Мощность переменного тока

На этой длинной выдержке с размытым движением видно мерцание не накалившихся городских огней. Характер переменного тока в сети раскрывается пунктирной линией следов движущихся огней.

Мгновенная мощность в электрической цепи - это скорость потока энергии через заданную точку цепи. Вцепях переменного тока элементы накопления энергии, такие как катушки индуктивности и конденсаторы, могут приводить к периодическому изменению направления потока энергии на обратное.

Часть мощности, усредненная по полному циклу формы сигнала переменного тока , приводит к чистой передаче энергии в одном направлении, известна как активная мощность (чаще называемая реальной мощностью, чтобы избежать двусмысленности, особенно при обсуждении нагрузок с несинусоидальными токами) . Часть мощности за счет накопленной энергии, которая возвращается к источнику в каждом цикле, называется мгновенной реактивной мощностью , а ее амплитуда - это абсолютное значение реактивной мощности.

Активная, реактивная и полная мощность [ править ]

В простой цепи переменного тока, состоящей из источника и линейной нагрузки, и ток, и напряжение синусоидальны . Если нагрузка чисто резистивная , две величины меняют полярность одновременно. В любой момент произведение напряжения и тока положительно или равно нулю, в результате чего направление потока энергии не меняется. В этом случае передается только активная мощность.

Если нагрузка чисто реактивная, тогда напряжение и ток сдвинуты по фазе на 90 градусов. Для двух четвертей каждого цикла произведение напряжения и тока положительное, но для двух других кварталов произведение отрицательное, что указывает на то, что в среднем в нагрузку поступает ровно столько энергии, сколько возвращается обратно. В каждом полупериоде нет чистого потока энергии. В этом случае идет только реактивная мощность: нет чистой передачи энергии нагрузке; однако электрическая энергия течет по проводам и возвращается в обратном направлении по тем же самым проводам. Ток, необходимый для этого потока реактивной мощности, рассеивает энергию в сопротивлении линии, даже если идеальное нагрузочное устройство само не потребляет энергии. Практические нагрузки имеют сопротивление, а также индуктивность или емкость, поэтому как активная, так и реактивная мощность передаются на нормальные нагрузки.

Полная мощность - это произведение среднеквадратичных значений напряжения и тока. Полная мощность принимается во внимание при проектировании и эксплуатации энергосистем, потому что, хотя ток, связанный с реактивной мощностью, не действует на нагрузку, он все равно должен подаваться источником питания. Проводники, трансформаторы и генераторы должны иметь такой размер, чтобы выдерживать полный ток, а не только ток, который выполняет полезную работу. Отсутствие обеспечения достаточной реактивной мощности в электрических сетях может привести к снижению уровней напряжения и, при определенных условиях эксплуатации, к полному обрушению сети или отключению электроэнергии.. Другим следствием является то, что сложение полной мощности для двух нагрузок не даст точной полной мощности, если у них нет одинаковой разности фаз между током и напряжением (одинаковый коэффициент мощности ).

Обычно конденсаторы рассматриваются как генерирующие реактивную мощность, а катушки индуктивности - как если бы они ее потребляли. Если конденсатор и катушка индуктивности размещены параллельно, то токи, протекающие через конденсатор и катушку индуктивности, имеют тенденцию отменяться, а не складываться. Это основной механизм управления коэффициентом мощности при передаче электроэнергии; конденсаторы (или катушки индуктивности) вставляются в цепь для частичной компенсации реактивной мощности, «потребляемой» («генерируемой») нагрузкой. Чисто емкостные цепи обеспечивают реактивную мощность, при этом форма волны тока опережает форму волны напряжения на 90 градусов, в то время как чисто индуктивные цепи поглощают реактивную мощность, причем форма волны тока отстает от формы волны напряжения на 90 градусов.Результатом этого является то, что емкостные и индуктивные элементы схемы имеют тенденцию компенсировать друг друга.^[1]

Треугольник
мощности Комплексная мощность - это векторная сумма активной и реактивной мощности. Полная мощность - это величина комплексной мощности.
  Активная мощность , P
  Реактивная мощность , Q
  Комплексная мощность , S
  Полная мощность , | S |
  Фаза напряжения относительно тока ,

{\ displaystyle \ varphi}

Инженеры используют следующие термины для описания потока энергии в системе (и назначают каждому из них разные единицы, чтобы различать их):

