Окольцованное пространство

---

Окольцованное пространство — топологическое пространство, каждому открытому множеству которого сопоставлено коммутативное кольцо «функций» на этом множестве. Окольцованные пространства, в частности, используются при определении схем.

Окольцованное пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ — это топологическое пространство ${\displaystyle X}$ вместе с пучком коммутативных колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ на нём. Этот пучок называется структурным пучком пространства ${\displaystyle X}$.

Локально окольцованное пространство — это окольцованное пространство, такое что слой пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ в любой точке — локальное кольцо.

Любое топологическое пространство можно наделить структурой локально окольцованного пространства, если рассмотреть пучок непрерывных действительнозначных функций на нём. Слой этого пучка в точке x — кольцо ростков непрерывных действительнозначных функций в x — является локальным кольцом, единственный максимальный идеал которого — ростки функций, равных нулю в x. Аналогичным образом, гладкое многообразие с пучком гладких функций является локально окольцованным пространством.

Если X — алгебраическое многообразие с топологией Зарисского (например, спектр некоторого кольца), структуру локально окольцованного пространства на нём вводят следующим образом: ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ — множество рациональных функций, определённых на всём U. Такое окольцованное пространство называют аффинной схемой, общие схемы определяют как результат «склейки» нескольких аффинных схем.

Для того, чтобы задать морфизм из ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ в ${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$, нужно зафиксировать следующую информацию:

---