Двенадцатитонная равная темперация [a] - это музыкальная система, которая делит октаву на 12 частей, каждая из которых имеет одинаковый темперинг (равные интервалы) по логарифмической шкале с соотношением, равным корню 12-й степени из 2 ( 12 √ 2 ≈ 1.05946). Это в результате наименьший интервал, 1 / 12 ширина октаву, называется полутон или полшага.
Двенадцатитоновая равномерная темперация - самая распространенная система в современной музыке. Это преобладающая система настройки западной музыки, начиная с классической музыки , с 18 века, а Европа почти исключительно использовала ее приближения на протяжении тысячелетий до этого. Он также использовался в других культурах.
В наше время 12-TET обычно настраивается относительно стандартной высоты тона 440 Гц, называемой A440 , что означает, что одна нота, A , настроена на 440 Гц, а все другие ноты определяются как несколько полутонов, кроме нее, либо выше. или ниже по частоте . Стандартный тон не всегда составлял 440 Гц. Он изменился и в целом вырос за последние несколько сотен лет. [1]
История [ править ]
Двумя фигурами, которым часто приписывают достижение точного вычисления двенадцатитонного равного темперамента, являются Чжу Зайю (также романизированный как Чу-Цайю. Китайский:朱 載 堉) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Фрица А. Каттнера, критик теории, [2] известно, что «Chu-Tsaiyu представил очень точный, простой и гениальный метод арифметического вычисления моноаккордов равной темперации в 1584 году» и что «Саймон Стевин предложил математическое определение равного темперамента плюс несколько менее точное вычисление соответствующих числовых значений в 1585 году или позже ». Развитие происходило независимо. [3]
Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу Зайю [4] и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. [5] Цитируется Чжу Зайюй, который сказал, что в тексте, датируемом 1584 годом: «Я основал новую систему. Я устанавливаю одну ступню как число, из которого должны быть извлечены другие, и, используя пропорции, я извлекаю их. Все вместе. нужно найти точные цифры для пайперов за двенадцать операций ». [5] Каттнер не соглашается и отмечает, что его утверждение «не может считаться правильным без серьезных оговорок». [2] Каттнер предполагает, что ни Чжу Зайю, ни Саймон Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни один из них не должен рассматриваться как изобретатель. [3]
Китай [ править ]
Ранняя история [ править ]
Полный набор бронзовых колоколов, среди множества музыкальных инструментов, найденных в гробнице маркиза Йи Цзэна (ранние враждующие государства, ок. V века до н. Э. В китайском бронзовом веке), охватывает пять полных 7-нотных октав в тональности До мажор, включая 12 нотных полутонов в середине диапазона. [6]
Приближение равного темперамента было описано Хэ Чэнтянем, математиком южных и северных династий около 400 года нашей эры. Он представил самую раннюю записанную примерную числовую последовательность относительно равного темперамента в истории: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509,5 479 450. [7]
Чжу Зайюй [ править ]
Чжу Зайюй (朱 載 堉), принц двора Мин , провел тридцать лет в исследованиях, основанных на идее равного темперамента, первоначально высказанной его отцом. Он описал свою новую теорию высоты звука в своей книге « Слияние музыки и календаря» 律 暦, опубликованной в 1580 году. За этим последовала публикация подробного отчета о новой теории равного темперамента с точной числовой спецификацией для 12-TET в его 5000 -страничная работа Полный сборник музыки и подачи ( Yuelü quan shu樂 律in) в 1584 году. [8] Расширенный отчет также дан Джозефом Нидхэмом. [5]Чжу получил свой результат математически, разделив длину струны и трубы последовательно на 12 √ 2 ≈ 1,059463, а длину трубы на 24 √ 2 , [9] так , что после двенадцати делений (октавы) длина была разделена на коэффициент 2:
Точно так же после 84 делений (7 октав) длина была разделена на коэффициент 128:
Чжу Зайюй считается первым человеком, решившим математически проблему равного темперамента. [10] По крайней мере, один исследователь предположил, что Маттео Риччи , иезуит из Китая, записал эту работу в свой личный журнал [10] [11] и, возможно, передал ее обратно в Европу. (В стандартных источниках по этой теме нет упоминания о подобном переносе. [12] ) В 1620 году на работу Чжу сослался европейский математик [ кто? ] . [11] Мюррей Барбур сказал: «Первое известное появление в печати правильных цифр для равного темперамента было в Китае, где блестящее решение принца Цайюя остается загадкой».[13] Немецкий физик XIX века Герман фон Гельмгольц в своей книге «Об ощущениях тона» писал,что китайский принц (см. Ниже) ввел шкалу из семи нот, и что деление октавы на двенадцать полутонов было открыто в Китае. [14]
Чжу Зайюй проиллюстрировал свою теорию равного темперамента, построив набор из 36 бамбуковых тюбиков с диапазоном в 3 октавы, с инструкциями по типу бамбука, цвету краски и подробным описанием их длины, внутреннего и внешнего диаметров. Он также сконструировал 12-струнный настраивающий инструмент, в нижней полости которого был спрятан набор тонких трубок. В 1890 году Виктор-Шарль Махиллон , куратор музея консерватории в Брюсселе, продублировал набор смолистых труб в соответствии со спецификацией Чжу Зайюй. Он сказал, что китайская теория звуков знает больше о длине смоляных трубок, чем ее западный аналог, и что набор труб, продублированный согласно данным Zaiyu, доказывает точность этой теории.
