Ацилиндрически гиперболическая группа

В математической теме геометрической теории групп , acylindrically гиперболической группой является группа , допускающая неэлементарную «acylindrical» изометрическое действие на некоторой геодезической гиперболической метрики пространства . ^[1] Это понятие обобщает понятия гиперболической группы и относительно гиперболической группы и включает значительно более широкий класс примеров, таких как группы классов отображений и Out ( F _n ) .

Формальное определение [ править ]

Ацилиндрическое действие [ править ]

Пусть G группа с изометрическим действием на некоторой геодезической гиперболической метрики пространства X . Это действие называется ацилиндрическим ^[1], если для каждого существует такое, что для каждого с одним ${\ Displaystyle R \ geq 0}$ ${\ displaystyle N> 0, L> 0}$ ${\ displaystyle x, y \ in X}$ ${\ Displaystyle д (х, у) \ geq L}$

{\ displaystyle \ # \ {g \ in G \ mid d (x, gx) \ leq R, d (y, gy) \ leq R) \} \ leq N.}

Если указанное свойство выполняется для конкретных , действие G на X называется R - acylindrical . Понятие ацилиндричности обеспечивает подходящую замену правильному действию в более общем контексте, где разрешены неправильные действия. ${\ Displaystyle R \ geq 0}$

Ацилиндрическое изометрическое действие группы G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X является неэлементарным, если G допускает две независимые гиперболические изометрии X , то есть два локсодромных элемента, такие что их неподвижные точки множества и не пересекаются. ${\ displaystyle g, h \ in G}$ ${\ Displaystyle \ {г ^ {+}, г ^ {-} \} \ substeq \ partial X}$ ${\ Displaystyle \ {ч ^ {+}, ч ^ {-} \} \ substeq \ partial X}$

Известно (теорема 1.1 в ^[1] ), что ацилиндрическое действие группы G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X неэлементарно тогда и только тогда, когда это действие имеет неограниченные орбиты в X и группа G не является конечным расширением циклической группы , порожденной локсодромических изометрии X .

Ацилиндрически гиперболическая группа [ править ]

Группа G называется acylindrically гиперболической , если G допускает неэлементарную acylindrical изометрического действия на некоторой геодезической гиперболической метрике пространства X .

Эквивалентные характеристики [ править ]

Известно (теорема 1.2 в ^[1] ), что для группы G следующие условия эквивалентны:

Группа G ацилиндрически гиперболическая.
Существует (возможно, бесконечное) порождающее множество S для G , такое, что граф Кэли является гиперболическим, а действие естественного сдвига G на является неэлементарным ацилиндрическим действием. ${\ Displaystyle \ Gamma (G, S)}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (G, S)}$
Группа G не является практически циклической , и существует изометрическое действие G на геодезическом гиперболическом метрическом пространстве X такое, что хотя бы один элемент G действует на X со свойством WPD («Слабо собственно разрывная»).
Группа G содержит собственную бесконечную «гиперболически вложенную» подгруппу . ^[2]

История [ править ]

Свойства [ править ]

Каждая acylindrically гиперболической группы G является SQ-универсальный , то есть, каждая счетной группа вкладывается в качестве подгруппы в некоторой фактор - группе из G .
Класс ацилиндрически гиперболических групп замкнут относительно взятия бесконечных нормальных подгрупп и, в более общем смысле, взятия «s-нормальных» подгрупп. ^[1] Здесь подгруппа называется s-нормальной в том случае, если для каждой имеется . ${\ Displaystyle H \ leq G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle g \ in G}$ $|H\cap g^{-1}Hg|=\infty$
Если G ацилиндрически гиперболическая группа и / с, то ограниченные когомологии бесконечномерны. ^[3]^[4]^[1] $V=\mathbb {R}$ $V=\ell ^{p}(G)$ $p\in [1,\infty )$ $H_{b}(G,V)$
Каждая ацилиндрически гиперболическая группа G имеет единственную максимальную нормальную конечную подгруппу, обозначаемую K (G) . ^[2]
Если G - ацилиндрически гиперболическая группа с K (G) = {1}, то G имеет бесконечные классы сопряженности нетривиальных элементов, G не является внутренне аменабельной, а приведенная C * -алгебра группы G проста с единственным следом. ^[2]
Существует версия теории малых сокращений над ацилиндрически гиперболическими группами, позволяющая получить множество частных таких групп с заданными свойствами. ^[5]
Каждая конечно порожденная ацилиндрически гиперболическая группа имеет точки разреза во всех своих асимптотических конусах . ^[6]
Для конечно порожденной ацилиндрически гиперболической группы G вероятность того, что простое случайное блуждание по G длины n дает «обобщенный локсодромный элемент» в G, сходится к 1 экспоненциально быстро при . ^[7] $n\to \infty$
Каждая конечно порожденная ацилиндрически гиперболическая группа G имеет экспоненциальный рост сопряженности, что означает, что число различных классов сопряженности элементов группы G, исходящих из шара радиуса n в графе Кэли группы G, растет экспоненциально по n . ^[8]

