(g,K)-модуль

В математике , точнее в теории представлений редуктивных групп Ли , -модуль — это алгебраический объект, впервые введенный Хариш-Чандрой [ ^1] и используемый для работы с непрерывными бесконечномерными представлениями с использованием алгебраических методов. Хариш-Чандра показал, что изучение неприводимых унитарных представлений вещественной редуктивной группы Ли G может быть сведено к изучению неприводимых -модулей, где - алгебра Ли группы G , а K - максимальная компактная подгруппа группы G. $({\mathfrak {g}},K)$ $({\mathfrak {g}},K)$ ${\mathfrak {g}}$ . ^[2]

Пусть G — вещественная группа Ли. Пусть – ее алгебра Ли, а K – максимальная компактная подгруппа с алгеброй Ли . -модуль определяется следующим образом: [ ^3] это векторное пространство V , которое является одновременно представлением алгебры Ли и групповым представлением K ( без учета топологии K ) , удовлетворяющим следующим трем условиям ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {k}}$ $({\mathfrak {g}},K)$ ${\mathfrak {g}}$

В приведенном выше примере точка обозначает как действие на V , так и действие на K . Обозначение Ad( k ) обозначает присоединенное действие G на , а Kv — множество векторов при изменении k по всему K . $\cdot$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ $k\cdot v$

Первое условие можно понимать следующим образом: если G — общая линейная группа GL( n , R ), то — алгебра всех n на n матриц, а присоединенное действие k на X есть kXk− ¹ ; тогда условие 1 может быть прочитано как ${\mathfrak {g}}$

Другими словами, это требование совместимости между действиями K на V , на V и K на . Третье условие также является условием совместимости, на этот раз между действием на V , рассматриваемым как подалгебра Ли, и его действием, рассматриваемым как дифференциал действия K на V . ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {k}}$ ${\mathfrak {g}}$