Европа [ править ]
Ранняя история [ править ]
Одно из самых ранних обсуждений равного темперамента встречается в трудах Аристоксена в 4 веке до нашей эры. [15]
Винченцо Галилей (отец Галилео Галилея ) был одним из первых практических защитников двенадцатитонного равного темперамента. Он составил набор танцевальных сюит на каждой из 12 нот хроматической гаммы во всех «ключах транспозиции», а также опубликовал в своем « Fronimo » 1584 года , 24 + 1 ричеркар . [16] Он использовал соотношение 18:17 для работы на лютне (хотя для чистых октав потребовалась некоторая корректировка). [17]
К 1567 году соотечественник Галилея и его товарищ по лютни Джакомо Горзанис написал музыку, основанную на одинаковом темпераменте. [18] Горзанис был не единственным лютнистом, который исследовал все лады и тональности: Франческо Спиначино написал «Recercare de tutti li Toni» ( Риккар во всех тонах) ) уже в 1507 году. [19] В 17 веке композитор-лютнист Джон Уилсон написал набор из 30 прелюдий, в том числе 24 во всех мажорных / минорных тональностях. [20] [21] Хенрикус Грамматеус приблизился к равному темпераменту в 1518 году. Первые правила настройки равного темперамента были даны Джовани Марией Ланфранко.в его "Scintille de musica". [22] Зарлино в своей полемике с Галилеем первоначально выступал против равного темперамента, но в конце концов уступил ему в отношении лютни в своих Sopplimenti Musicali в 1588 году.
Саймон Стевин [ править ]
Первое упоминание о равнотемперированном , связанных с двенадцатым корнем из двух на Западе появилось в Стевинах рукописи «s Van De Spiegheling дер singconst (около 1605), изданных посмертно почти три столетия спустя , в 1884. [23] Тем не менее, из - за недостаточная точность его вычислений, многие из полученных им чисел длины хорды отклонялись на одну или две единицы от правильных значений. [12] В результате соотношение частот аккордов Саймона Стевина не имеет единого соотношения, а есть одно соотношение на тон, что Джин Чо считает неправильным. [24]
Ниже приведены длины аккорда Саймона Стевина из Van de Spiegheling der singconst : [25]
Тон | Аккорд 10000 от Саймона Стевина | Соотношение | Исправленный аккорд |
---|---|---|---|
полутон | 9438 | 1.0595465 | 9438,7 |
весь тон | 8909 | 1,0593781 | |
тона полтора | 8404 | 1.0600904 | 8409 |
ditone | 7936 | 1,0594758 | 7937 |
дитон и половина | 7491 | 1.0594046 | 7491,5 |
тритон | 7071 | 1,0593975 | 7071,1 |
тритон полтора | 6674 | 1,0594845 | 6674,2 |
четырехцветный | 6298 | 1.0597014 | 6299 |
четырехцветный с половиной | 5944 | 1.0595558 | 5946 |
пятицветный | 5611 | 1.0593477 | 5612,3 |
пятицветный с половиной | 5296 | 1.0594788 | 5297,2 |
полный тон | 1.0592000 |
Поколением позже французский математик Марин Мерсенн представил несколько равных по длине темперированных аккордов, полученных Жаном Бограном, Исмаэлем Буйо и Жаном Галле. [26]
В 1630 году Иоганн Фаульхабер опубликовал таблицу монохордов за 100 центов, которая содержала несколько ошибок из-за использования им логарифмических таблиц. Он не объяснил, как он получил свои результаты. [27]
Эпоха барокко [ править ]
С 1450 по 1800 год играющие на щипковых инструментах (лютенисты и гитаристы) обычно предпочитали одинаковый темперамент [28], а Лютневый манускрипт Броссара, составленный в последней четверти 17 века, содержит серию из 18 прелюдий, приписываемых Боке, написанных во всех тональностях. включая последнюю прелюдию, озаглавленную Prelude sur tous lestons , которая энгармонично модулируется во всех тональностях. [29] Анджело Микеле Бартолотти опубликовал серию пассакалей во всех тональностях с соединением энгармонически модулирующих пассажей. Среди клавишников 17-го века Джироламо Фрескобальди выступал за равный темперамент. Некоторые теоретики, такие как Джузеппе Тартини, были против принятия равного темперамента; они считали, что унижение чистоты каждого аккорда снижает эстетическую привлекательность музыки, хотя Андреас Веркмайстер решительно отстаивал равный темперамент в своем трактате 1707 года, опубликованном посмертно. [30]
Двенадцатитоновый равный темперамент закрепился по разным причинам. Это было удобно для существующей конструкции клавиатуры и давало полную гармоническую свободу с бременем умеренных примесей в каждом интервале, особенно несовершенных созвучий. Это позволило добиться большего выражения посредством энгармонической модуляции , которая стала чрезвычайно важной в 18 веке в музыке таких композиторов, как Франческо Джеминиани , Вильгельм Фридеманн Бах , Карл Филипп Эммануэль Бах и Иоганн Готфрид Мютель . [ необходима цитата ]Двенадцатитонный равный темперамент имел некоторые недостатки, такие как несовершенные трети, но когда Европа перешла на равный темперамент, она изменила музыку, которую она писала, чтобы приспособиться к системе и минимизировать диссонанс. [31]
Развитие равного темперамента с середины 18 века подробно описано во многих современных научных публикациях: это уже был предпочтительный темперамент в классическую эпоху (вторая половина 18 века), [ цитата необходима ] и это стал стандартом в эпоху раннего романтизма (первое десятилетие 19-го века), [ необходима цитата ], за исключением органов, которые переключились на него более постепенно, завершившись только во втором десятилетии 19-го века. (В Англии, некоторые соборные органисты и хормейстеры выстояли против него , даже после этой даты, Сэмюэл Уэсли Себастьяна ., Например, против всех этой вместе Он умер в 1876 году) [ править ]
Точно равномерный темперамент возможен при использовании метода Саббатини 17-го века по разделению первой октавы на три умеренные мажорные трети. [32] Это было также предложено несколькими писателями классической эпохи. Настройка без частоты биений, но с использованием нескольких проверок, обеспечивающая практически современную точность, была произведена уже в первые десятилетия XIX века. [33] Использование частоты биений, впервые предложенное в 1749 году, стало обычным явлением после их распространения Гельмгольцем и Эллисом во второй половине 19 века. [34] Наивысшая точность была доступна с двумя десятичными таблицами, опубликованными Уайтом в 1917 году. [35]
Именно в среде равного темперамента развивались и процветали новые стили симметричной тональности и политональности , атональная музыка , написанная с использованием техники двенадцати тонов или сериализма , и джаз (по крайней мере, его фортепианная составляющая).
