеммами 1 и 3, был равен импедансу, измеренному между 2 и 4. Это пары клемм, не образующих порты: случай, когда пары клемм, образующих порты, имеют равные импеданс называется симметричным. Строго говоря, любая сеть, которая не удовлетворяет условию баланса, является несбалансированной, но этот термин чаще всего относится к топологии с 3 терминалами, описанной выше и на рисунке 3. Преобразование несбалансированной 2-портовой сети в сбалансированную сеть обычно довольно просто. : все последовательно соединенные элементы делятся пополам, причем одна половина перемещается в то место, которое было общей ветвью. Преобразование от сбалансированной топологии к несбалансированной часто возможно с помощью обратного преобразования, но есть определенные случаи определенных топологий, которые не могут быть преобразованы таким образом. Например, см. Обсуждение преобразований решетки ниже.

Примером преобразования сети с 3 терминалами, которое не ограничивается 2 портами, является преобразование Y-Δ . Это особенно важное преобразование для нахождения эквивалентных сопротивлений. Его важность проистекает из того факта, что полное сопротивление между двумя терминалами не может быть определено исключительно путем вычисления последовательных и параллельных комбинаций, за исключением определенного ограниченного класса сети. В общем случае требуются дополнительные преобразования. Преобразование Y-Δ, его обратное преобразование Δ-Y и n -конечные аналоги этих двух преобразований (преобразования звезда-многоугольник) представляют собой минимальные дополнительные преобразования, необходимые для решения общего случая. Последовательность и параллельность - это, по сути, 2-терминальные версии звездообразной и многоугольной топологии. Распространенной простой топологией, которая не может быть решена последовательными и параллельными комбинациями, является входной импеданс мостовой сети (за исключением особого случая, когда мост сбалансирован). ^[9] Все остальные преобразования в этом разделе можно использовать только с 2 портами.

Преобразования решетки [ править ]

Симметричные 2-портовые сети могут быть преобразованы в решетчатые сети с помощью теоремы Бартлетта о делении пополам . Метод ограничен симметричными сетями, но он включает в себя множество топологий, обычно встречающихся в фильтрах, аттенюаторах и эквалайзерах . Топология решетки внутренне сбалансирована, у нее нет несбалансированного аналога, и для нее обычно требуется больше компонентов, чем для преобразованной сети.

Некоторые распространенные сети, преобразованные в решетки (X-сети)
Описание	Сеть	Преобразовать уравнения	Преобразованная сеть
Преобразование 3.1 Преобразование Т-сети в решетчатую. [10]		${\displaystyle Z_{\mathrm {A} }=Z_{1}\ ,\!}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {B} }=Z_{1}+2Z_{2}\ .\!}$
Преобразование 3.2 Преобразование Π-сети в решетчатую. [10]		${\displaystyle Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+2Z_{2}}}\ ,\!}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {B} }=Z_{2}\ .}$
Преобразование 3.3 Преобразование сети Bridged-T в решетчатую сеть. [11]		${\displaystyle Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{0}}{Z_{1}+2Z_{0}}}\ ,\!}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {B} }=Z_{0}+2Z_{2}\ .\!}$

Обратные преобразования решетки в несбалансированную топологию не всегда возможны с точки зрения пассивных компонентов. Например, это преобразование:

не могут быть реализованы с пассивными компонентами из-за отрицательных значений, возникающих в преобразованной схеме. Однако это может быть реализовано, если, например, в этой цепи разрешены взаимные индуктивности и идеальные трансформаторы . Другая возможность - разрешить использование активных компонентов, которые позволят напрямую реализовать отрицательные импедансы как компоненты схемы. ^[13]

Иногда может быть полезно выполнить такое преобразование не для целей фактического построения преобразованной схемы, а, скорее, для облегчения понимания того, как работает исходная схема. Следующая схема в мостовой Т-топологии представляет собой модификацию Т-образного сечения фильтра средней серии, полученного из m . Схема создана Хендриком Боде, который утверждает, что добавление мостового резистора подходящего номинала устранит паразитное сопротивление шунтирующей катушки индуктивности. Действие этой схемы становится понятным, если преобразовать ее в топологию T - в этой форме имеется отрицательное сопротивление в шунтирующей ветви, которое можно сделать равным положительному паразитному сопротивлению катушки индуктивности. ^[14]