Активная мощность , ^[2] Р , или действительная мощность : ^[3] Вт (Вт);
Реактивная мощность , Q : вольт-амперная реактивная (вар);
Мощность комплекса , S : вольт-ампер (ВА);
Полная мощность , | S |: величина комплексной мощности S : вольт-ампер (ВА);
Фаза напряжения относительно тока , φ : угол разницы (в градусах) между током и напряжением; . Напряжение запаздывания по току ( вектор квадранта I), напряжение опережения тока (вектор квадранта IV). ${\ Displaystyle \ varphi = \ arg (V) - \ arg (I)}$

Все они обозначены на соседней диаграмме (называемой степенным треугольником).

На диаграмме P - активная мощность, Q - реактивная мощность (в данном случае положительная), S - комплексная мощность, а длина S - полная мощность. Реактивная мощность не работает, поэтому она представлена как мнимая ось векторной диаграммы. Активная мощность действительно работает, так что это настоящая ось.

Единицей измерения мощности является ватт (обозначение: Вт). Полная мощность часто выражается в вольт-амперах (ВА), поскольку она является произведением среднеквадратичного напряжения и действующего тока . Единица измерения реактивной мощности - вар, что означает реактивная вольт-амперная мощность . Поскольку реактивная мощность не передает полезную энергию нагрузке, ее иногда называют мощностью без мощности. Тем не менее, он выполняет важную функцию в электрических сетях, и его отсутствие было указано как важный фактор в Северо-восточном обесточивании в 2003 году . ^[4]Понимание взаимосвязи между этими тремя величинами лежит в основе понимания энергетики. Математические отношения между ними могут быть представлены векторами или выражены с помощью комплексных чисел, S = P + j Q (где j - мнимая единица ).

Расчеты и уравнения [ править ]

Формула комплексной мощности (единицы: ВА) в векторной форме:

{\ Displaystyle S = VI ^ {*} = | S | \ angle \ varphi}

,

где V обозначает напряжение в векторной форме со среднеквадратичной амплитудой , а I обозначает ток в векторной форме со среднеквадратичной амплитудой. Кроме того, по соглашению, комплексно сопряженное из I используется, который обозначается (или ), а не I сам по себе. Это сделано потому, что в противном случае использование продукта VI для определения S приведет к количеству, которое зависит от исходного угла, выбранного для V или I, но определение S как VI * приводит к количеству, которое не зависит от исходного угла и позволяет связать S с P и Q. ^[5] ${\ displaystyle I ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ overline {I}}}$

Другие формы комплексной мощности (единицы в вольт-амперах, ВА) выводятся из Z , импеданса нагрузки (единицы в омах, Ом).

{\ Displaystyle S = | I | ^ {2} Z = {\ frac {| V | ^ {2}} {Z ^ {*}}}}

.

Следовательно, со ссылкой на треугольник мощности, реальная мощность (единицы измерения в ваттах, Вт) определяется как:

P=|S|\cos {\varphi }=|I|^{2}R={\frac {|V|^{2}}{|Z|^{2}}}\times {R}

.

Для чисто резистивной нагрузки реальную мощность можно упростить до:

P={\frac {|V|^{2}}{R}}

.

R обозначает сопротивление (единицы в Ом, Ом) нагрузки.

Реактивная мощность (единицы в вольт-амперах, реактивная мощность) рассчитывается как:

Q=|S|\sin {\varphi }=|I|^{2}X={\frac {|V|^{2}}{|Z|^{2}}}\times {X}

.

Для чисто реактивной нагрузки реактивная мощность может быть упрощена до:

Q={\frac {|V|^{2}}{X}}

,

где X обозначает реактивное сопротивление (единицы в Ом, Ом) нагрузки.

Комбинирование, комплексная мощность (единицы в вольт-амперах, ВА) вычисляется обратно как

S=P+jQ

,

и полная мощность (единицы в вольт-амперах, ВА) как

|S|={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}

.

Они схематично упрощены треугольником мощности.