Примеры и не примеры [ править ]

Конечные группы, практически нильпотентные группы и виртуально разрешимые группы не являются ацилиндрически гиперболическими.
Каждая неэлементарная подгруппа словесно-гиперболической группы ацилиндрически гиперболична.
Каждая неэлементарная относительно гиперболическая группа является ацилиндрически гиперболической.
Группа классов отображений связной ориентированной поверхности рода с проколами является ацилиндрически гиперболической, за исключением случаев, когда (в этих исключительных случаях группа классов отображений конечна). ^[1] $MCG(S_{g,p})$ $g\geq 0$ $p\geq 0$ $g=0,p\leq 3$
Для группы Out ( F n ) является ацилиндрически гиперболической. ^[1] $n\geq 2$
По результату Осина любая не виртуально циклическая группа G , которая допускает собственное изометрическое действие на собственном пространстве CAT (0) с G, имеющим хотя бы один элемент ранга 1, является ацилиндрически гиперболической. ^[1] Капрас и Сагеев доказали, что если G - конечно порожденная группа, действующая изометрически правильно разрывно и кокомпактно на геодезически полном CAT (0) кубическом комплексе X , то либо X распадается как прямое произведение двух неограниченных выпуклых подкомплексов, либо G содержит элемент ранга 1. ^[9]
Всякая прямоугольная группа Артина G , которая не является циклической и непосредственно неразложимой, является ацилиндрически гиперболической.
Для специальной линейной группы не acylindrically гиперболической (пример 7.5 в ^[1] ). $n\geq 3$ $SL(n,\mathbb {Z} )$
Для в группе Баумслага-Солитэре не acylindrically гиперболическое. (Пример 7.4 в ^[1] ) $m\neq 0,n\neq 0$ $BS(m,n)=\langle a,t\mid t^{-1}a^{m}t=a^{n}\rangle$
Многие группы, допускающие нетривиальные действия на симплициальных деревьях (т.е. допускающие нетривиальные расщепления как фундаментальные группы графов групп в смысле теории Басса – Серра ), являются ацилиндрически гиперболическими. Например, все группы с одним отношением по крайней мере на трех образующих являются ацилиндрически гиперболическими. ^[10]
Большинство групп 3-многообразий являются ацилиндрически гиперболическими. ^[10]

Ссылки [ править ]

