Банахова алгебра

---

Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой:

Банахова алгебра называется унитальной или банаховой алгеброй с единицей, если она обладает единицей (то есть таким элементом ${\displaystyle \mathbf {1} }$, что для всех ${\displaystyle x\in A}$ справедливо ${\displaystyle x\mathbf {1} =\mathbf {1} x=x}$). При этом обычно требуют, чтобы норма единицы была равна 1. Если единица существует, то она единственна. Всякую банахову алгебру ${\displaystyle A}$ можно изометрически вложить в соответствующую ей унитальную банахову алгебру ${\displaystyle A_{e}}$ в качестве замкнутого двустороннего идеала.

Некоторые элементарные функции можно при помощи степенных рядов определить для элементов банаховой алгебры. В частности, можно определить экспоненту элемента банаховой алгебры, тригонометрические функции, и, в общем случае, любую целую функцию. Для элементов банаховой алгебры остаётся справедливой формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ряд Неймана).

Множество обратимых элементов ${\displaystyle \mathrm {Inv} (A)}$ алгебры ${\displaystyle A}$ является открытым множеством. При этом отображение ${\displaystyle \mathrm {Inv} }$, сопоставляющее каждому обратимому элементу обратный, является гомеоморфизмом. Таким образом, ${\displaystyle \mathrm {Inv} (A)}$ — топологическая группа.

В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором: ${\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} }$  для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что ${\displaystyle \lambda \mathbf {1} ,\ \lambda \neq 0}$ также не является коммутатором.

---