А гипотеза (также известная как гипотеза Oesterle-Masser ) является гипотезой в теории чисел , первый предложенный Джозефом Oesterle ( 1988 ) и Дэвид Массера ( 1985 ). Он выражается в трех положительных целых числах a , b и c (отсюда и название), которые взаимно просты и удовлетворяют условию a + b = c . Если d обозначает произведение различных простых множителей из аЬса, гипотеза по существу утверждает, что d обычно не намного меньше c . Другими словами: если a и b составлены из больших степеней простых чисел, то c обычно не делится на большие степени простых чисел. Ряд известных гипотез и теорем теории чисел сразу вытекает из гипотезы abc или ее версий. Голдфельд (1996) описал гипотезу abc как «наиболее важную нерешенную проблему в диофантовом анализе ».
Поле | Теория чисел |
---|---|
Предполагается | Джозеф Остерле Давид Массер |
Предполагается в | 1985 г. |
Эквивалентно | Модифицированная гипотеза Шпиро |
Последствия |
АЬс гипотеза возникла как результат попыток по Oesterle и Массеру , чтобы понять Шпиро~d гипотезы о эллиптических кривых , [1] , который включает в себя больше геометрические структуры в своем заявлении , чем аЬс гипотеза. Было показано, что гипотеза abc эквивалентна модифицированной гипотезе Шпиро. [2]
Были предприняты различные попытки доказать гипотезу abc, но ни одна из них в настоящее время не принята основным математическим сообществом, и по состоянию на 2020 год гипотеза все еще в значительной степени считается недоказанной. [3] [4]
Составы
Прежде чем сформулировать гипотезу, мы введем понятие радикала целого числа : для натурального числа n радикал числа n , обозначенный как rad ( n ), является произведением различных простых делителей числа n . Например
- рад (16) = рад (2 4 ) = рад (2) = 2,
- рад (17) = 17,
- рад (18) = рад (2 ⋅ 3 2 ) = 2 · 3 = 6,
- рад (1000000) = рад (2 6 5 6 ) = 2 ⋅ 5 = 10.
Если а , б , и с являются взаимно простыми [1] отмечает положительные целые числа такие , что + Ь = с , то оказывается, что «обычно» гр <рад ( ABC ). Гипотеза abc имеет дело с исключениями. В частности, в нем говорится, что:
- Для любого положительного действительного числа ε существует только конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых натуральных чисел с a + b = c , таких что
Эквивалентная формулировка:
- Для любого положительного действительного числа ε существует такая константа K ε , что для всех троек ( a , b , c ) взаимно простых натуральных чисел с a + b = c :
Третья эквивалентная формулировка гипотезы включает качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ), которое определяется как
Например:
- q (4, 127, 131) = журнал (131) / журнал (рад (4 · 127 · 131)) = журнал (131) / журнал (2 · 127 · 131) = 0,46820 ...
- q (3, 125, 128) = log (128) / log (rad (3 · 125 · 128)) = log (128) / log (30) = 1,426565 ...
Типичная тройка ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c будет иметь c
- Для любого положительного действительного числа ε существует только конечное число троек ( a , b , c ) взаимно простых натуральных чисел с a + b = c таких, что q ( a , b , c )> 1 + ε .
Хотя известно, что существует бесконечно много троек ( a , b , c ) взаимно простых положительных целых чисел с a + b = c таких, что q ( a , b , c )> 1, гипотеза предсказывает, что только конечное число из них имеет q > 1.01 или q > 1.001, или даже q > 1.0001 и т. д. В частности, если гипотеза верна, то должна существовать тройка ( a , b , c ), которая достигает максимально возможного качества q ( a , b , c ).