^ Б с д е е г ч я J K Осин, D. (2016). «Ацилиндрически гиперболические группы». Труды Американского математического общества . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . DOI : 10.1090 / Tran / 6343 . Руководство по ремонту 3430352 .
^ a b c Дахмани, Ф .; Guirardel, V .; Осин Д. (2017). Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах . Воспоминания Американского математического общества . 245 . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-2194-6. 1156.
^ Бествина, М .; Фудзивара, К. (2002). «Ограниченные когомологии подгрупп групп классов отображений». Геометрия и топология . 6 : 69–89. arXiv : math.GT/0012115 . DOI : 10,2140 / gt.2002.6.69 . MR 1914565 .
^ Hamenstädt, У. (2008). «Ограниченные группы когомологий и изометрий гиперболических пространств». Журнал Европейского математического общества . 10 (2): 315–349. arXiv : math / 0507097 . DOI : 10.4171 / JEMS / 112 .
^ Халл, М. (2016). «Небольшое сокращение в ацилиндрически гиперболических группах». Группы, геометрия и динамика . 10 (4): 1077–1119. arXiv : 1308.4345 . DOI : 10.4171 / GGD / 377 .
Перейти ↑ Sisto, A. (2016). «Квазивыпуклость гиперболически вложенных подгрупп». Mathematische Zeitschrift . 283 (3–4): 649–658. arXiv : 1310,7753 . DOI : 10.1007 / s00209-016-1615-Z .
Перейти ↑ Sisto, A. (2018). «Контрактные элементы и случайные блуждания». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2018 (742): 79–114. arXiv : 1112.2666 . DOI : 10,1515 / Крелль-2015-0093 .
^ Халл, М .; Осин Д. (2013). «Сопряженный рост конечно порожденных групп». Успехи в математике . 235 (1): 361–389. arXiv : 1107.1826 . DOI : 10.1016 / j.aim.2012.12.007 .
^ Caprace, PE; Сагеев, М. (2011). «Ранговая жесткость для комплексов кубов CAT (0)». Геометрический и функциональный анализ . 21 (4): 851–891. arXiv : 1005,5687 . DOI : 10.1007 / s00039-011-0126-7 . Руководство по ремонту 2827012 .
^ а б Минасян, А .; Осин Д. (2015). «Ацилиндрическая гиперболичность групп, действующих на деревьях». Mathematische Annalen . 362 (3–4): 1055–1105. arXiv : 1310,6289 . DOI : 10.1007 / s00208-014-1138-Z .

Дальнейшее чтение [ править ]

Коберда, Томас (2018). "ЧТО ТАКОЕ ... действие ацилиндрической группы?" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 65 (1): 31–34.

[Osin-1] Б с д е е г ч я J K Осин, D. (2016). «Ацилиндрически гиперболические группы». Труды Американского математического общества . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . DOI : 10.1090 / Tran / 6343 . Руководство по ремонту 3430352 .

[DGO-2] Дахмани, Ф .; Guirardel, V .; Осин Д. (2017). Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах . Воспоминания Американского математического общества . 245 . Американское математическое общество. ISBN 978-1-4704-2194-6. 1156.

[3] Бествина, М .; Фудзивара, К. (2002). «Ограниченные когомологии подгрупп групп классов отображений». Геометрия и топология . 6 : 69–89. arXiv : math.GT/0012115 . DOI : 10,2140 / gt.2002.6.69 . MR 1914565 .

[4] Hamenstädt, У. (2008). «Ограниченные группы когомологий и изометрий гиперболических пространств». Журнал Европейского математического общества . 10 (2): 315–349. arXiv : math / 0507097 . DOI : 10.4171 / JEMS / 112 .

[5] Халл, М. (2016). «Небольшое сокращение в ацилиндрически гиперболических группах». Группы, геометрия и динамика . 10 (4): 1077–1119. arXiv : 1308.4345 . DOI : 10.4171 / GGD / 377 .

[6] Перейти ↑ Sisto, A. (2016). «Квазивыпуклость гиперболически вложенных подгрупп». Mathematische Zeitschrift . 283 (3–4): 649–658. arXiv : 1310,7753 . DOI : 10.1007 / s00209-016-1615-Z .

[7] Перейти ↑ Sisto, A. (2018). «Контрактные элементы и случайные блуждания». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2018 (742): 79–114. arXiv : 1112.2666 . DOI : 10,1515 / Крелль-2015-0093 .

[8] Халл, М .; Осин Д. (2013). «Сопряженный рост конечно порожденных групп». Успехи в математике . 235 (1): 361–389. arXiv : 1107.1826 . DOI : 10.1016 / j.aim.2012.12.007 .

[9] Caprace, PE; Сагеев, М. (2011). «Ранговая жесткость для комплексов кубов CAT (0)». Геометрический и функциональный анализ . 21 (4): 851–891. arXiv : 1005,5687 . DOI : 10.1007 / s00039-011-0126-7 . Руководство по ремонту 2827012 .

[MO-10] а б Минасян, А .; Осин Д. (2015). «Ацилиндрическая гиперболичность групп, действующих на деревьях». Mathematische Annalen . 362 (3–4): 1055–1105. arXiv : 1310,6289 . DOI : 10.1007 / s00208-014-1138-Z .

[1]