Коэффициент мощности [ править ]

Отношение активной мощности к полной мощности в цепи называется коэффициентом мощности . Для двух систем, передающих одинаковое количество активной мощности, система с более низким коэффициентом мощности будет иметь более высокие циркулирующие токи из-за энергии, которая возвращается к источнику из накопителя энергии в нагрузке. Эти более высокие токи вызывают более высокие потери и снижают общую эффективность передачи. Схема с более низким коэффициентом мощности будет иметь более высокую полную мощность и более высокие потери при том же количестве активной мощности. Коэффициент мощности равен 1,0, когда напряжение и ток совпадают по фазе.. Он равен нулю, когда ток опережает или отстает от напряжения на 90 градусов. Когда напряжение и ток сдвинуты по фазе на 180 градусов, коэффициент мощности отрицательный, и нагрузка подает энергию в источник (примером может быть дом с солнечными батареями на крыше, которые подают энергию в электросеть, когда солнце светит). Коэффициенты мощности обычно указываются как «опережающие» или «запаздывающие», чтобы показать знак сдвига фаз тока по отношению к напряжению. Напряжение обозначается как база, с которой сравнивается угол тока, что означает, что ток рассматривается как «опережающее» или «запаздывающее» напряжение. Если форма волны чисто синусоидальная, коэффициент мощности - это косинус фазового угла ( $\varphi$ ) между синусоидальными сигналами тока и напряжения. По этой причине в технических паспортах оборудования и паспортных табличках коэффициент мощности часто сокращается до " ". $\cos \phi$

Пример: активная мощность составляет 700 Вт, а фазовый угол между напряжением и током составляет 45,6 °. Коэффициент мощности cos (45,6 °) = 0,700 . Полная мощность будет: 700 Вт / cos (45,6 °) = 1000 ВА . Концепция рассеивания мощности в цепи переменного тока поясняется и проиллюстрирована на примере.

Например, коэффициент мощности 0,68 означает, что только 68 процентов от общего подаваемого тока (по величине) фактически выполняет работу; остальные 32% не работают. Обычно коммунальные предприятия не взимают с потребителей плату за потери реактивной мощности, поскольку они не выполняют реальной работы для потребителя. Однако, если на источнике нагрузки потребителя наблюдается неэффективность, из-за которой коэффициент мощности падает ниже определенного уровня, коммунальные предприятия могут взимать с потребителей плату, чтобы покрыть увеличение использования топлива их электростанциями и их худшую линейную и производственную мощность.

Реактивная мощность [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Октябрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В цепи постоянного тока мощность, протекающая к нагрузке, пропорциональна произведению тока через нагрузку и падения потенциала на нагрузке. Энергия течет в одном направлении от источника к нагрузке. В сети переменного тока напряжение и ток изменяются примерно синусоидально. Когда в цепи присутствует индуктивность или емкость, формы сигналов напряжения и тока не совпадают идеально. Поток мощности состоит из двух компонентов: один компонент течет от источника к нагрузке и может выполнять работу с нагрузкой; другая часть, известная как «реактивная мощность», возникает из-за задержки между напряжением и током, известной как фазовый угол, и не может выполнять полезную работу с нагрузкой. Его можно рассматривать как ток, который приходит не в то время (слишком поздно или слишком рано). Чтобы отличить реактивную мощность от активной,он измеряется в единицах ""вольт-амперы, реактивные ", или var. Эти единицы можно упростить до ватт, но они оставлены как var, чтобы обозначить, что они не представляют фактической выходной мощности.

Энергия, накопленная в емкостных или индуктивных элементах сети, вызывает поток реактивной мощности. Поток реактивной мощности сильно влияет на уровни напряжения в сети. Уровни напряжения и поток реактивной мощности необходимо тщательно контролировать, чтобы энергосистема могла работать в допустимых пределах. Метод известен как реактивная компенсация.используется для уменьшения кажущегося потока мощности к нагрузке за счет уменьшения реактивной мощности, подаваемой от линий электропередачи, и обеспечения ее локально. Например, чтобы компенсировать индуктивную нагрузку, рядом с самой нагрузкой устанавливают шунтирующий конденсатор. Это позволяет передавать всю реактивную мощность, необходимую нагрузке, через конденсатор и не передавать ее по линиям передачи. Такая практика позволяет экономить энергию, так как снижает количество энергии, которое необходимо произвести коммунальному предприятию для выполнения того же объема работы. Кроме того, это позволяет создавать более эффективные конструкции линий передачи с использованием проводов меньшего диаметра или меньшего количества пучков проводов и оптимизации конструкции опор передачи.

