В математике , выход ( Р п ) является внешней группой автоморфизмов из свободной группы на п генераторов . Эти группы играют важную роль в геометрической теории групп .
Космическое пространство
Выход ( Р п ) действует геометрический на клеточный комплекс , известном как Сортировщица - Vogtmann космического пространства, которое можно рассматривать как пространство Тейхмюллера для букета окружностей .
Определение
Точка космического пространства - это, по сути, -граф X гомотопически эквивалентен букету из n окружностей вместе с определенным выбором свободного гомотопического класса гомотопической эквивалентности из X букету из n окружностей. An-граф - это просто взвешенный граф с весами в. Сумма всех весов должна быть 1, и все веса должны быть положительными. Чтобы избежать двусмысленности (и получить конечномерное пространство), кроме того, требуется, чтобы валентность каждой вершины была не менее 3.
Более наглядный взгляд, избегающий гомотопической эквивалентности f, следующий. Мы можем зафиксировать отождествление фундаментальной группы букета из n окружностей со свободной группой в n переменных. Кроме того, мы можем выбрать максимальное дерево в X и выбрать направление для каждого оставшегося ребра. Теперь мы присвоим каждому оставшемуся ребру e слово вследующим образом. Рассмотрим замкнутый путь, начинающийся с e, а затем возвращающийся к началу e в максимальном дереве. Составив этот путь с f, мы получим замкнутый путь в букете из n окружностей и, следовательно, элемент в его фундаментальной группе. Этот элемент четко не определен; если мы заменим f на свободную гомотопию, мы получим другой элемент. Оказывается, эти два элемента сопряжены друг с другом, и, следовательно, мы можем выбрать единственный циклически сокращаемый элемент в этом классе сопряженности. По этим данным можно восстановить свободный гомотопический тип f . Этот вид имеет то преимущество, что он позволяет избежать лишнего выбора f и имеет тот недостаток, что возникает дополнительная неоднозначность, поскольку нужно выбрать максимальное дерево и ориентацию остальных ребер.
Операция Out ( F n ) в космическом пространстве определяется следующим образом. Каждый автоморфизм г изиндуцирует самогомотопическую эквивалентность g ′ букета из n окружностей. Составление f и g ′ дает желаемое действие. А в другой модели это просто применение g и циклическое сокращение результирующего слова.
Связь с функциями длины
Каждая точка в космическом пространстве определяет уникальную функцию длины. . Слово вопределяет , с помощью выбранной гомотопности эквивалентности замкнутой траектории в X . Тогда длина слова - это минимальная длина пути в свободном гомотопическом классе этого замкнутого пути. Такая функция длины постоянна на каждом классе сопряженности. Назначение определяет вложение внешнего пространства в некоторое бесконечномерное проективное пространство.
Симплициальная структура в космическом пространстве
Во второй модели открытый симплекс задается всеми этими -графы, которые имеют комбинаторно один и тот же базовый граф и одни и те же ребра, помечаются одними и теми же словами (может отличаться только длина ребер). Граничные симплексы такого симплекса состоят из всех графов, которые возникают из этого графа в результате схлопывания ребра. Если это ребро является петлей, его нельзя свернуть без изменения гомотопического типа графа. Следовательно, нет граничного симплекса. Таким образом, можно думать о космическом пространстве как о симплициальном комплексе с некоторыми удаленными симплексами. Легко проверить, что действие симплициально и имеет конечные группы изотропии.
Состав
Абелианизация картаиндуцирует гомоморфизм изв общую линейную группу , Причем последняя группа автоморфизмов из. Эта карта включена, делаярасширение группы ,
- .
Ядро это группа Торелли из.
В случае , карта является изоморфизмом .
Аналогия с группами классов отображения
Так как это фундаментальная группа из букета п кругов ,может быть описана топологически как группа классов отображений букета из n окружностей (в гомотопической категории ) по аналогии с группой классов отображений замкнутой поверхности, которая изоморфна группе внешних автоморфизмов фундаментальной группы этой поверхности.
Смотрите также
Рекомендации
- Каллер, Марк ; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. DOI : 10.1007 / BF01388734 . Руководство по ремонту 0830040 .
- Фогтманн, Карен (2002). «Автоморфизмы свободных групп и космического пространства» (PDF) . Geometriae Dedicata . 94 : 1–31. DOI : 10,1023 / A: 1020973910646 . MR 1950871 .
- Фогтманн, Карен (2008), «Что такое… космическое пространство?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (7): 784–786, MR 2436509