Любая симметричная сеть может быть преобразована в любую другую симметричную сеть тем же способом, то есть сначала преобразованием в промежуточную решетчатую форму (опущенную для ясности из приведенного выше примера преобразования) и из решетчатой ​​формы в требуемую целевую форму. Как и в примере, это обычно приводит к отрицательным элементам, за исключением особых случаев. ^[15]

Устранение резисторов [ править ]

Теорема Сидни Дарлингтона утверждает, что любая PR-функция Z ( s ) может быть реализована как двухпортовый без потерь, оканчивающийся положительным резистором R. То есть, независимо от того, сколько резисторов присутствует в матрице [ Z ], представляющей импедансную сеть можно найти преобразование, которое реализует сеть полностью как сеть типа LC с одним резистором на выходном порте (который обычно представляет нагрузку). Никакие резисторы в сети не требуются для реализации указанного отклика. Следовательно, всегда можно сократить 2-портовые сети с 3 элементами до 2-х портовых сетей с 2 ​​элементами (LC) при условии, что выходной порт имеет сопротивление требуемого значения. ^{[8] [16][17]}

Устранение идеальных трансформаторов [ править ]

Элементарное преобразование, которое может быть выполнено с помощью идеальных трансформаторов и некоторого другого элемента импеданса, состоит в том, чтобы сместить импеданс на другую сторону трансформатора. Во всех следующих преобразованиях r - коэффициент трансформации трансформатора.

Эти преобразования применяются не только к отдельным элементам; через трансформатор можно пропустить целые сети. Таким образом, трансформатор можно перемещать по сети в более удобное место.

Дарлингтон дает эквивалентное преобразование, которое может полностью исключить идеальный трансформатор. Этот метод требует, чтобы трансформатор находился рядом (или мог быть перемещен рядом с) L-образной цепью с одинаковым импедансом. Преобразование во всех вариантах приводит к тому, что сеть «L» обращена в противоположную сторону, то есть топологически зеркально отражается. ^[2]

Пример 3 показывает, что результатом является Π-сеть, а не L-сеть. Причина этого в том, что шунтирующий элемент имеет большую емкость, чем требуется для преобразования, поэтому некоторая часть все еще остается после применения преобразования. Если бы избыток был вместо этого в элементе, ближайшем к трансформатору, с этим можно было бы справиться, сначала переместив избыток на другую сторону трансформатора, прежде чем выполнять преобразование. ^[2]

Терминология [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Бартлетт, AC , "Расширение свойства искусственных линий", Phil. Mag. , т. 4 , с. 902, ноябрь 1927 г.
• Белевич В. , "Краткое изложение истории теории цепей", Труды IRE , том 50 , выпуск 5, стр. 848-855, май 1962 г.
• Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и творчество Вильгельма Кауэра (1900–1945)» , Труды Четырнадцатого Международного симпозиума по математической теории сетей и систем , Перпиньян, июнь 2000 г.
• Фостер, Рональд М .; Кэмпбелл, Джордж А. , "Сети с максимальным выходом для телефонных подстанций и ретрансляторов" , Труды Американского института инженеров-электриков , том 39 , выпуск 1, стр.230-290, январь 1920.
• Дарлингтон, С. , "История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов", IEEE Trans. Цепи и системы , том 31 , стр 3-13, 1984.
• Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , The English Universities Press Ltd, 1961.
• Хан, Самин Ахмед, "Последовательности Фарея и резистивные сети" , Труды Индийской академии наук (математические науки) , том 122 , выпуск 2, стр. 153-162, май 2012 г.
• Зобель, О.Дж. , Теория и разработка однородных и составных фильтров электрических волн , Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), стр 1-46.