Емкостные и индуктивные нагрузки [ править ]

Накопленная энергия в магнитном или электрическом поле нагрузочного устройства, такого как двигатель или конденсатор, вызывает смещение между формами колебаний тока и напряжения. Конденсатор - это устройство переменного тока, которое хранит энергию в виде электрического поля. Когда через конденсатор пропускается ток, накопление заряда вызывает появление на конденсаторе противоположного напряжения. Это напряжение увеличивается до некоторого максимума, определяемого конструкцией конденсатора. В сети переменного тока напряжение на конденсаторе постоянно меняется. Конденсатор препятствует этому изменению, заставляя ток опережать напряжение по фазе. Говорят, что конденсаторы являются «источником» реактивной мощности и, таким образом, определяют ведущий коэффициент мощности.

Индукционные машины сегодня являются одними из наиболее распространенных типов нагрузки в электроэнергетической системе. В этих машинах используются индукторы или большие катушки проволоки для хранения энергии в виде магнитного поля. Когда напряжение изначально подается на катушку, индуктор сильно сопротивляется этому изменению тока и магнитного поля, что вызывает задержку по времени для достижения максимального значения тока. Это приводит к отставанию тока от напряжения по фазе. Считается, что индукторы «поглощают» реактивную мощность и, таким образом, вызывают запаздывающий коэффициент мощности. Индукционные генераторы могут генерировать или потреблять реактивную мощность и обеспечивать операторам системы меры контроля над потоком реактивной мощности и, следовательно, напряжением. ^[6]Поскольку эти устройства оказывают противоположное влияние на фазовый угол между напряжением и током, их можно использовать для «компенсации» эффектов друг друга. Обычно это принимает форму конденсаторных батарей, используемых для противодействия отставанию коэффициента мощности, вызванному асинхронными двигателями.

Контроль реактивной мощности [ править ]

Генераторы, подключенные к передаче, обычно требуются для поддержки потока реактивной мощности. Например, в системе передачи Соединенного Королевства от генераторов в соответствии с требованиями сетевого кодекса требуется обеспечивать номинальную мощность в пределах от отставания коэффициента мощности 0,85 до опережающего коэффициента мощности 0,90 на назначенных терминалах. Системный оператор будет выполнять коммутационные действия для поддержания безопасного и экономичного профиля напряжения, сохраняя при этом уравнение баланса реактивной мощности:

\mathrm {Generator\ MVARs+System\ gain+Shunt\ capacitors=MVAR\ Demand+Reactive\ losses+Shunt\ reactors}

« Системный коэффициент усиления » является важным источником реактивной мощности в приведенном выше уравнении баланса мощности, который создается емкостной природой самой сети передачи. Выполнив решительные действия по переключению рано утром, до того, как спрос возрастет, выигрыш в системе может быть максимизирован на раннем этапе, помогая защитить систему в течение всего дня. Чтобы сбалансировать уравнение, потребуется использование реактивного генератора до отказа. Другие источники реактивной мощности, которые также будут использоваться, включают шунтирующие конденсаторы, шунтирующие реакторы, статические компенсаторы VAR и схемы управления напряжением.

Несбалансированные многофазные системы [ править ]

В то время как активная мощность и реактивная мощность четко определены в любой системе, определение полной мощности для несбалансированных многофазных систем считается одной из самых спорных тем в энергетике. Первоначально кажущаяся мощность возникла просто как показатель качества. Основные очертания концепции приписываются Стэнли « Явлениям замедления в индукционной катушке» (1888 г.) и « Теоретическим элементам техники» Стейнмеца (1915 г.). Однако с развитием трехфазного распределения мощности стало ясно, что определение полной мощности и коэффициента мощности нельзя применять к несбалансированным многофазным системам.. В 1920 году «специальный объединенный комитет AIEE и Национальной ассоциации электрического освещения» собрался, чтобы решить эту проблему. Они рассмотрели два определения.

S_{A}=|S_{\mathrm {a} }|+|S_{\mathrm {b} }|+|S_{\mathrm {c} }|

\mathrm {pf} _{A}={P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} } \over S_{A}}

,

то есть арифметическая сумма полных фазных мощностей; и

S_{V}=|P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} }+j(Q_{\mathrm {a} }+Q_{\mathrm {b} }+Q_{\mathrm {c} })|

\mathrm {pf} _{V}={P_{\mathrm {a} }+P_{\mathrm {b} }+P_{\mathrm {c} } \over S_{V}}

,

то есть величина общей трехфазной комплексной мощности.

