Непрерывность по Скотту

---

Непрерывность по Скотту — свойство функций над частично упорядоченными множествами, выражающееся в сохранении точной верхней грани относительно отношения частичного порядка.

Топология Скотта — структура над полной решёткой или, в более общем случае, над полным частично упорядоченным множеством, в которой открытыми считаются верхние множества, недоступные для прямых соединений, или эквивалентно, топология, в рамках которой функции над частично упорядоченными множествами, сохраняющие точную верхнюю грань, являются непрерывными^[1].

Понятия были разработаны в 1970-е годы Даной Скоттом, благодаря им построены первая непротиворечивая модель бестипового λ-исчисления и денотационная семантика^[англ.]. В частности, функции аппликации и каррирования являются непрерывными по Скотту^[2].

Если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — частично упорядоченные множества, то функция ${\displaystyle f\colon P\to Q}$ между ними является непрерывной по Скотту если для любого направленного подмножества ${\displaystyle D\subseteq P}$ существует точная верхняя грань его образа ${\displaystyle \sup f(D)}$, притом выполнено следующее условие: ${\displaystyle \sup f(D)=f(\sup D)}$.

Топология Скотта на полном частично упорядоченном множестве ${\displaystyle \langle D,\sqsubseteq \rangle }$ вводится определением открытого множества ${\displaystyle O}$ как обладающего следующими свойствами:

Топология Скотта была впервые введена для полных решёток^[4], впоследствии была обобщена до полных частично упорядоченных множеств^[3].

---