В математике , в подполе геометрической топологии , то группа классов отображений является важным алгебраическим инвариантом топологического пространства . Вкратце, группа классов отображений - это некоторая дискретная группа, соответствующая симметриям пространства.
Мотивация
Рассмотрим топологическое пространство, то есть пространство с некоторым понятием близости между точками в пространстве. Мы можем рассматривать множество гомеоморфизмов пространства в себя, то есть непрерывные отображения с непрерывными обратными : функции, которые непрерывно растягивают и деформируют пространство, не нарушая и не склеивая пространство. Этот набор гомеоморфизмов можно рассматривать как само пространство. Он образует группу по функциональному составу. Мы также можем определить топологию на этом новом пространстве гомеоморфизмов. В открытых множествах этого новой функции пространства будет состоять из наборов функций, отображающие компактные подмножества K в открытые подмножества U в K и U в диапазон на протяжении всего нашего оригинального топологического пространства, завершенного с их конечными пересечениями (которые должны быть открыты по определению топологии ) и произвольные союзы (опять же, которые должны быть открытыми). Это дает понятие непрерывности на пространстве функций, так что мы можем рассматривать непрерывную деформацию самих гомеоморфизмов, называемую гомотопиями . Мы определяем группу классов отображений, беря гомотопические классы гомеоморфизмов и индуцируя структуру группы из структуры функциональной композиционной группы, уже имеющейся в пространстве гомеоморфизмов.
Определение
Группа классов отображения терминов имеет гибкое использование. Чаще всего он используется в контексте многообразия М . Группа классов отображений из М интерпретируется как группа классов изотопии от автоморфизмов из М . Таким образом , если M является топологическим многообразием , класс отображения группы является группой изотопических классов гомеоморфизмов на М . Если M является гладким многообразием , класс отображения группой является группой изотопических классов диффеоморфизмов на М . Всякий раз, когда группа автоморфизмов объекта X имеет естественную топологию , группа классов отображений объекта X определяется как, где это путь-компонента единицы в. (Обратите внимание, что в компактно-открытой топологии компоненты пути и изотопические классы совпадают, т. Е. Два отображения f и g находятся в одной компоненте пути тогда и только тогда, когда они изотопны). Для топологических пространств это обычно компактно-открытая топология . В литературе по низкоразмерной топологии группа классов отображений X обычно обозначается MCG ( X ), хотя также часто обозначается, где вместо Aut подставляется соответствующая группа для категории, к которой принадлежит X. Здесьобозначает 0-ю гомотопическую группу пространства.
В общем, существует короткая точная последовательность групп:
Часто эта последовательность не разбивается . [1]
При работе в гомотопической категории , отображение класс группа X есть группа гомотопических классов из гомотопических эквивалентностей из X .
Есть много подгрупп групп классов отображений, которые часто изучаются. Если M - ориентированное многообразие,были бы сохраняющими ориентацию автоморфизмами M, и поэтому группа классов отображений M (как ориентированное многообразие) будет индексом два в группе классов отображений M (как неориентированное многообразие), если M допускает обращающий ориентацию автоморфизм. Аналогичным образом , подгруппа , которая действует тождественно на все группы гомологии с M называется группой Торелла из М .
Примеры
Сфера
В любой категории (гладкой, PL, топологической, гомотопической) [2]
соответствующие отображениям степени ± 1.
Тор
Это потому, что n-мерный тор является пространством Эйленберга – Маклейна .
Для других категорий, если , [3] есть следующие последовательности с точным разбиением:
В категории топологических пространств
В категории PL
(⊕ представляет прямую сумму ). В категории гладких
где - конечные абелевы группы Кервера – Милнора гомотопических сфер и группа порядка 2.
Поверхности
Группы классов отображений поверхностей хорошо изучены и иногда называются модулярными группами Тейхмюллера (обратите внимание на частный случайвыше), поскольку они действуют на пространстве Тейхмюллера, а фактор - пространство модулей римановых поверхностей, гомеоморфных поверхности. Эти группы проявляют черты схожи как для гиперболических групп и более высокого ранга линейной группы [ править ] . У них есть много приложений в теории геометрических трехмерных многообразий Терстона (например, к поверхностным расслоениям ). Элементы этой группы также были изучены сами по себе: важным результатом является классификационная теорема Нильсена – Терстона , а порождающее семейство для группы задается скручиваниями Дена, которые в некотором смысле являются «простейшими» классами отображений. Каждая конечная группа является подгруппой группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности; [4] фактически можно реализовать любую конечную группу как группу изометрий некоторой компактной римановой поверхности (что сразу означает, что она вводит в группу классов отображений основной топологической поверхности).
Неориентируемые поверхности
Некоторые неориентируемые поверхности имеют группы классов отображений с простыми представлениями. Например, всякий гомеоморфизм вещественной проективной плоскости изотопно тождеству:
Группа классов отображения бутылки Клейна K :
Эти четыре элемента идентичность, A поворот деновского на двусторонний кривой , которая не ограничивает ленту Мёбиуса , то у-гомеоморфизм из Lickorish , и продукт крутки и у-гомеоморфизма. Это хорошее упражнение, чтобы показать, что квадрат твиста Дена изотопен тождеству.
Отметим также, что замкнутая неориентируемая поверхность N 3 рода три (связная сумма трех проективных плоскостей) имеет:
Это связано с тем, что поверхность N имеет уникальный класс односторонних кривых, так что при разрезании N вдоль такой кривой C полученная поверхность- тор с удаленным диском . Как неориентированная поверхность, ее группа классов отображений имеет вид. (Лемма 2.1 [5] ).