Сравнение исторических приближений полутона [ править ]
Год | Имя | Коэффициент [36] | Центов |
---|---|---|---|
400 | Хэ Чэнтянь | 1.060070671 | 101,0 |
1580 | Винченцо Галилей | 18:17 [1.058823529] | 99,0 |
1581 | Чжу Зайюй | 1.059463094 | 100,0 |
1585 | Саймон Стевин | 1.059546514 | 100,1 |
1630 | Марин Мерсенн | 1.059322034 | 99,8 |
1630 | Иоганн Фаульхабер | 1,059490385 | 100,0 |
Математические свойства [ править ]
В двенадцатитонной одинаковой темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона , то есть отношение частот интервала между двумя соседними нотами, составляет корень двенадцатой степени из двух :
Это эквивалентно:
Этот интервал делится на 100 центов .
Расчет абсолютных частот [ править ]
Чтобы найти частоту P n примечания в 12-TET, можно использовать следующее определение:
В этой формуле P n обозначает высоту тона или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. Р относится к частоте опорного поля. п и см номеров , присвоенных желаемая высоту и опорное поле, соответственно. Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, присвоенных последовательным полутонам. Например, A 4 (эталонная высота тона) - это 49-я клавиша от левого края фортепиано (настроенная на 440 Гц ), а C 4 ( средний C ) и F # 4 - это 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать, чтобы найти частоту C4 и F # 4 :
Просто интервалы [ править ]
Интервалы 12-TET точно по интонации очень близки к некоторым интервалам . [37]
По лимиту [ править ]
12-TET очень точен в 3-м лимите, но при увеличении простых лимитов до 11 он постепенно ухудшается примерно на шестую часть полутона каждый раз. Его одиннадцатая и тринадцатая гармоники крайне неточны. Семнадцатая и девятнадцатая гармоники 12-TET почти так же точны, как и его третья гармоника, но к этому моменту основной предел стал слишком высоким, чтобы звучать согласным для большинства людей.
3-лимит [ править ]
12-TET очень хорошо аппроксимирует идеальную квинту (3/2) и ее инверсию., идеальная четверть (4/3), особенно для разделения октавы на относительно небольшое количество тонов. В частности, идеальная квинта немного меньше двух центов, что составляет одну пятидесятую часть полутона, резче, чем приближение с таким же темпом. Поскольку мажорный тон (9/8) - это просто две идеальные квинты минус октава, а его инверсия, минорная пифагорейская седьмая (16/9), представляет собой просто две совершенные четверти вместе взятые, они, по большей части, сохраняют точность их предшественники; ошибка удваивается, но остается небольшой - фактически настолько маленькой, что люди не могут ее воспринять. Можно продолжать использовать дроби с более высокими степенями трех, следующие два - 27/16 и 32/27, но по мере того, как члены дробей становятся больше, они становятся менее приятными для слуха.
5-лимит [ править ]
Аппроксимация пятой гармоники (5/4) 12-TET находится между шестой и седьмой полутонами. Поскольку интервалы с отклонением менее четверти шага шкалы по-прежнему звучат согласованно, 12-TET имеет настроенную пятую гармонику, которую можно использовать для генерации других пяти предельных интервалов, таких как 5/3 и 8/5, с ошибками аналогичного размера. Западная музыка использует тонкую пятую гармонику, например, в арифметической последовательности 4: 5: 6 .
7-предел [ править ]
Аппроксимация седьмой гармоники (7/4) 12-TET отличается примерно на треть полутона. Поскольку ошибка больше четверти полутона, интервалы с семью предельными значениями в 12-TET имеют тенденцию звучать фальшиво. Во фракциях тритона 7/5 и 10/7 ошибки пятой и седьмой гармоник частично компенсируют друг друга, так что правильные фракции находятся в пределах четверти полутона от их эквивалентов с одинаковым темпом, но тритон по-прежнему звучит диссонирующе. для большинства людей.
11- и 13-лимиты [ править ]
Одиннадцатая гармоника (11/8) составляет около 550 центов, что означает, что она почти точно попадает между двумя ближайшими одинаково темперированными интервалами в 12-TET и, следовательно, не аппроксимируется ни одним из них. Фактически, 11/8 почти настолько же далек от любого приближения с таким же темпом, насколько это возможно в 12-TET. Тринадцатая гармоника (13/8) почти такая же плохая. Однако это означает, что дробь 13/11 (а также ее инверсия 22/13) точно аппроксимируется 12-TET (в частности, тремя полутонами), потому что ошибки одиннадцатой и тринадцатой гармоник компенсируют друг друга. Однако большинство людей не привыкли к одиннадцатой и тринадцатой гармоникам, поэтому эта дробь не будет звучать согласной для большинства людей. Точно так же ошибка одиннадцатой или тринадцатой гармоники может быть в основном компенсирована ошибкой седьмой гармоники,но по той же причине, что и раньше, большинство людей не сочтут полученные дроби согласными.
