Представитель дворянского рода Пушкиных. Второй сын воеводы и думного дворянина Гавриила Григорьевича Пушкина (? — 1638) от первого брака с Марией Мелентьевной Ивановой (ум. 1605). Старший брат — боярин, воевода и дипломат Григорий Пушкин «Косой» (ум. 1656).
В 1625 и 1628 годах Степан Пушкин присутствовал во время приёма царем Михаилом Фёдоровичем персидского посольства, а в 1631 году — при приёме шведского посла Антона Монира. В 1635 году, на обеде у царя литовских послов, С. Г. Пушкин «смотрел в кривой стол», а на обеде с персидскими послами носил пить в большой стол. В 1637 году он был на приёме литовского гонца.
В 1636, 1640, 1649—1652 годах Степан Гаврилович Пушкин вместе в другими сановниками оставался в Москве во время отсутствия царей Михаила Фёдоровича и Алексея Михайловича.
В 1639 году С. Г. Пушкин «дневал и ночевал» у гробов царевичей Ивана Михайловича и Василия Михайловича. В 1644 году он находился на воеводстве в Рыльске, откуда посылал военные отряды в Рыльский и Путивльский уезды против крымских татар.
В 1646 году — воевода в Одоеве. Во время набега крымских татар на Курский, Рыльский уезды и Комарицкую волость он получил приказ прибыть с полком из Одоева в Калугу, а затем отправиться в Курск на соединение с воеводой князем Семёном Васильевичем Прозоровским. В том же 1646 году Степан Пушкин составлял переписные книги по городу Суздаль, описывал дворы, людей и дворцовые волости в Решемской слободе, поместные в вотчинные сёла, деревни и дворы во станах Суздальского уезда.
В 1647 году — воевода в Великом Устюге. В 1648 году был пожалован царем Алексеем Михайловичем из стольников в окольничие. В 1649 году во время богомольного «похода» царя В Троице-Сергиеву лавру Степан Пушкин ехал впереди и подготовлял остановки (станы) по дороге. В декабре 1649 года вместе со старшим братом Григорием Пушкиным был отправлен в Варшаву для заключения договора между Речью Посполитой и Московским государством. При этому ему был пожалован титул наместника алаторского.