3-манифольды
Группы классов отображений трехмерных многообразий также получили значительное исследование и тесно связаны с группами классов отображений двумерных многообразий. Например, любая конечная группа может быть реализована как группа классов отображений (а также группа изометрий) компактного трехмерного гиперболического многообразия. [6]
Отображение групп классов пар
Для пары пространств (X, A) группа классов отображений пары - это изотопические классы автоморфизмов пары, где автоморфизм (X, A) определяется как автоморфизм X , сохраняющий A , т. Е. F : X → X обратим и F (A) = .
Группа симметрии узла и звеньев
Если K ⊂ S 3 - узел или зацепление , группа симметрии узла (соответственно зацепления) определяется как группа классов отображений пары ( S 3 , K ). Группа симметрии гиперболического узла, как известно, является диэдральной или циклической , более того, каждая диэдральная и циклическая группа может быть реализована как группы симметрии узлов. Группа симметрии торического узла, как известно, имеет второй порядок Z 2 .
Группа Торелли
Обратите внимание , что есть индуцированное действие группы классов отображений на гомологии (и когомологий ) пространства X . Это потому, что (ко) гомологии функториальны и Homeo 0 действует тривиально (потому что все элементы изотопны, следовательно, гомотопны единице, которая действует тривиально, а действие на (ко) гомологиях инвариантно относительно гомотопии). Ядром этого действия является группа Торелли , названная в честь теоремы Торелли .
В случае ориентируемых поверхностей это действие на первых когомологиях H 1 (Σ) ≅ Z 2 g . Сохраняющих ориентацию карты являются именно те , которые действуют тривиально на верхней когомологий H 2 (a) ≅ Z . H 1 (Σ) имеет симплектическую структуру, происходящую от чашечного произведения ; поскольку эти отображения являются автоморфизмами, а отображения сохраняют кубовое произведение, группа классов отображений действует как симплектические автоморфизмы, и действительно, все симплектические автоморфизмы реализуются, давая короткую точную последовательность :
Можно распространить это на
Симплектическая группа хорошо изучена. Следовательно, понимание алгебраической структуры группы классов отображений часто сводится к вопросам о группе Торелли.
Заметим, что для тора (род 1) отображение в симплектическую группу является изоморфизмом, а группа Торелли обращается в нуль.
Группа классов стабильного отображения
Можно врезать поверхность рода g и 1 граничную компоненту в прикрепив на конце дополнительное отверстие (т. е. склеив а также ), и, таким образом, автоморфизмы малой поверхности, фиксирующей границу, распространяются на большую поверхность. Переход к прямому пределу этих групп и включений дает стабильную группу классов отображений, рациональное кольцо когомологий которой было предположено Дэвидом Мамфордом (одна из гипотез, называемых гипотезами Мамфорда ). Целочисленное (а не только рациональное) кольцо когомологий было вычислено в 2002 году Иб Мадсеном и Майклом Вайссом , доказав гипотезу Мамфорда.
Смотрите также
- Группы кос, группы классов отображений проколотых дисков
- Гомотопические группы
- Гомеотопические группы
- Фонарное отношение
Рекомендации
- ^ Морита, Shigeyuki ( , 1987). «Характеристические классы поверхностных расслоений». Inventiones Mathematicae . 90 (3): 551–577. DOI : 10.1007 / bf01389178 . Руководство по ремонту 0914849 .
- ^ Эрл, Клиффорд Дж .; Иллс, Джеймс (1967), "Диффеоморфизм группа компактной римановой поверхности", Бюллетень Американского математического общества , 73 : 557-559, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1967-11746-4 , MR 0212840
- ^ MR0520490 (80f: 57014) Хэтчер, А. Е. Пространства согласованности, теория высших простых гомотопий и приложения. Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, CA, 1976), Часть 1, стр. 3–21, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1978. (Рецензент: Джеральд А. Андерсон) 57R52
- ^ Гринберг, Леон (1974), «Максимальные группы и сигнатуры», разрывные группы и римановы поверхности (Proc. Conf., Univ. Maryland, College Park, Md., 1973) , Annals of Mathematics Studies, 79 , Princeton, NJ: Princeton University Press , стр. 207–226, MR 0379835
- ^ Шарлеманн, Мартин (1982). «Комплекс кривых на неориентируемых поверхностях». Журнал Лондонского математического общества . Серия 2. 25 (1): 171–184.
- ^ С. Кодзима, Топология и ее приложения , том 29, выпуск 3, август 1988 г., страницы 297–307
- Бирман, Джоан (1974). Косы, связи и группы классов отображения . Анналы математических исследований. 82 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0691081496. Руководство по ремонту 0375281 .
- Автоморфизмы поверхностей после Нильсен и Тёрстона по Эндрю Кассон и Стив Блейлер .
- "Группы классов отображений" Николая В. Иванова в Справочнике по геометрической топологии .
- Учебник по составлению карт класса групп по Бенсон Фарб и Дэн Маргалит
- Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. I , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 11 , Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 029 , ISBN 978-3-03719-029-6, MR 2284826
- Пападопулос, Атанас, изд. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. II , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 13 , Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv : math / 0511271 , doi : 10.4171 / 055 , ISBN 978-3-03719-055-5, Руководство по ремонту 2524085
- Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. III , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 17 , Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 103 , ISBN 978-3-03719-103-3, MR 2961353
- Пападопулос, Атанас, изд. (2014), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. IV , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 19 , Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, DOI : 10.4171 / 117 , ISBN 978-3-03719-117-0
Группа классов стабильного отображения
- Стабильное пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда , Иб Мадсен и Майкл С. Вайсс , 2002 г.
- Опубликовано как: Стабильное пространство модулей римановых поверхностей: гипотеза Мамфорда , Иб Мадсен и Майкл С. Вайс, 2007, Annals of Mathematics
Внешние ссылки
- Семинар Madsen-Weiss MCG ; много ссылок