17- и 19-лимиты [ править ]
Семнадцатая гармоника (17/16) всего на 5 центов резче, чем один полутон в 12-TET. Его можно комбинировать с приближением третьей гармоники 12-TET, чтобы получить 17/12, что в следующем приближении Пеллапосле 7/5, всего примерно в трех центах от тритона с одинаковым темперированием (квадратный корень из двух), и 17/9, что всего на один цент от основной седьмой части 12-TET. Девятнадцатая гармоника лишь примерно на два с половиной цента более плоская, чем три полутона из 12-TET, поэтому ее также можно комбинировать с третьей гармоникой, чтобы получить 19/12, что примерно на четыре с половиной цента более плоско, чем равномерный темперированный. минорный шестой и 19/18, что примерно на шесть с половиной центов меньше полутона. Однако, поскольку 17 и 19 являются довольно большими для соотношений согласных, и большинство людей не знакомы с 17-предельными и 19-предельными интервалами, 17-предельные и 19-предельные интервалы бесполезны для большинства целей, поэтому их, вероятно, нельзя рассматривать как играет роль в любых созвучиях 12-ТЕТ.
Таблица [ править ]
В следующей таблице размеры различных интервалов справедливости сравниваются с их аналогами с равным темпом, указанными как в соотношении, так и в центах . Различия менее шести центов не могут быть замечены большинством людей, а интервалы, превышающие четверть шага, что в данном случае составляет 25 центов, не соответствуют звуку.
Кол-во ступеней | Нота идет вверх от C | Точное значение в 12-TET | Десятичное значение в 12-TET | Равно-темперированный звук | Центов | Название интонационного интервала | Доля интонационного интервала | Правильно настроенный звук | Центы за интонацию | Разница |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | C | 2 0 / 12 = 1 | 1 | играть ( помощь · информация ) | 0 | Унисон | 1 / 1 = 1 | играть ( помощь · информация ) | 0 | 0 |
1 | C ♯ или D ♭ | 2 1 / 12 = 12 √ 2 | 1.05946… | играть ( помощь · информация ) | 100 | Септимальный третий тон | +28 / +27 = 1,03703 ... | играть ( помощь · информация ) | 62,96 | -37,04 |
Просто хроматический полутон | +25 / +24 = 1,04166 ... | Играть ( помощь · информация ) | 70,67 | -29,33 | ||||||
Недесятичный полутон | 22 / 21 = 1,04761 ... | играть ( помощь · информация ) | 80,54 | -19,46 | ||||||
Септимальный хроматический полутон | 21 / 20 = 1,04 | играть ( помощь · информация ) | 84,47 | -15,53 | ||||||
Новодесятичный хроматический полутон | +20 / +19 = 1,05263 ... | играть ( помощь · информация ) | 88,80 | -11,20 | ||||||
Пифагорейский диатонический полутон | 256 / +243 = 1,05349 ... | играть ( помощь · информация ) | 90,22 | -9,78 | ||||||
Большой хроматический полутон | 135 / 128 = 1,05468 ... | играть ( помощь · информация ) | 92,18 | -7,82 | ||||||
Новодесятичный диатонический полутон | 19 / 18 = 1,05555 ... | играть ( помощь · информация ) | 93,60 | -6,40 | ||||||
Септадецимальный хроматический полутон | +18 / 17 = 1,05882 ... | играть ( помощь · информация ) | 98,95 | -1,05 | ||||||
Семнадцатая гармоника | 17 / 16 = 1,0625 ... | играть ( помощь · информация ) | 104,96 | +4,96 | ||||||
Просто диатонический полутон | +16 / +15 = 1,06666 ... | играть ( помощь · информация ) | 111,73 | +11,73 | ||||||
Пифагоров хроматический полутон | 2 187 / 2048 = 1,06787 ... | играть ( помощь · информация ) | 113,69 | +13,69 | ||||||
Септимальный диатонический полутон | 15 / +14 = 1,07142 ... | играть ( помощь · информация ) | 119,44 | +19,44 | ||||||
Младший трехзначный 2/3-тоновый | 14 / 13 = 1,07692 ... | играть ( помощь · информация ) | 128,30 | +28,30 | ||||||
Мажорный диатонический полутон | 27 / 25 = 1,08 | играть ( помощь · информация ) | 133,24 | +33,24 | ||||||
2 | D | 2 2 / 12 = 6 √ 2 | 1,12246… | играть ( помощь · информация ) | 200 | Пифагорейская уменьшенная треть | 65536 / 59 049 = 1,10985 ... | играть ( помощь · информация ) | 180,45 | -19,55 |
Второстепенный тон | 10 / 9 = 1,11111 ... | играть ( помощь · информация ) | 182,40 | -17,60 | ||||||
Основной тон | 9 / 8 = 1,125 | играть ( помощь · информация ) | 203,91 | +3,91 | ||||||
Септимальный цельный тон | +8 / 7 = 1,14285 ... | играть ( помощь · информация ) | 231,17 | +31,17 | ||||||
3 | D ♯ или E ♭ | 2 3 / 12 = 4 √ 2 | 1.18920… | играть ( помощь · информация ) | 300 | Септимальная малая треть | 7 / 6 = 1,16666 ... | играть ( помощь · информация ) | 266,87 | -33,13 |
Трехзначная малая третья | 13 / 11 = 1,18181 ... | играть ( помощь · информация ) | 289,21 | -10,79 | ||||||
Пифагорейская малая треть | 32 / +27 = 1,18518 ... | играть ( помощь · информация ) | 294,13 | -5,87 | ||||||
Девятнадцатая гармоника | 19 / 16 = 1,1875 | играть ( помощь · информация ) | 297,51 | -2,49 | ||||||
