Корень двенадцатой степени из двух

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Октавы равномерно распределены при измерении по логарифмической шкале (в центах).

Двенадцатом корень из двух или (или что то же самое ) является алгебраическим иррациональным числом . Это наиболее важно в западной теории музыки , где оно представляет собой соотношение частот ( музыкальный интервал ) полутона ( Play ( помощь · информация ) ) в двенадцатитонной равной темперации . Этот номер был предложен впервые применительно к музыкальному тюнингу. ${\ displaystyle {\ sqrt [{12}] {2}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {1/12}}$ в шестнадцатом и семнадцатом веках. Он позволяет измерять и сравнивать различные интервалы (соотношения частот), состоящие из разных номеров одного интервала, равного темперированного полутона (например, второстепенная треть составляет 3 полутона, большая треть - 4 полутона, а идеальная квинта - 7 полутонов. ). ^[a] Сам полутон делится на 100 центов (1 цент = ). ${\ displaystyle {\ sqrt [{1200}] {2}} = 2 ^ {1/1200}}$

Равномерная хроматическая гамма [ править ]

Музыкальный интервал представляет собой отношение частот и равные уравновешенный хроматической гаммы делит октаву (который имеет отношение 2: 1) в двенадцати частей.

Последовательное применение этого значения к тонам хроматической гаммы, начиная с A выше среднего C (известного как A 4 ) с частотой 440 Гц, дает следующую последовательность высот :

Примечание	Стандартные названия интервалов, относящиеся к A 440	Частота (Гц)	Множитель	Коэффициент (до шести знаков)	Просто интонационное соотношение
А	Унисон	440,00	2 ^{0 ⁄ 12}	1 000 000	1
A ♯ / B ♭	Минорная секунда / Полутон / Полутон	466,16	2 ¹^⁄¹²	1,059 463	≈ 16 ⁄ 15
B	Мажорная секунда / полный шаг / весь тон	493,88	2 ²^⁄¹²	1,122 462	≈ 9 ⁄ 8
C	Незначительная треть	523,25	2 ³^⁄¹²	1,189 207	≈ 6 ⁄ 5
C ♯ / D ♭	Мажорная треть	554,37	2 ⁴^⁄¹²	1,259 921	≈ 5 ⁄ 4
D	Идеальный четвертый	587,33	2 ⁵^⁄¹²	1,334 839	≈ 4 ⁄ 3
D ♯ / E ♭	Увеличенная четвертая / Уменьшенная пятая / Тритон	622,25	2 ⁶^⁄¹²	1,414 213	≈ 7 ⁄ 5
E	Идеальная пятая	659,26	2 ⁷^⁄¹²	1,498 307	≈ 3 ⁄ 2
F	Незначительный шестой	698,46	2 ⁸^⁄¹²	1,587 401	≈ 8 ⁄ 5
F ♯ / G ♭	Шестой майор	739,99	2 ⁹^⁄¹²	1,681 792	≈ 5 ⁄ 3
грамм	Незначительный седьмой	783,99	2 ¹⁰^⁄¹²	1,781 797	≈ 9 ⁄ 5
G ♯ / A ♭	Большой седьмой	830,61	2 ¹¹^⁄¹²	1,887 748	≈ 15 ⁄ 8
А	Октава	880,00	2 ¹²^⁄¹²	2 000 000	2

Конечная A (A ₅ : 880 Гц) ровно в два раза больше частоты нижней A (A ₄ : 440 Гц), то есть на одну октаву выше.

Другие шкалы настройки [ править ]

В других шкалах настройки используются несколько иные соотношения интервалов:

Просто или пифагорейская совершенная пятая равно 3/2, а разница между равной закаленной квинтой и просто является градом , двенадцатым корнем Пифагора запятой ( ¹² √ 531441/524288 ).
Равно темперированная шкала Болена – Пирса использует интервал тринадцатого корня из трех ( ¹³ √ 3 ).
Штокхаузен Studie II (1954) использует двадцать пятый корень из пяти ( ²⁵ √ 5 ), составную мажорную треть, разделенную на 5 × 5 частей.
Шкала дельты основана на ≈ ⁵⁰ √ 3/2 .
Гамма - шкала основана на ≈ ²⁰ √ 3/2 .
Бета шкала основана на ≈ ¹¹ √ 3/2 .
Альфа шкала основана на ≈ ⁹ √ 3/2 .

