Сходимость в Lp

---

Сходи́мость в ${\displaystyle L^{p}}$ в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой. Тогда пространство ${\displaystyle L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ измеримых функций, таких что их ${\displaystyle p}$-я степень, где ${\displaystyle p\geqslant 1}$, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

Пусть дана последовательность ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}}$. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в ${\displaystyle L^{p}}$ к функции ${\displaystyle f\in L^{p}}$, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

Пишут: ${\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}$. Иногда также используют обозначение ${\displaystyle f(x)=\mathop {\mathrm {l.i.m.} } _{n\to \infty }f_{n}(x)}$ — от англ.  англ. limit in mean .

---