Просто второстепенная треть | 6 / 5 = 1,2 | играть ( помощь · информация ) | 315,64 | +15,64 | ||||||
Пифагорейская увеличенная секунда | 19683 / +16384 = 1,20135 ... | играть ( помощь · информация ) | 317,60 | +17,60 | ||||||
4 | E | 2 4 / 12 = 3 √ 2 | 1,25992… | играть ( помощь · информация ) | 400 | Пифагорейская уменьшенная четвертая | 8 192 / 6 561 = 1,24859 ... | играть ( помощь · информация ) | 384,36 | -15,64 |
Просто мажорная треть | 5 / 4 = 1,25 | играть ( помощь · информация ) | 386,31 | -13,69 | ||||||
Мажорная треть Пифагора | 81 / 64 = 1,265625 | играть ( помощь · информация ) | 407,82 | +7,82 | ||||||
Недесятичная мажорная треть | 14 / 11 = 1,27272 ... | Играть ( помощь · информация ) | 417,51 | +17,51 | ||||||
Септимальная мажорная треть | +9 / 7 = 1,28571 ... | играть ( помощь · информация ) | 435,08 | +35,08 | ||||||
5 | F | 2 5 / 12 = 12 √ 32 | 1,33484… | играть ( помощь · информация ) | 500 | Просто идеальный четвертый | +4 / 3 = 1,33333 ... | играть ( помощь · информация ) | 498,04 | -1,96 |
Пифагорейская дополненная треть | 177147 / +131072 = 1,35152 ... | играть ( помощь · информация ) | 521,51 | -21,51 | ||||||
6 | F ♯ или G ♭ | 2 6 / 12 = √ 2 | 1.41421… | играть ( помощь · информация ) | 600 | Классическая дополненная четвертая | 25 / 18 = 1,38888 ... | играть ( помощь · информация ) | 568,72 | -31,28 |
Тритон Гюйгенса | 7 / 5 = 1.4 | играть ( помощь · информация ) | 582,51 | -17,49 | ||||||
Пифагорейская уменьшенная пятая | +1024 / +729 = 1,40466 ... | играть ( помощь · информация ) | 588,27 | -11,73 | ||||||
Только что увеличил четвертый | 45 / 32 = 1,40625 | Играть ( помощь · информация ) | 590,22 | -9,78 | ||||||
Только что уменьшился пятый | 64 / 45 = 1,42222 ... | играть ( помощь · информация ) | 609,78 | +9,78 | ||||||
Пифагорейский дополненный четвертый | +729 / +512 = 1,42382 ... | играть ( помощь · информация ) | 611,73 | +11,73 | ||||||
Тритон Эйлера | +10 / 7 = 1,42857 ... | Играть ( помощь · информация ) | 617,49 | +17,49 | ||||||
Классическая уменьшенная пятая | 36 / 25 = 1,44 | играть ( помощь · информация ) | 631,28 | +31,28 | ||||||
7 | грамм | 2 7 / 12 = 12 √ 128 | 1.49830… | играть ( помощь · информация ) | 700 | Пифагорейская уменьшенная шестая | +262144 / +177147 = 1,47981 ... | играть ( помощь · информация ) | 678,49 | -21,51 |
Просто идеальный пятый | 3 / 2 = 1,5 | играть ( помощь · информация ) | 701,96 | +1,96 | ||||||
8 | G ♯ или A ♭ | 2 8 / 12 = 3 √ 4 | 1,58740… | играть ( помощь · информация ) | 800 | Септималь минор шестой | +14 / +9 = 1,55555 ... | играть ( помощь · информация ) | 764,92 | -35,08 |
Недесятичный второстепенный шестой | 11 / +7 = 1,57142 ... | играть ( помощь · информация ) | 782,49 | -17,51 | ||||||
Пифагорей минор шестой | +128 / +81 = 1,58024 ... | играть ( помощь · информация ) | 792,18 | -7,82 | ||||||
Просто второстепенный шестой | 8 / 5 = 1,6 | играть ( помощь · информация ) | 813,69 | +13,69 | ||||||
Пифагорейская дополненная пятая | 6 561 / 4096 = 1,60180 ... | играть ( помощь · информация ) | 815,64 | +15,64 | ||||||
9 | А | 2 9 / 12 = 4 √ 8 | 1.68179… | играть ( помощь · информация ) | 900 | Пифагорейская уменьшенная седьмая | 32768 / +19683 = 1,66478 ... | играть ( помощь · информация ) | 882,40 | -18,60 |
Просто мажор шестой | +5 / +3 = 1,66666 ... | играть ( помощь · информация ) | 884,36 | -15,64 | ||||||
Девятнадцатая субгармоника | 32 / 19 = 1,68421 ... | играть ( помощь · информация ) | 902,49 | +2,49 | ||||||
Пифагорей мажор шестой | 27 / 16 = 1,6875 | играть ( помощь · информация ) | 905,87 | +5,87 | ||||||
Септималь мажор шестой | 12 / 7 = 1,71428 ... | Играть ( помощь · информация ) | 933,13 | +33,13 | ||||||
10 | A ♯ или B ♭ | 2 10 / 12 = 6 √ 32 | 1.78179… | играть ( помощь · информация ) | 1000 | Гармоническая седьмая | 7 / 4 = 1,75 | играть ( помощь · информация ) | 968,83 | -31,17 |
Пифагорей минор седьмой | 16 / 9 = 1,77777 ... | играть ( помощь · информация ) | 996,09 | -3,91 | ||||||
Большой минор седьмой | 9 / 5 = 1,8 | играть ( помощь · информация ) | 1017,60 | +17,60 | ||||||
Пифагорейский дополненный шестой | 59 049 / 32 768 = 1,80203 ... | играть ( помощь · информация ) | 1019,55 | +19,55 | ||||||
11 | B | 2 11 / 12 = 12 √ 2048 | 1.88774… | играть ( помощь · информация ) | 1100 | Трехзначный нейтральный седьмой | +13 / 7 = 1,85714 ... | играть ( помощь · информация ) | 1071,70 | -28,30 |
Пифагорейская уменьшенная октава | +4096 / 2187 = 1,87288 ... | играть ( помощь · информация ) | 1086,31 | -13,69 | ||||||
Просто мажорная седьмая | 15 / 8 = 1,875 | играть ( помощь · информация ) | 1088,27 | -11,73 | ||||||