Комитет 1920 года не нашел консенсуса, и эта тема продолжала доминировать в дискуссиях. В 1930 году сформировался другой комитет, который снова не смог решить вопрос. Стенограммы их дискуссий - самые длинные и противоречивые из всех, когда-либо опубликованных AIEE. ^[7] Дальнейшее урегулирование этих дебатов произошло только в конце 1990-х годов.

Новое определение, основанное на теории симметричных компонентов, было предложено в 1993 году Александром Эмануэлем для несимметричной линейной нагрузки, питаемой асимметричными синусоидальными напряжениями:

S={\sqrt {\left(|V_{\mathrm {a} }^{2}|+|V_{\mathrm {b} }^{2}|+|V_{\mathrm {c} }^{2}|\right)\left(|I_{\mathrm {a} }^{2}|+|I_{\mathrm {b} }^{2}|+|I_{\mathrm {c} }^{2}|\right)}}

\mathrm {pf} ={P^{+} \over S}

,

то есть корень из квадратов сумм линейных напряжений, умноженный на корень из квадратов сумм линейных токов. обозначает мощность прямой последовательности: $P^{+}$

P^{+}=3|V^{+}||I^{+}|\cos {(\arg {(V^{+})}-\arg {(I^{+})})}

$V^{+}$ обозначает вектор напряжения прямой последовательности и обозначает вектор тока прямой последовательности. ^[7] $I^{+}$

Формулы действительных чисел [ править ]

Идеальный резистор не накапливает энергии; поэтому ток и напряжение совпадают по фазе. Следовательно, нет реактивной мощности и (используя соглашение о пассивном знаке ). Поэтому для идеального резистора $P=S$

P=S=V_{\mathrm {RMS} }I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {RMS} }^{2}R={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{R}}\,\!

.

Для идеального конденсатора или катушки индуктивности нет передачи полезной мощности; так что вся мощность реактивная. Следовательно, для идеального конденсатора или индуктора:

{\begin{aligned}P&=0\\Q&=|S|=V_{\mathrm {RMS} }I_{\mathrm {RMS} }=I_{\mathrm {RMS} }^{2}|X|={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{|X|}}\end{aligned}}

.

где - реактивное сопротивление конденсатора или катушки индуктивности. $X$

Если определяется как положительный для индуктора и отрицательный для конденсатора, тогда знаки модуля могут быть удалены из S и X и получить $X$

Q=I_{\mathrm {RMS} }^{2}X={\frac {V_{\mathrm {RMS} }^{2}}{X}}

.

Мгновенная мощность определяется как:

P_{\text{inst}}(t)=V(t)\cdot I(t)

,

где и - изменяющиеся во времени формы сигналов напряжения и тока. $V(t)$ $I(t)$

Это определение полезно, потому что оно применимо ко всем сигналам, независимо от того, являются они синусоидальными или нет. Это особенно полезно в силовой электронике, где распространены несинусоидальные сигналы.

В общем, инженеров интересует активная мощность, усредненная за период времени, будь то цикл низкочастотной линии или период переключения высокочастотного преобразователя мощности. Самый простой способ получить этот результат - взять интеграл мгновенного расчета за желаемый период:

P_{\text{avg}}={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}V(t)I(t)\,\operatorname {d} t

.

Этот метод расчета средней мощности дает активную мощность независимо от содержания гармоник в форме волны. В практических приложениях это будет выполняться в цифровой области, где расчет становится тривиальным по сравнению с использованием среднеквадратичных значений и фазы для определения активной мощности:

P_{\text{avg}}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}V[k]I[k]

.

Многочастотные системы [ править ]

Поскольку среднеквадратичное значение можно рассчитать для любой формы сигнала, на его основе можно рассчитать полную мощность. Для активной мощности сначала может показаться, что необходимо рассчитать многие параметры продукта и усреднить их все. Однако более подробное рассмотрение одного из этих продуктовых терминов дает очень интересный результат.

