Торический узел

В теории узлов торический узел — это особый вид узла , который лежит на поверхности ^{незаузленного}тора в R3 . Точно так же зацепление тора - это зацепление , которое точно так же лежит на поверхности тора. Каждый торический узел задается парой взаимно простых целых чисел p и q . Торическое зацепление возникает, если p и q не взаимно просты (в этом случае количество компонентов равно gcd ( p, q )). Торический узел тривиален (эквивалентен неузлу) тогда и только тогда, когда либо p , либо q равно 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, также известный как узел-трилистник .

Торический узел может быть представлен геометрически несколькими способами, которые топологически эквивалентны (см. Свойства ниже), но геометрически различны. Соглашение, используемое в этой статье и ее рисунках, следующее.

( p , q )-торический узел наматывается q раз вокруг окружности внутри тора и p раз вокруг его оси вращательной симметрии . ^{[примечание 1]} . Если p и q не взаимно просты, то у нас есть торическое зацепление с более чем одной компонентой.

Направление, в котором нити узла закручиваются вокруг тора, также зависит от различных соглашений. Чаще всего нити образуют правый винт при pq > 0 . ^[3]^[4]^[5]

где и . Это лежит на поверхности тора, заданного (в цилиндрических координатах ). ${\ Displaystyle г = \ соз (д \ фи) + 2}$ ${\ Displaystyle 0 <\ фи <2 \ пи}$ ${\ Displaystyle (г-2) ^ {2} + г ^ {2} = 1}$

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определяются с точностью до непрерывной деформации. Иллюстрации для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, взяв , а в случае (2,3)-торического узла дополнительно вычитая соответственно и из приведенных выше параметризаций x и у . Последнее гладко обобщается на любые взаимно простые p,q, удовлетворяющие . ${\ Displaystyle г = \ соз (д \ фи) + 4}$ ${\ Displaystyle 3 \ соз ((pq) \ фи)}$ ${\ Displaystyle 3 \ грех ((pq) \ фи)}$ ${\ Displaystyle р <q <2р}$