Семнадцатая субгармоника | 32 / +17 = 1,88235 ... | играть ( помощь · информация ) | 1095,04 | -4,96 | ||||||
Пифагорей мажор седьмой | 243 / +128 = 1,89843 ... | играть ( помощь · информация ) | 1109,78 | +9,78 | ||||||
Септималь мажорная седьмая | +27 / +14 = 1,92857 ... | играть ( помощь · информация ) | 1137,04 | +37,04 | ||||||
12 | C | - 12 / 12 = 2 | 2 | играть ( помощь · информация ) | 1200 | Октава | 2 / 1 = 2 | играть ( помощь · информация ) | 1200.00 | 0 |
Запятые [ править ]
12-Tedo закалы из несколько запятой , а это означает , что существует несколько фракций близки к 1 / 1 , которые рассматриваются как 1 / 1 на 12-Tedo из - за его отображение различных фракций к тому же одинаково закаленного интервал. Так , например, 729 / 512 ( 3 6 / 2 9 ) и 1024 / 729 ( 2 10 / 3 6 ), каждый отображается на тритон, поэтому они рассматриваются как тот же самый интервал; следовательно, их отношение, +531441 / 524288 ( 312 ⁄ 2 19 ) отображается / рассматривается как унисон. Этозапятая Пифагора, и это единственная 3-предельная запятая 12-TEDO. Однако по мере увеличения предела числа простых чисел и включения большего количества интервалов количество запятых увеличивается. Наиболее важнаяпять предела запятая 12-Tedo составляет 81 / 80 ( 3 4 / 2 4 × 5 1 ), который известен каксинтонная запятойи является фактором между пифагорейской третью и шестыми и их коллегами просто. Другие 5-ограничивающие запятые 12-TEDO включают:
- Schisma : 32805 / тридцать два тысячи семьсот шестьдесят-восемь = 3 8 × 5 1 / 2 15 = ( пятьсот тридцать одна тысяча четыреста сорок-одна / 524288 ) 1 × ( 81 / 80 ) -1
- Диасхизма : 2048 / до 2025 года = 2 11 / 3 4 × 5 2 = ( +531441 / 524288 ) -1 × ( 81 / 80 ) 2
- Малый знак сноска в виде двойного крестик : 128 / 125 = 2 7 / 5 3 = ( пятьсот тридцать один тысяча четыреста сорок-один / 524288 ) -1 × ( 81 / 80 ) 3
- Большой знак сноска в виде двойной крестик : 648 / 625 = 2 3 × 3 4 / 5 4 = ( пятьсот тридцать одна тысяча четыреста сорок-один / 524288 ) -1 × ( 81 / 80 ) 4
Один из 7-предельных запятой , что 12-Tedo закалы из представляет собой семеричной kleisma , которое равно 225 / 224 , или 3 2 × 5 2 / 2 5 × 7 1 . Другие 7-ограничивающие запятые 12-TEDO включают:
- Семеричной semicomma : 126 / 125 = 2 1 × 3 2 × 7 1 / 5 3 = ( 81 / 80 ) 1 × ( 225 / 224 ) -1
- Разделенные Archytas' : 64 / 63 = 2 6 / 3 2 × 7 1 = ( пятьсот тридцать один тысяча четыреста сорок одна / 524288 ) -1 × ( 81 / 80 ) 2 × ( 225 / 224 ) 1
- Семеричной тон четверть : 36 / 35 = 2 2 × 3 2 / 5 1 × 7 1 = ( 531441 / 524288 ) -1 × ( 81 / 80 ) 3 × ( 225 / 224 ) 1
- Jubilisma : 50 / 49 = 2 1 × 5 2 / 7 2 = ( пятьсот тридцать один тысяча четыреста сорок-одна / 524288 ) -1 × ( 81 / 80 ) 2 × ( 225 / 224 ) 2
Подобные системы настройки [ править ]
Исторически использовалось несколько систем настройки, которые можно рассматривать как небольшие вариации 12-TEDO, с двенадцатью нотами на октаву, но с некоторыми вариациями между размерами интервалов, так что ноты не совсем равномерно разнесены. Один из примеров этого - шкала с тремя границами, в которой совершенные квинты с одинаковым темпом в 700 центов заменены на совершенные квинты с правильным тоном в 701,955 центов. Поскольку два интервала отличаются менее чем 2 цента, или 1 / 600 октавы, две шкалы очень похожи. Фактически, китайцы разработали 3-предельную интонацию по крайней мере за столетие до того, как Хэ Чэнтянь создал последовательность 12-тедо. [38]Точно так же, Пифагор настройка, которая была разработана древними греками, была преобладающая система в Европе вплоть до эпохи Возрождения, когда европейцы поняли , что диссонирующие интервалы , такие как +81 / 64 [39] можно был бы сделать более согласную отпуска их более простые отношения , как 5 / 4 , в результате чего в Европе разрабатывает серию Медиантный темпераментов , которые слегка изменили размеры интервалов , но все еще можно было бы рассматривать как приближенное 12-Tedo. Из-за склонности темпераментов среднего человека концентрировать ошибку на одной энгармонической совершенной пятой части, что делает ее очень диссонирующей.Европейские теоретики музыки, такие как Андреас Веркмайстер, Иоганн Филипп Кирнбергер, Франческо Антонио Валлотти и Томас Янг, создали различные хорошие темпераменты с целью разделить запятые, чтобы уменьшить диссонанс наиболее пострадавших интервалов. Веркмайстер и Кирнбергер были недовольны его первым темпераментом и поэтому создали несколько темпераментов, причем последние темпераменты более точно соответствовали одинаковому темпераменту, чем предыдущие. Точно так же Европа в целом постепенно перешла от среднего темперамента к 12-TEDO - системе, которую она использует до сих пор.
