Геометрическая алгебра
Геометрическая алгебра — историческое построение алгебры, изложенное во второй книге «Начал» Евклида (III век до н. э.), где операции определялись непосредственно для геометрических величин, а теоремы доказывались геометрическими построениями. Другими словами, алгебра античных математиков не только выросла из проблем геометрии, но и полностью строилась на геометрической основе[1].
Например, произведение числовых величин определялось[2] как прямоугольник со сторонами и .
Утверждение теоремы Пифагора можно интерпретировать как алгебраическое равенство, а можно как равенство площадей квадратов, построенных на катетах и квадрата, построенного на гипотенузе. Второй способ является примером подхода геометрической алгебры.
Распределительный закон античные математики представляли как равенство площади прямоугольника сумме площадей двух прямоугольников, получаемых разрезанием исходного параллельно одной из сторон (см. рисунок).
В IV веке до н. э. пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение () нельзя выразить ни натуральным числом, ни дробью. Однако других числовых объектов, кроме натуральных чисел, античные математики не признавали, даже дробь рассматривалась ими не как число, а как соотношение (пропорция)[3].
Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский — он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции, аналогичные числовым. Теория Евдокса была изложена Евклидом в пятой книге его «Начал», и она использовалась в Европе до XVII века. Теоремы о числах Евклиду приходилось отдельно передоказывать для величин, да и арифметика величин была существенно беднее, чем числовая — хотя бы потому, что касалась только однородных величин[4][5].