Примеры троек с малым радикалом
Условие ε > 0 необходимо, поскольку существует бесконечно много троек a , b , c с c > rad ( abc ). Например, пусть
Целое число b делится на 9:
Используя этот факт, мы рассчитываем:
Путем замены показателя 6 n другими показателями степени, вынуждающего b иметь большие квадратные множители, отношение между радикалом и c может быть сделано сколь угодно малым. В частности, пусть p > 2 простое число и рассмотрим
Теперь мы утверждаем, что b делится на p 2 :
Последний шаг использует тот факт, что p 2 делит 2 p ( p −1) - 1. Это следует из малой теоремы Ферма , которая показывает, что при p > 2 2 p −1 = pk + 1 для некоторого целого k . Возведение обеих сторон в степень p показывает, что 2 p ( p −1) = p 2 (...) + 1.
И теперь с аналогичным расчетом, как указано выше,
Список троек высшего качества (троек с особенно маленьким радикалом относительно c ) приведен ниже; самое высокое качество, 1,6299, было обнаружено Эриком Рейссатом ( Lando & Zvonkin 2004 , стр. 137) для
- а = 2,
- б = 3 · 10 · 109 = 6 436 341 ,
- с = 23 5 = 6 436 343 ,
- рад ( abc ) = 15 042 .
Некоторые последствия
Гипотеза abc имеет большое количество следствий. К ним относятся как известные результаты (некоторые из которых были доказаны отдельно, поскольку гипотеза была сформулирована), так и гипотезы, для которых она дает условное доказательство . Последствия включают:
- Теорема Рота о диофантовом приближении алгебраических чисел. [5]
- Гипотеза Морделла (в целом уже доказанная Гердом Фалтингсом ). [6]
- Как эквивалент, гипотеза Войты в размерности 1. [7]
- Гипотеза Эрдеша – Вудса, допускающая конечное число контрпримеров. [8]
- Существование бесконечного числа простых чисел, отличных от Вифериха, в любой базе b > 1. [9]
- Слабая форма гипотезы Маршалла Холла о разделении квадратов и кубов целых чисел. [10]
- Гипотеза Ферма – Каталана , обобщение последней теоремы Ферма о степенях, которые являются суммами степеней. [11]
- L -функция L ( s , χ д ) формируется с символом Лежандра , не имеет Siegel нуля , учитывая однородный вариант аЬса гипотезы в числовых полей, а не только аЬс гипотезы , как это сформулировано выше для рациональных чисел. [12]
- Многочлен Р ( х ) имеет лишь конечное число совершенных полномочий для всех целых чисел х , если P имеет по крайней мере три простых нулей. [13]
- Обобщение теоремы Тейдемана о количестве решений y m = x n + k (теорема Тейдемана отвечает на случай k = 1) и гипотезы Пиллаи (1931) о количестве решений Ay m = Bx n + k .
- Как эквивалент, гипотеза Гранвиля – Ланжевена о том, что если f - бинарная форма без квадратов степени n > 2, то для любого вещественного β > 2 существует константа C ( f , β ) такая, что для всех взаимно простых целых чисел x , y радикал f ( x , y ) превосходит C · max {| х |, | у |} п - β . [14]
- Как эквивалент, модифицированная гипотеза Спиро , которая дает оценку rad ( abc ) 1,2+ ε . [2]
- Домбровски (1996) показал, что из гипотезы abc следует, что диофантово уравнение n ! + = K 2 имеет лишь конечное число решений для любого заданного целого числа А .
- Существует ~ c f N натуральных чисел n ≤ N, для которых f ( n ) / B 'бесквадратично, причем c f > 0 положительная константа, определяемая как: [15]
- Последняя теорема Ферма получила известное трудное доказательство Эндрю Уайлса. Однако это легко следует, по крайней мере, для, из эффективной формы слабой версии гипотезы abc. Гипотеза abc утверждает, что lim sup множества всех качеств (определенных выше) равен 1, что подразумевает гораздо более слабое утверждение, что существует конечная верхняя граница для качеств. Гипотезы о том, что 2 является такой верхней оценкой, достаточно для очень короткого доказательства Великой теоремы Ферма для. [16]
- Гипотеза Била , обобщение последней теоремы Ферма о том, что если A , B , C , x , y и z - натуральные числа с A x + B y = C z и x , y , z > 2, то A , B , и C имеют общий простой делитель. Гипотеза abc означала бы, что существует только конечное число контрпримеров.