Подмножества [ править ]
В то время как некоторые типы музыки, такие как сериализм , используют все двенадцать нот 12-TEDO, в большей части музыки используются только ноты из определенного подмножества 12-TEDO, известного как гамма. Существует много разных типов весов.
Под самым популярным типом шкалы в 12-TEDO подразумевается один. Meantone относится к любой гамме, в которой все ноты идут подряд по кругу квинт. Медиантные весы различных размеров существуют и некоторые Медиантные весы , используемые включают в себя пять нотных Медиантные , семь нотных Медиантном и девяти нотных Медиантном . Meantone присутствует в дизайне западных инструментов. Например, клавиши пианино и его предшественников структурированы так, что белые клавиши образуют семизначную шкалу, означающую одну, а черные клавиши - пятизначную шкалу. Другой пример - гитары и другие струнные инструменты с как минимум пятью струнами, как правило, настроены так, что их открытые струны образуют пятизначную шкалу, означающую одну.
Другие гаммы, используемые в 12-TEDO, включают восходящую мелодическую минорную гамму , гармонический минор , гармонический мажор , уменьшенную шкалу и масштабную шкалу .
См. Также [ править ]
- Равный темперамент
- Просто интонация
- Музыкальная акустика (физика музыки)
- Музыка и математика
- Микротональная музыка
- Список подразумеваемых интервалов
- Диатонический и хроматический
- Электронный тюнер
- Музыкальный тюнинг
Ссылки [ править ]
Сноски [ править ]
- ^ Также известный как 12-Tet , 12 равнотемперированное , 12-ET , 12-тональный сигнал равно деление октавы , 12-Tedo , 12 равно разделения октавы или 12-EDO ; неофициально сокращенно до двенадцати равных или называемых равным темпераментом без оговорок в западных странах
Цитаты [ править ]
- ^ фон Гельмгольц и Эллис 1885 , стр. 493-511.
- ^ а б Каттнер 1975 , стр. 163.
- ^ а б Каттнер 1975 , стр. 200.
- Перейти ↑ Robinson 1980 , p. vii: Чу-Цайю - первый в мире разработчик математики «равного темперамента».
- ^ a b c Нидхэм, Ling & Robinson 1962 , стр. 221.
- ^ Kwang-чжи Чанг, Pingfang Xu & Liancheng Лу 2005 , стр. 140-.
- Перейти ↑ Barbour 2004 , pp. 55-56.
- Перейти ↑ Hart 1998 .
- Перейти ↑ Needham & Ronan 1978 , p. 385.
- ^ а б Чо 2010 .
- ^ a b Линхард 1997 .
- ^ a b Кристенсен 2002 , стр. 205.
- Перейти ↑ Barbour 2004 , p. 7.
- ^ фон Гельмгольц и Эллис 1885 , стр. 258.
- ↑ Верно 2018 , стр. 61-74.
- ^ Галилей 1584 , стр. 80-89.
- Перейти ↑ Barbour 2004 , p. 8.
- ^ Джакомо Горзанис, c. 1525 - ок. 1575 Intabolatura di liuto. Женева, 1982 г.
- ^ "Spinacino 1507a: Тематический указатель" . Аппалачский государственный университет. Архивировано из оригинала на 2011-07-25 . Проверено 14 июня 2012 .
- Перейти ↑ Wilson 1997 .
- ^ Jörgens 1986 .
- ^ "Scintille de musica", (Брешия, 1533), стр. 132
- ^ "Van de Spiegheling der singconst, редактор Рудольф Раш, The Diapason Press" . Diapason.xentonic.org. 2009-06-30. Архивировано из оригинала на 2011-07-17 . Проверено 20 марта 2012 .
- Перейти ↑ Cho 2003 , p. 223.
- Перейти ↑ Cho 2003 , p. 222.
- Перейти ↑ Christensen 2002 , p. 207.
- Перейти ↑ Christensen 2002 , p. 78.
- ^ "Лютни, альты, темпераменты" ISBN Марка Линдли 978-0-521-28883-5
- ^ Vm7 6214
- ^ Andreas Werckmeister: Musicalische парадоксальный-Дискурс, 1707
- ^ "12edo - Xenharmonic Wiki" . en.xen.wiki . Проверено 4 апреля 2020 года .
Вероятно, не случайно, что по мере того, как настройка в европейской музыке все больше приближалась к 12et, стиль музыки изменился так, что недостатки 12et стали менее очевидными, хотя следует иметь в виду, что в реальном исполнении они часто уменьшаются на настройки исполнителей.
- ^ Ди Вероли, Клаудио. Неравные темпераменты: теория, история и практика. 2-е издание, Bray Baroque, Bray, Ирландия, 2009 г., стр. 140, 142 и 256.
- Перейти ↑ Moody 2003 .
- ^ фон Гельмгольц и Эллис 1885 , стр. 548.
- ^ Белый, Уильям Брэйд. Настройка фортепиано и смежные искусства. 1917 г., 5-е расширенное издание, Tuners Supply Co., Бостон, 1946 г., стр.68.