{\begin{aligned}&A\cos(\omega _{1}t+k_{1})\cos(\omega _{2}t+k_{2})\\={}&{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}t+k_{1}\right)+\left(\omega _{2}t+k_{2}\right)\right]+{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}t+k_{1}\right)-\left(\omega _{2}t+k_{2}\right)\right]\\={}&{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}+\omega _{2}\right)t+k_{1}+k_{2}\right]+{\frac {A}{2}}\cos \left[\left(\omega _{1}-\omega _{2}\right)t+k_{1}-k_{2}\right]\end{aligned}}

Однако среднее по времени функции вида cos ( ωt + k ) равно нулю при условии, что ω не равно нулю. Следовательно, единственные термины продукта, которые имеют ненулевое среднее значение, - это те, в которых частота напряжения и тока совпадает. Другими словами, можно рассчитать активную (среднюю) мощность, просто рассматривая каждую частоту отдельно и складывая ответы. Кроме того, если предполагается, что напряжение источника питания является одночастотным (что обычно так и есть), это показывает, что гармонические токиэто плохо. Они увеличивают среднеквадратичный ток (поскольку будут добавлены ненулевые члены) и, следовательно, полную мощность, но они не будут влиять на передаваемую активную мощность. Следовательно, гармонические токи уменьшают коэффициент мощности. Гармонические токи можно уменьшить с помощью фильтра, установленного на входе устройства. Обычно это будет либо просто конденсатор (в зависимости от паразитного сопротивления и индуктивности источника питания), либо цепь конденсатор-индуктор. Схема активной коррекции коэффициента мощности на входе обычно дополнительно снижает токи гармоник и поддерживает коэффициент мощности ближе к единице.

См. Также [ править ]

Война течений
Передача электроэнергии
Трансформатор
Сети электроэнергии
Деформированная сила

Ссылки [ править ]

^ «Важность реактивной мощности для системы» . 21 марта 2011. Архивировано 12 мая 2015 года . Проверено 29 апреля 2015 .
^ Определение активной мощности в Международном электротехническом словаре Архивированного 23 апреля 2015 года, в Wayback Machine
^ IEEE 100: авторитетный словарь терминов стандартов IEEE.-7-е изд. ISBN 0-7381-2601-2 , стр. 23
^ "Отключение 14 августа 2003 г. - Последовательность событий" (PDF) . FERC . 2003-09-12. Архивировано из оригинального (PDF) 20 октября 2007 года . Проверено 18 февраля 2008 .
^ Клоуз, Чарльз М. Анализ линейных цепей . С. 398 (раздел 8.3).
^ "Архивная копия" . Архивировано из оригинала на 2015-10-25 . Проверено 29 апреля 2015 .CS1 maint: archived copy as title (link)
^ a b Эмануэль, Александр (июль 1993 г.). «Об определении коэффициента мощности и полной мощности в несимметричных многофазных цепях с синусоидальными напряжением и токами». IEEE Transactions on Power Delivery . 8 (3): 841–852. DOI : 10.1109 / 61.252612 .

Внешние ссылки [ править ]

"Java-апплет переменного тока"

[1] «Важность реактивной мощности для системы» . 21 марта 2011. Архивировано 12 мая 2015 года . Проверено 29 апреля 2015 .

[2] Определение активной мощности в Международном электротехническом словаре Архивированного 23 апреля 2015 года, в Wayback Machine

[3] IEEE 100: авторитетный словарь терминов стандартов IEEE.-7-е изд. ISBN 0-7381-2601-2 , стр. 23

[4] "Отключение 14 августа 2003 г. - Последовательность событий" (PDF) . FERC . 2003-09-12. Архивировано из оригинального (PDF) 20 октября 2007 года . Проверено 18 февраля 2008 .

[5] Клоуз, Чарльз М. Анализ линейных цепей . С. 398 (раздел 8.3).

[6] "Архивная копия" . Архивировано из оригинала на 2015-10-25 . Проверено 29 апреля 2015 .CS1 maint: archived copy as title (link)

[Emanuel_1993-7] Эмануэль, Александр (июль 1993 г.). «Об определении коэффициента мощности и полной мощности в несимметричных многофазных цепях с синусоидальными напряжением и токами». IEEE Transactions on Power Delivery . 8 (3): 841–852. DOI : 10.1109 / 61.252612 .

[1]