- Гипотеза Лэнга , оценка снизу высоты рациональной точки без кручения эллиптической кривой.
- Отрицательное решение проблемы Эрдеша – Улама . [17]
Теоретические результаты
Гипотеза abc означает, что c может быть ограничено сверху почти линейной функцией радикала abc . Известны экспоненциальные границы . В частности, были доказаны следующие оценки:
- ( Стюарт и Тийдеман 1986 ),
- ( Стюарт и Ю, 1991 ), и
- ( Стюарт и Ю, 2001 ).
В этих оценках K 1 и K 3 - константы , не зависящие от a , b или c , а K 2 - константа, которая зависит от ε ( эффективно вычислимым способом), но не от a , b или c . Эти оценки применимы к любой тройке, для которой c > 2.
Результаты расчетов
В 2006 году математический факультет Лейденского университета в Нидерландах совместно с голландским научным институтом Kennislink запустили проект ABC @ Home , систему вычислений с сеткой , цель которой - обнаружение дополнительных троек a , b , c с rad ( abc ) < c . Хотя никакой конечный набор примеров или контрпримеров не может разрешить гипотезу abc , есть надежда, что закономерности в тройках, обнаруженные в этом проекте, приведут к пониманию гипотезы и теории чисел в целом.
q c | q > 1 | q > 1,05 | q > 1,1 | q > 1,2 | q > 1,3 | q > 1,4 |
---|---|---|---|---|---|---|
с <10 2 | 6 | 4 | 4 | 2 | 0 | 0 |
с <10 3 | 31 год | 17 | 14 | 8 | 3 | 1 |
с <10 4 | 120 | 74 | 50 | 22 | 8 | 3 |
с <10 5 | 418 | 240 | 152 | 51 | 13 | 6 |
с <10 6 | 1,268 | 667 | 379 | 102 | 29 | 11 |
с <10 7 | 3 499 | 1,669 | 856 | 210 | 60 | 17 |
с <10 8 | 8 987 | 3 869 | 1 801 | 384 | 98 | 25 |
с <10 9 | 22 316 | 8 742 | 3 693 | 706 | 144 | 34 |
с <10 10 | 51 677 | 18 233 | 7 035 | 1,159 | 218 | 51 |
с <10 11 | 116 978 | 37 612 | 13 266 | 1 947 | 327 | 64 |
с <10 12 | 252 856 | 73 714 | 23 773 | 3028 | 455 | 74 |
с <10 13 | 528 275 | 139 762 | 41 438 | 4,519 | 599 | 84 |
с <10 14 | 1 075 319 | 258 168 | 70 047 | 6 665 | 769 | 98 |
с <10 15 | 2 131 671 | 463 446 | 115 041 | 9 497 | 998 | 112 |
с <10 16 | 4,119 410 | 812 499 | 184 727 | 13 118 | 1,232 | 126 |
с <10 17 | 7 801 334 | 1,396,909 | 290 965 | 17 890 | 1,530 | 143 |
с <10 18 | 14 482 065 | 2,352,105 | 449 194 | 24 013 | 1843 | 160 |
По состоянию на май 2014 года ABC @ Home обнаружила 23,8 миллиона троек. [19]
Классифицировать | q | а | б | c | Обнаружил |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1,6299 | 2 | 3 10 · 109 | 23 5 | Эрик Рейссат |
2 | 1,6260 | 11 2 | 3 2 · 5 6 · 7 3 | 2 21 · 23 | Бенн де Вегер |
3 | 1,6235 | 19,1307 | 7 · 29 2 · 31 8 | 2 8 · 3 22 · 5 4 | Ежи Браукин, Юлиуш Бжезинский |
4 | 1,5808 | 283 | - 11 · 13 2 | 2 8 · 3 8 · 17 3 | Ежи Браукин, Юлиуш Бжезинский, Абдеррахман Нитай |
5 | 1,5679 | 1 | 2 · 3 7 | 5 4 · 7 | Бенн де Вегер |
Примечание: качество q ( a , b , c ) тройки ( a , b , c ) определено выше .
