Число Ахилла

Демонстрация с помощью стержней Cuisenaire силы числа 72

Номер Ахиллес это число , которое является мощным , но не идеальными мощностями . ^[1] Положительное целое число п является сильным числом , если для каждого простого множителя р о п , р ² является также делителем . Другими словами, каждый простой множитель появляется при факторизации как минимум в квадрате. Все числа Ахилла сильны. Однако не все сильные числа являются числами Ахилла: только те, которые не могут быть представлены как m ^k , где m и k - положительные целые числа больше 1.

Числа Ахилла были названы Генри Боттомли в честь Ахилла , героя Троянской войны , который также был могущественным, но несовершенным. Сильные числа Ахилла - это числа Ахилла, тотиенты Эйлера которых также являются числами Ахилла. ^[2]

Последовательность чисел Ахилла [ править ]

Число n = p ₁ ^{a ₁} p ₂ ^{a ₂} … p _k ^{a _k} является сильным, если min ( a ₁ , a ₂ ,…, a _k ) ≥ 2 . Если вдобавок gcd ( a ₁ , a ₂ ,…, a _k ) = 1, то это число является числом Ахилла.

Числа Ахилла до 5000:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (последовательность A052486 в OEIS ).

Наименьшая пара последовательных чисел Ахилла: ^[3]

5425069447 = 7 ³ × 41 ² × 97 ²

5425069448 = 2 ³ × 26041 ²

Примеры [ править ]

108 - сильное число. Его разложение на простые множители равно 2 ²  · 3 ³ , и, следовательно, его простые множители равны 2 и 3. Оба 2 ² = 4 и 3 ² = 9 являются делителями 108. Однако 108 не может быть представлено как m ^k , где m и k равны положительные целые числа больше 1, поэтому 108 - число Ахилла.

360 - это не число Ахилла, потому что оно не имеет силы. Один из его простых делителей равен 5, но 360 не делится на 5 ² = 25.

Наконец, 784 не является числом Ахилла. Это мощное число, потому что не только 2 и 7 являются его единственными простыми делителями , но также 2 ² = 4 и 7 ² = 49 являются его делителями. Тем не менее, это идеальная сила:

${\displaystyle 784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}=28^{2}.\,}$

Значит, это не число Ахилла.

500 = 2 ² × 5 ³ - сильное число Ахилла, так как его значение Эйлера 200 = 2 ³ × 5 ² также является числом Ахилла.

Ссылки [ править ]