Теорема Вейерштрасса — Стоуна

---

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна^[⇨].

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов^[⇨]. В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат^[⇨], распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T₂-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Пусть ${\displaystyle f}$ — непрерывная функция, определённая на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Тогда для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой многочлен ${\displaystyle p}$ с вещественными коэффициентами, что для всех ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle [a,\;b]}$ одновременно выполнено условие ${\displaystyle |f(x)-p(x)|<\varepsilon }$^[1].

Если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома ${\displaystyle p}$ следует считать комплексными числами и к полиномам следует добавить их комплексные сопряжения.

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году^[2] как следствие более общего утверждения: для вещественной непрерывной на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ограниченной функции ${\displaystyle f}$ и четной положительной функции ${\displaystyle \psi }$ со сходящимся интегралом

---