Гипотеза abc является целочисленным аналогом теоремы Мейсона – Стотерса для многочленов.
Усиление, предложенное Бейкером (1998) , утверждает, что в гипотезе abc можно заменить rad ( abc ) на
- ε - ω рад ( abc ),
где ω - общее количество различных простых чисел, делящих a , b и c . [21]
Эндрю Гранвиль заметил, что минимум функции над происходит, когда
Это побудило Бейкера (2004) предложить более точную форму гипотезы abc , а именно:
с абсолютной постоянной κ . После некоторых вычислительных экспериментов он обнаружил, что значениедопустимо для κ .
Эта версия называется «явной гипотезой abc ».
Бейкер (1998) также описывает связанные гипотезы Эндрю Грэнвилла , которые дадут верхние оценки на c в виде
где Ω ( n ) - общее количество простых делителей числа n , а
где Θ ( n ) - количество целых чисел до n, которые делятся только на простые числа, делящие n .
Роберт, Стюарт и Тененбаум (2014) предложили более точное неравенство, основанное на Роберте и Тененбауме (2013) . Пусть k = rad ( abc ). Они предположили, что существует постоянная C 1 такая, что
тогда как существует постоянная C 2 такая, что
держится бесконечно часто.
Браукин и Бжезинский (1994) сформулировали n-гипотезу - версию abc- гипотезы, включающую n > 2 целых чисел.
Заявленные доказательства
Люсьен Шпиро предложил решение в 2007 году, но вскоре после этого было обнаружено, что оно неверно. [22]
С августа 2012 года Шиничи Мочизуки потребовал доказательства гипотезы Спиро и, следовательно, гипотезы abc. [23] Он выпустил серию из четырех препринтов, разрабатывающих новую теорию, которую он назвал межуниверсальной теорией Тейхмюллера (IUTT), которая затем применяется для доказательства гипотезы abc. [24] Статьи не были приняты математическим сообществом как доказательство abc. [25] Это происходит не только из-за их сложности для понимания и длины, [26] но также из-за того, что по крайней мере один конкретный момент в аргументе был определен некоторыми другими экспертами как пробел. [27] Хотя несколько математиков поручились за правильность доказательства [28] и попытались передать свое понимание через семинары по IUTT, им не удалось убедить сообщество теории чисел в целом. [29] [30]
В марте 2018 года Питер Шольце и Якоб Стикс посетили Киото для обсуждения с Мотидзуки. [31] [32] Хотя они не разрешили разногласия, они более четко сфокусировали их. Шольц и Стикс написали отчет, в котором утверждали и объясняли ошибку в логике доказательства и утверждали, что полученный пробел был «настолько серьезным, что… небольшие модификации не спасут стратегию доказательства»; [33] Мотидзуки утверждал, что они неправильно поняли важные аспекты теории и сделали неверные упрощения. [34] [35] [36]
3 апреля 2020 года два японских математика объявили, что заявленное доказательство Мотидзуки будет опубликовано в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS), главным редактором которого является Мотидзуки. [3] Киран Кедлая и Эдвард Френкель скептически восприняли это объявление , а также было описано в Nature как «маловероятно, что многие исследователи переедут в лагерь Мотидзуки». [3]
Смотрите также
- Список нерешенных задач по математике
Заметки
- ^ При+ Ь = с , coprimeness из в , б , с предполагает попарное coprimeness из в , б , с . Так что в этом случае не имеет значения, какую концепцию мы используем.
Рекомендации
- ^ Фесенко, Иван (2015), «Арифметика теория деформации с помощью арифметических фундаментальных групп и неархимедовских тета - функций, заметки о работе Мотидзуки» (PDF) , Европейский журнал по математике , 1 (3): 405-440, DOI : 10.1007 / s40879-015-0066-0.
