Инвариантная теория

---

Теория инвариантов — это раздел абстрактной алгебры , изучающий действия групп на алгебраических многообразиях , таких как векторные пространства, с точки зрения их влияния на функции. Классически теория занималась вопросом явного описания полиномиальных функций , не меняющихся или инвариантных при преобразованиях из заданной линейной группы . Например, если мы рассмотрим действие специальной линейной группы SL _n на пространстве n на n матриц умножением слева, то определитель является инвариантом этого действия, потому что определитель AX равен определителю X , когда A находится в SL _n .

Позвольте быть группой и конечномерным векторным пространством по полю (который в классической теории инварианта обычно предполагался, чтобы быть комплексными числами ). Представление в является групповым гомоморфизмом , который индуцирует групповое действие на . Если пространство полиномиальных функций на , то групповое действие на производит действие на по следующей формуле: ${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle В}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[V]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[V]}$

При этом действии естественно рассматривать подпространство всех полиномиальных функций, инвариантных относительно этого группового действия, другими словами множество полиномов таких, что для всех . Это пространство инвариантных многочленов обозначается .${\displaystyle g\cdot f=f}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle k[V]^{G}}$

Первая проблема теории инвариантов : ^[1] Является ли конечно порожденная алгебра над ?${\displaystyle k[V]^{G}}$${\displaystyle k}$

---