Теорема Брауэра о неподвижной точке

---

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю: в своей работе 1904 года^[1] он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений^[2]. Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая ${\displaystyle n=3}$.

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве ${\displaystyle B^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Пусть ${\displaystyle f\colon B^{n}\to B^{n}}$ — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка ${\displaystyle x\in B^{n}}$, что ${\displaystyle f(x)=x}$.

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

---