- ^ a b Oesterlé (1988) .
- ^ а б в Кастельвекки, Давиде (3 апреля 2020 г.). «Математическое доказательство того, что теория потрясенных чисел будет опубликована» . Природа . DOI : 10.1038 / d41586-020-00998-2 .
- ↑ Дальнейший комментарий П. Шольце в Not Even Wrong .
- ^ Бомбьери (1994) .
- ^ Elkies (1991) .
- Перейти ↑ Van Frankenhuijsen (2002) .
- Перейти ↑ Langevin (1993) .
- ^ Сильверман (1988) .
- ^ Nitaj (1996) .
- ^ Померанс (2008) .
- ^ Гранвиль и Старк (2000) .
- ↑ Гипотеза ABC , Фриц Бойкерс, ABC-DAY, Лейден, Утрехтский университет, 9 сентября 2005 г.
- ^ Моллин (2009) ; Моллин (2010 , с. 297)
- Перейти ↑ Granville (1998) .
- ^ Гранвиль, Эндрю; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231.
- ^ Pasten, Гектор (2017), "Определимость фробениусовых орбит и результат на рациональных множествах расстояния", Ежемесячник für Mathematik , 182 (1): 99-126, DOI : 10.1007 / s00605-016-0973-2 , МР 3592123
- ^ "Synthese resultaten " , RekenMeeMetABC.nl (на голландском языке), заархивировано из оригинала 22 декабря 2008 г. , получено 3 октября 2012 г..
- ^ "Данные, собранные софар" , ABC @ Home , заархивировано из оригинала 15 мая 2014 г. , получено 30 апреля 2014 г.
- ^ «100 беспроигрышных троек» . Рекен ми познакомился с ABC . 2010-11-07.
- ^ Бомбьери & Габлер (2006) , стр. 404.
- ^ «Теоремы конечности для динамических систем», Люсьен Шпиро, выступление на конференции по L-функциям и автоморфным формам (по случаю 60-летия Дориана Гольдфельда), Колумбийский университет, май 2007. См. Войт, Питер (26 мая 2007 г.), "Доказательство гипотезы abc?" , Даже не неправильно.
- ^ Болл, Питер (10 сентября 2012 г.). «Доказательство глубокой связи между простыми числами» . Природа . DOI : 10.1038 / nature.2012.11378 . Проверено 19 марта 2018 .
- ^ Мочизуки, Shinichi (май 2015). Межуниверсальная теория Тейхмюллера IV: Лог-объемные вычисления и теоретико-множественные основы , доступно по адресу http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html
- ^ «Гипотеза ABC до сих пор не доказана» . 17 декабря 2017 года . Проверено 17 марта 2018 года .
- ^ Ревелл, Тимоти (7 сентября 2017 г.). «Непонятное математическое доказательство ABC теперь имеет непонятное« резюме »на 300 страницах » . Новый ученый .
- ^ «Гипотеза ABC до сих пор не доказана, комментарий Bcnrd» . 22 декабря 2017 года . Проверено 18 марта 2017 года .
- ^ Фесенко, Иван . «Фукуген» . Заключение . Проверено 19 марта 2018 .
- ^ Конрад, Брайан (15 декабря 2015 г.). «Заметки Брайана Конрада о семинаре Oxford IUT» . Проверено 18 марта 2018 года .
- ^ Кастельвекки, Давиде (8 октября 2015 г.). «Самая большая загадка математики: Шиничи Мотидзуки и непостижимое доказательство» . Природа . 526 (7572): 178–181. Bibcode : 2015Natur.526..178C . DOI : 10.1038 / 526178a . PMID 26450038 .
- ^ Кларрайх, Эрика (20 сентября 2018 г.). «Битва титанов математики за эпическое доказательство гипотезы ABC» . Журнал Quanta .