- Перейти ↑ Barbour 2004 , pp. 55-78.
- ^ Партч, Гарри (1979). Генезис музыки (2-е изд.). Da Capo Press. п. 134 . ISBN 0-306-80106-X.
- Перейти ↑ Needham, Ling & Robinson 1962 , pp. 170-171.
- ^ Benward & Saker 2003 , стр. 56.
Источники [ править ]
- Барбур, Джеймс Мюррей (2004). Настройка и темперамент: исторический обзор . Курьерская корпорация. ISBN 978-0-486-43406-3.
- Бенвард, Брюс; Балобан, Мэрилин (2003). Музыка в теории и практике . Том 1. Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-294261-3.
- Чо, Джин Дж. (2003). Открытие музыкального равного темперамента в Китае и Европе в шестнадцатом веке . E. Mellen Press. ISBN 978-0-7734-6941-9.
- Чо, Джин Дж. (2010). «Значение открытия музыкального равного темперамента в истории культуры» . Журнал Синхайской консерватории музыки .
- Кристенсен, Томас (2002). Кембриджская история западной теории музыки . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62371-1.
- Даффин, Росс В. Как равный темперамент разрушил гармонию (и почему вам это должно быть небезразлично) . WWNorton & Company, 2007.
- Галилей, Винченцо (1584). Il Fronimo . Венеция: Джироламо Скотто .
- Харт, Роджер (1998), Количественная оценка ритуала: политическая космология, изысканная музыка и точная математика в Китае семнадцатого века , кафедра истории и азиатских исследований, Техасский университет, Остин, архивировано из оригинала 05 марта 2012 г. , извлечено 2012-03-20
- Йоргенс, Элиза Бикфорд (1986). Английская песня, 1600–1675: факсимиле 26 рукописей и издание текстов . Гирлянда.
- Йоргенсен, Оуэн. Тюнинг . Michigan State University Press, 1991. ISBN 0-87013-290-3
- Каттнер, Фриц А. (май 1975 г.). «Жизнь и творчество принца Чу Цай-Юя: переоценка его вклада в теорию равного темперамента» (PDF) . Этномузыкология . 19 (2): 163–206. DOI : 10.2307 / 850355 . JSTOR 850355 .
- Кван-чжи Чанг; Пинфан Сюй; Ляньчэн Лу (2005). «Восточный Чжоу и рост регионализма». Формирование китайской цивилизации: археологическая перспектива . Сюй Пинфан, Шао Ванпин, Чжан Чжунпей, Ван Жэньсян. Издательство Йельского университета. ISBN 978-0-300-09382-7.
- Линхард, Джон Х. (1997). «Равный темперамент» . Двигатели нашей изобретательности . Хьюстонский университет . Проверено 5 октября 2014 .
- Муди, Ричард (февраль 2003 г.). «Ранний равный темперамент, слуховая перспектива: Клод Монталь 1836». Журнал фортепианных техников . Канзас-Сити.
- Нидхэм, Джозеф ; Линг, Ван; Робинсон, Кеннет Г. (1962). Наука и цивилизация в Китае . Том 4 - Часть 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-05802-5.
- Нидхэм, Джозеф; Ронан, Колин А. (1978). Более короткая наука и цивилизация в Китае . Том 4 - Часть 1. Издательство Кембриджского университета.
- Робинсон, Кеннет (1980). Критическое исследование вклада Чу Цай-юй в теорию равного темперамента в китайской музыке . Том 9 Sinologica Coloniensia. Висбаден: Штайнер. ISBN 978-3-515-02732-8.
- Сетхарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, масштаб (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-797-4.
- Surjodiningrat, W., Sudarjana, PJ, and Susanto, A. (1972) Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте , Gadjah Mada University Press, Джокджакарта, 1972 г. Цитируется на https://web.archive.org/web/ 20050127000731 / http: //web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm . Проверено 19 мая 2006 года.
- Стюарт, П. Дж. (2006) «От Галактики к Галактике: Музыка Сфер» [1]
- Храмов, Михаил. «Аппроксимация 5-предельной только интонации. Компьютерное моделирование MIDI в отрицательных системах равных делений октавы», Труды Международной конференции SIGMAP-2008 [ постоянная мертвая ссылка ] , 26–29 июля 2008 г., Порту , стр. 181–184 , ISBN 978-989-8111-60-9
- Верно, Тимати (2018). «Битва между безупречной интонацией и максимальной модуляцией» . Музыкальные предложения . 9 (2): 61–74. DOI : 10.15385 / jmo.2018.9.2.2 .
- фон Гельмгольц, Германн ; Эллис, Александр Дж. (1885). Об ощущениях тона как физиологической основе теории музыки (2-е изд.). Лондон: Лонгманс, Грин.
- Уилсон, Джон (1997). «Тридцать прелюдий во всех (24) тональностях для лютни [DP 49]» . Диапазон Пресс . Проверено 27 октября 2020 года .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Ощущения тона - основополагающая работа Германа фон Гельмгольца по акустике и звуковому восприятию. Особенно Приложение XX: Дополнения переводчика, страницы 430-556, (pdf страницы 451-577)]
Внешние ссылки [ править ]
- Xenharmonic вики по EDO против равных темпераментов
- Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
- А.Орландини: Музыкальная акустика
- "Темперамент" из приложения к циклопедии мистера Чемберса (1753 г.)
- Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг . (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
- Фрактальная микротональная музыка , Джим Кукула .
- Все существующие цитаты 18 века об И. С. Бахе и темпераменте
- Доминик Экерсли: « Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха »
- Хорошие темпераменты, основанные на определении Веркмайстера
- Р AVORED С ARDINALITIES О Р С Калес от P Eter B ЦЭКБС