Регулировка высоты звука [ править ]

Одна октава 12-тет на монохорде (линейная)

Хроматический круг изображает равные расстояния между нотами (логарифмические)

Так как соотношение частот полутона близко к 106% ( ), увеличение или уменьшение скорости воспроизведения записи на 6% приведет к сдвигу высоты звука вверх или вниз примерно на один полутон, или «полутон». Высококлассные катушечные магнитофоны обычно имеют регулировку высоты тона до ± 6%, обычно используемую для согласования высоты тона воспроизведения или записи с другими музыкальными источниками, имеющими немного другие настройки (или, возможно, записанными на оборудовании, которое не работало на достаточно высокой скорости). правильная скорость). Современные студии звукозаписи используют цифровое смещение высоты звука для достижения аналогичных результатов, в диапазоне от центов до нескольких полутонов (обратите внимание, что регулировка с катушки на катушку также влияет на темп записанного звука, а цифровое смещение - нет). ${\ displaystyle 1.05946 \ times 100 = 105.946}$

DJ вертушки могут иметь регулировку до ± 20%, но это чаще используется для синхронизации ударов между песнями, чем для регулировки высоты тона, которая в основном полезна только при переходах между частями без ударов и эмбиентными партиями. Для сопоставления ритмов музыки с высоким содержанием мелодии ди-джей в первую очередь будет пытаться искать песни, которые звучат гармонично вместе при установке в равном темпе.

История [ править ]

Исторически это число было впервые предложено в связи с музыкальным строем в 1580 году (составлено, переписано в 1610 году) Саймоном Стевином . ^[2] В 1581 году итальянский музыкант Винченцо Галилей может быть первым европейцем, предложившим двенадцатитоновый равный темперамент. ^[1] Двенадцатый корень из двух впервые был вычислен в 1584 по математике и музыканту Чж Zaiyu с использованием счетов , чтобы достичь двадцать четырех знаков после запятой, ^[1] вычислен около 1605 фламандской математики Стевин , ^[1] в 1636 году по - французски математик Марин Мерсенн и в 1691 году немецкий музыкант Андреас Веркмайстер .^[3]

См. Также [ править ]

Просто интонация § Практические трудности
Музыка и математика
Частоты клавиш фортепиано
Обозначение научного тона
Двенадцатитоновая техника
Хорошо темперированный клавир

Заметки [ править ]

^ «Наименьший интервал в равномерно темперированной гамме - это соотношение, поэтомусоотношение r делит соотношение p (= 2/1 в октаве) на n равных частей». ^[1] ${\ Displaystyle г ^ {п} = р}$ ${\ Displaystyle г = {\ sqrt [{п}] {р}}}$

Ссылки [ править ]

^ a b c d Джозеф, Джордж Гевергезе (2010). Гребень павлина : неевропейские корни математики , с.294-5. Третье издание. Принстон. ISBN 9781400836369 .
^ Кристенсен, Томас (2002), Кембриджская история западной теории музыки , стр. 205 , ISBN 978-0521686983
^ Гудрич, Л. Кэррингтон (2013). Краткая история китайского народа ,^{[без страницы]} . Курьер. ISBN 9780486169231 . Цитирует: Чу Цай-юй (1584). Новые замечания по изучению резонансных трубок .

Дальнейшее чтение [ править ]

Барбур, JM (1933). «Китайское приближение шестнадцатого века для $π$ ». Американский математический ежемесячник . 40 (2): 69–73. DOI : 10.2307 / 2300937 . JSTOR 2300937 .
Эллис, Александр ; Гельмгольц, Герман (1954). Об ощущениях тона . Dover Publications. ISBN 0-486-60753-4.
Партч, Гарри (1974). Генезис музыки . Da Capo Press. ISBN 0-306-80106-X.

[2] «Наименьший интервал в равномерно темперированной гамме - это соотношение, поэтомусоотношение r делит соотношение p (= 2/1 в октаве) на n равных частей». ^[1] ${\ Displaystyle г ^ {п} = р}$ ${\ Displaystyle г = {\ sqrt [{п}] {р}}}$

[Crest-1] Джозеф, Джордж Гевергезе (2010). Гребень павлина : неевропейские корни математики , с.294-5. Третье издание. Принстон. ISBN 9781400836369 .

[3] Кристенсен, Томас (2002), Кембриджская история западной теории музыки , стр. 205 , ISBN 978-0521686983

[4] Гудрич, Л. Кэррингтон (2013). Краткая история китайского народа ,^{[без страницы]} . Курьер. ISBN 9780486169231 . Цитирует: Чу Цай-юй (1584). Новые замечания по изучению резонансных трубок .

[a]

vтеИррациональные числа
Чайтина ( $Ω$ ) Liouville Prime ( $ρ$ ) Логарифм 2 Гаусса ( $G$ ) Корень двенадцатой степени из 2 Апери ( $ζ (3)$ ) Пластик ( $ρ$ ) Корень квадратный из 2 Сверхзолотое соотношение ( $ψ$ ) Эрдеш-Борвейн ( $E$ ) Золотое сечение ( $φ$ ) Корень квадратный из 3 Корень квадратный из 5 Коэффициент серебра ( $δ S$ ) Эйлера ( $е$ ) Пи ( $π$ )
Шизофреник Трансцендентный Тригонометрический