В математике понятие относительно гиперболической группы является важным обобщением концепции геометрической теории групп гиперболической группы . Мотивирующие примерами относительно гиперболических групп являются фундаментальными группами из полных некомпактных гиперболических многообразий конечного объема.
Интуитивное определение [ править ]
Группа G является относительно гиперболической относительно подгруппы Н , если после заражения граф Кэлей из G по H - смежности , полученный график , оснащенный обычным граф метрики становится б-гиперболического пространство и, кроме того, она удовлетворяет техническое состояние что означает, что квазигеодезические с общими конечными точками проходят примерно через один и тот же набор смежных классов и входят и выходят из этих смежных классов примерно в одном и том же месте.
Формальное определение [ править ]
Для конечно порожденной группы G с графом Кэли Γ ( G ), снабженной метрикой путей и подгруппой H группы G , можно построить конус вне графа Кэли следующим образом: для каждого левого смежного класса gH добавить вершину v ( gH ) в граф Кэли Γ ( G ) и для каждого элемент х из Gh , добавить ребро е ( х ) 1/2 длины от й до вершины V ( Gh). Это приводит к метрическому пространству, которое может быть неправильным (т. Е. Замкнутые шары не обязательно должны быть компактными).
Определение относительно гиперболической группы, сформулированное Боудитчем, выглядит следующим образом. Группа G называется гиперболической относительно подгруппы H, если конус графа Кэли обладает свойствами:
- Он является δ-гиперболическим и
- это нормально : для каждого целого L каждое ребро принадлежит только конечному числу простых циклов длины L.
Если только первое условие выполнено , то группа G называется слабо относительно гиперболической по отношению к H .
Определение конуса графа Кэли может быть обобщено на случай набора подгрупп и дает соответствующее понятие относительной гиперболичности. Группа G, которая не содержит набора подгрупп, относительно которых она является относительно гиперболической, называется не относительно гиперболической группой.
Свойства [ править ]
- Если группа G относительно гиперболична относительно гиперболической группы H , то сама группа G гиперболична.
Примеры [ править ]
- Любая гиперболическая группа , такая как свободная группа конечного ранга или фундаментальная группа гиперболической поверхности, является гиперболической относительно тривиальной подгруппы.
- Фундаментальная группа полного гиперболического многообразия конечного объема гиперболична относительно своей подгруппы возврата . Аналогичный результат верен для любого полного риманова многообразия конечного объема с защемленной отрицательной секционной кривизной .
- Свободная абелева группа Z 2 ранга 2 является слабо гиперболическим, но не гиперболической относительно циклической подгруппы Z : даже если граф является гиперболической, это не хорошо.
- Группа классов отображений ориентируемой поверхности конечного типа является либо гиперболической (когда 3 g + n <5, где g - род, а n - количество проколов), либо не является относительно гиперболической.
- Группа автоморфизмов и внешний автоморфизм группа свободной группы конечного ранга по крайней мере , 3 не является относительно гиперболическими.
Ссылки [ править ]
- Михаил Громов , Гиперболические группы , Очерки теории групп, Матем. Sci. Res. Inst. Publ., 8, 75-263, Springer, New York, 1987.
- Денис Осин , Относительно гиперболические группы: внутренняя геометрия, алгебраические свойства и алгоритмические проблемы , arXiv: math / 0404040v1 (math.GR), апрель 2004 г.
- Бенсон Фарб, Относительно гиперболические группы , Геом. Функц. Анальный. 8 (1998), 810–840.
- Джейсон Берсток , Корнелия Другу , Ли Мошер, Толстые метрические пространства, относительная гиперболичность и квазиизометрическая жесткость , arXiv: math / 0512592v5 (math.GT), декабрь 2005 г.
- Дэниел Гроувс и Джейсон Фокс Мэннинг, Ден заполняет относительно гиперболические группы , arXiv: math / 0601311v4 [math.GR], январь 2007 г.