- ^ «Март 2018 Обсуждения на IUTeich» . Проверено 2 октября 2018 года . Веб-страница Мотидзуки с описанием дискуссий и ссылками на последующие публикации и дополнительные материалы
- ^ Шольце, Питер ; Стикс, Якоб . «Почему abc до сих пор остается домыслом» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 8 февраля 2020 года . Проверено 23 сентября 2018 года .(обновленная версия их майского отчета )
- ^ Мотидзуки, Шиничи . «Отчет о дискуссиях, состоявшихся в период с 15 по 20 марта 2018 г., относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Проверено 1 февраля 2019 года .
… обсуждения… представляют собой первые подробные,… предметные обсуждения негативных позиций… IUTch.
- ^ Мотидзуки, Шиничи . «Комментарии к рукописи Шольце-Стикса, касающейся Межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Проверено 2 октября 2018 года .
- ^ Мотидзуки, Шиничи . «Комментарии к рукописи (версия 2018-08) Scholze-Stix относительно межуниверсальной теории Тейхмюллера» (PDF) . Проверено 2 октября 2018 года .
Источники
- Бейкер, Алан (1998). «Логарифмические формы и abc -гипотеза». В Дьери, Кальман (ред.). Теория чисел. Диофантовы, вычислительные и алгебраические аспекты. Труды международной конференции, Эгер, Венгрия, 29 июля-2 августа 1996 года . Берлин: де Грюйтер. С. 37–44. ISBN 3-11-015364-5. Zbl 0973.11047 .
- Бейкер, Алан (2004). "Эксперименты по abc- гипотезе". Publ. Математика. Дебрецен . 65 : 253–260.
- Бомбьери, Энрико (1994). «Теорема Рота и abc-гипотеза». Препринт . ETH Zürich.
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Браукин, Ежи ; Бжезинский, Юлиуш (1994). «Несколько замечаний по поводу abc -гипотезы». Математика. Комп . 62 (206): 931–939. Bibcode : 1994MaCom..62..931B . DOI : 10.2307 / 2153551 . JSTOR 2153551 .
- Браукин, Ежи (2000). "The ABC -гипотеза". In Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (ред.). Теория чисел . Тенденции в математике. Базель: Биркхойзер. стр. 75 -106. ISBN 3-7643-6259-6.
- Домбровски, Анджей (1996). «О диофантовом уравнении x ! + A = y 2 ». Nieuw Archief voor Wiskunde, IV . 14 : 321–324. Zbl 0876.11015 .
- Элкис, Н.Д. (1991). «Азбука подразумевает Морделла». Уведомления о международных математических исследованиях . 1991 (7): 99–109. DOI : 10.1155 / S1073792891000144 .
- Фрей, Герхард (1997). «О тернарных уравнениях типа Ферма и связях с эллиптическими кривыми» . Модулярные формы и Последняя теорема Ферма . Нью-Йорк: Спрингер. С. 527–548. ISBN 0-387-94609-8.
- Гольдфельд, Дориан (1996). «За пределами последней теоремы». Математические горизонты . 4 (сентябрь): 26–34. DOI : 10.1080 / 10724117.1996.11974985 . JSTOR 25678079 .
- Гольдфельд, Дориан (2002). «Модульные формы, эллиптические кривые и abc-гипотеза». В Wüstholz, Gisbert (ред.). Панорама по теории чисел или Вид из сада Бейкера. Основываясь на конференции в честь 60 - летия Алана Бейкера, Цюрих, Швейцария, 1999 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 128–147. ISBN 0-521-80799-9. Zbl 1046.11035 .
- Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре, ред. (2008). Принстонский компаньон по математике . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 361 -362, 681. ISBN 978-0-691-11880-2.
- Гранвилл, А. (1998). «Азбука позволяет нам считать без квадрата» (PDF) . Уведомления о международных математических исследованиях . 1998 (19): 991–1009. DOI : 10.1155 / S1073792898000592 .
- Гранвиль, Эндрю ; Старк, Х. (2000). «ABC не подразумевает« нулей Зигеля »для L-функций символов с отрицательной экспонентой» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 139 : 509–523. Bibcode : 2000InMat.139..509G . DOI : 10.1007 / s002229900036 .
