Программа Ленглендса
Программа Ленглендса — сеть далеко идущих математических гипотез о связях между теорией чисел и геометрией, предложенная Робертом Ленглендсом в 1967 и 1970 годы. Основная цель — связать группы Галуа в алгебраической теории чисел с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп над локальными полями и аделями. Считается одним из крупнейших математических исследовательских проектов XX века, отмечалась Френкелем как «теория великого объединения математики»[1].
Программа Ленглендса построена на разработанных ранее идеях: философия параболических форм, сформулированная несколькими годами ранее Хариш-Чандрой и Израилем Гельфандом в 1963 году, работы Хариш-Чандры по полупростым группам Ли, а в техническом плане — формула следа Сельберга.
Основная новизна работ Ленглендса, помимо технической глубины, состояла в гипотезах о прямой связи теории автоморфных форм и теории представлений с теорией чисел, в частности, о соответствии между морфизмами в этих теориях (функториальность).
Например, в работе Хариш-Чандры можно найти принцип, согласно которому то, что можно сделать для одной полупростой (или редуктивной) группы Ли, должно быть сделано для всех. Поэтому, как только была признана роль некоторых малоразмерных групп Ли, таких как в теории модулярных форм, и с ретроспективным взглядом в теории полей классов, путь был открыт как минимум к предположению о для общего случая .
Идея параболических форм (англ. cusp form) появилась из заострений на модулярных кривых, но также имела смысл, видимый в спектральной теории как дискретный спектр, контрастирующий с непрерывным спектром из рядов Эйзенштейна. Он становится гораздо более техническим для больших групп Ли, потому что параболические подгруппы более многочисленны.
Во всех этих подходах не было недостатка в технических методах, часто индуктивных по своей природе и основанных на декомпозиции Леви среди других вопросов, но поле было и остается очень требовательным[3].