Случайное блуждание
Случайное блуждание — математический объект, известный как стохастический или случайный процесс, который описывает путь, состоящий из последовательности случайных шагов в каком-нибудь математическом пространстве (например, на множестве целых чисел).
Простейшим примером случайного блуждания является случайное блуждание по числовой прямой целых чисел , , которое начинается в точке 0 и на каждом шаге сдвигается на +1 или на −1 с равной вероятностью. Другими примерами могут послужить траектория движения молекулы в жидкости или газе (броуновское движение), поиск пути у животных во время фуражировки, колебания цен акций на фондовом рынке, финансовое состояние игрока: все описанные случаи могут быть аппроксимированы моделями случайного блуждания, даже несмотря на то, что они могут не быть полностью случайными в реальной жизни.
Как видно из примеров, модель случайного блуждания применяется в инженерии и множестве научных областей, включая экологию, психологию, информатику, физику, химию, биологию, экономику и социологию. Случайное блуждание объясняет наблюдаемое поведение многих процессов в этих областях, и, таким образом, служит фундаментальной моделью для зарегистрированной стохастической активности. Так, в математике, значение π может быть приближено с использованием случайного блуждания и агентного моделирования.[1][2] Понятие случайное блуждание было впервые введено Карлом Пирсоном в 1905 году.[3]
Виды случайных блужданий могут представлять различного рода интерес. Сам термин чаще всего отсылает к особой категории цепей Маркова или марковского процесса, а многие зависящие от времени процессы упоминаются как случайные блуждания с модификатором, указывающим на их особые свойства. Случайные блуждания (по Маркову или нет) могут также встречаться в разнообразных областях: обычно изучаемые включают в себя графы, числовую прямую целых или действительных чисел, векторные пространства, кривые поверхности, многомерные римановы многообразия, а также конечные, конечнопорожденные группы, группы Ли. Параметр времени также может быть различным. В простейшем случае блуждание происходит в дискретном времени и является последовательностью случайных величин (X
t) = (X
1, X
2, ...), проиндексированных натуральными числами. Однако существуют и случайные блуждания, в которых шаги происходят в произвольный момент времени, и в этом случае позиция X
t должна быть определена для всех моментов времени t ∈ [0,+∞). Особыми случаями случайного блуждания являются полёт Леви и модели диффузии, такие как броуновское движение.
Случайное блуждание — это фундаментальная тема в обсуждениях марковского процесса, и его математическое изучение очень обширно.