- Гранвиль, Эндрю ; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231.
- Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7.
- Ландо, Сергей К .; Звонкин, Александр К. (2004). «Графы на поверхностях и их приложения». Энциклопедия математических наук: низкоразмерная топология II . 141 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-00203-0.
- Ланжевен, М. (1993). "Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc ". Comptes rendus de l'Académie des Sciences (на французском языке). 317 (5): 441–444.
- Массер, DW (1985). «Открытые проблемы». В Чен, WWL (ред.). Материалы симпозиума по аналитической теории чисел . Лондон: Имперский колледж.
- Моллин, Р.А. (2009). «Заметка об ABC-гипотезе» (PDF) . Дальний Восток J. Math. Sci . 33 (3): 267–275. ISSN 0972-0871 . Zbl 1241.11034 . Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 14 июня 2013 .
- Моллин, Ричард А. (2010). Продвинутая теория чисел с приложениями . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1-4200-8328-6. Zbl 1200.11002 .
- Нитадж, Абдеррахман (1996). «Гипотеза abc ». Enseign. Математика. (На французском). 42 (1-2): 3-24.
- Эстерле, Жозеф (1988), "Nouvelles приближается к теории" Ферма " , Astérisque , Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186, ISSN 0303-1179 , MR 0992208
- Померанс, Карл (2008). «Вычислительная теория чисел». Принстонский компаньон по математике . Издательство Принстонского университета. С. 361–362.
- Сильверман, Джозеф Х. (1988). «Критерий Вифериха и abc- гипотеза». Журнал теории чисел . 30 (2): 226–237. DOI : 10.1016 / 0022-314X (88) 90019-4 . Zbl 0654.10019 .
- Роберт, Оливье; Стюарт, Кэмерон Л .; Тененбаум, Джеральд (2014). «Уточнение гипотезы abc» (PDF) . Бюллетень Лондонского математического общества . 46 (6): 1156–1166. DOI : 10.1112 / БЛМ / bdu069 .
- Роберт, Оливье; Тененбаум, Джеральд (2013). "Sur la répartition du noyau d'un entier" . Indag. Математика . 24 (4): 802–914. DOI : 10.1016 / j.indag.2013.07.007 .
- Стюарт, К.Л . ; Тийдеман, Р. (1986). «О гипотезе Эстерле-Массера». Monatshefte für Mathematik . 102 (3): 251–257. DOI : 10.1007 / BF01294603 .
- Стюарт, К.Л . ; Ю, Кунруи (1991). "О гипотезе abc ". Mathematische Annalen . 291 (1): 225–230. DOI : 10.1007 / BF01445201 .
- Стюарт, К.Л . ; Ю, Кунруи (2001). «О гипотезе abc , II». Математический журнал герцога . 108 (1): 169–181. DOI : 10.1215 / S0012-7094-01-10815-6 .
- Ван Франкенхейсен, Machiel (2002). «Гипотеза ABC влечет неравенство высоты Войты для кривых». J. Теория чисел . 95 (2): 289–302. DOI : 10,1006 / jnth.2001.2769 . MR 1924103 .
Внешние ссылки
- ABC @ home Проект распределенных вычислений под названием ABC @ Home .
- Easy as ABC : Простое и подробное объяснение Брайана Хейса.
- Вайсштейн, Эрик В. "abc Гипотеза" . MathWorld .
- Домашняя страница гипотезы ABC Абдеррахмана Нитая
- Веб-страница ABC Triples Барта де Смита
- http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
- Азбука теории чисел по Ноам Д. Elkies
- Вопросы о номере от Барри Мазура
- Философия работы Мотидзуки над гипотезой ABC о MathOverflow
- Вики-страница проекта ABC Conjecture Polymath со ссылками на различные источники комментариев к статьям Мотидзуки.
- abc Гипотеза Numberphile видео
- Новости о IUT от Mochizuki