Натуральный логарифм

---

Натуральный логарифм — логарифм по основанию e, где ${\displaystyle e}$ — трансцендентная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ${\displaystyle \ln x}$, ${\displaystyle \log _{e}x}$ или иногда просто ${\displaystyle \log x}$, если основание ${\displaystyle e}$ подразумевается^[1]. Обычно число ${\displaystyle x}$ под знаком логарифма вещественное, но можно расширить это понятие и на комплексные числа.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для экспоненты ${\displaystyle y=e^{x}}$, поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок справа). Как и экспонента, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Натуральные логарифмы полезны для решения алгебраических уравнений, в которых неизвестная присутствует в качестве показателя степени, они незаменимы в математическом анализе.

В приложениях натуральный логарифм участвует в математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент обратно пропорциональна самому количеству. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада радиоактивного вещества: чем больше атомов распадается, тем меньше их становится и тем медленнее идет дальнейший процесс. Натуральные логарифмы играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения различных задач, (например, нахождение сложных процентов).

Натуральный логарифм числа ${\displaystyle a}$ — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить ${\displaystyle a}$. Другими словами, натуральный логарифм ${\displaystyle \ln a}$ есть решение ${\displaystyle x}$ уравнения ${\displaystyle e^{x}=a.}$

Натуральный логарифм ${\displaystyle \ln a}$ для вещественного числа ${\displaystyle a}$ определён и однозначен для любого положительного числа ${\displaystyle a.}$

---