В математике , в частности , топологии , то гомеоморфизм группа из топологического пространства является группа , состоящая из всех гомеоморфизмов из пространства к себе с функцией композицией как групповая операция . Группы гомеоморфизмов очень важны в теории топологических пространств и в целом являются примерами групп автоморфизмов . Группы гомеоморфизмов являются топологическими инвариантами в том смысле, что группы гомеоморфизмов гомеоморфных топологических пространств изоморфны как группы .
Свойства и примеры [ править ]
На этом пространстве существует естественное групповое действие группы гомеоморфизмов пространства. Позвольте быть топологическим пространством и обозначить группу гомеоморфизмов через . Действие определяется следующим образом:
Это групповая акция, поскольку для всех ,
где обозначает действие группы, и единичный элемент из (который является тождественной функцией на ) переводит точку к себе. Если это действие транзитивно , то пространство называется однородным .
Топология [ править ]
Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Март 2009 г. ) |
Как и в случае с другими наборами отображений между топологическими пространствами, группе гомеоморфизмов может быть задана топология, такая как компактно-открытая топология . В случае регулярных локально компактных пространств групповое умножение будет непрерывным.
Если пространство компактно и хаусдорфово, инверсия также непрерывна и становится топологической группой, как легко показать. [1] Если хаусдорфово, локально компактно и локально связно, то это также верно. [2] Однако существуют локально компактные сепарабельные метрические пространства, для которых отображение инверсии не является непрерывным и, следовательно, не является топологической группой. [2]
В категории топологических пространств с гомеоморфизмами групповые объекты являются в точности группами гомеоморфизмов.
Группа классов сопоставления [ править ]
В частности, в геометрической топологии рассматривается фактор-группа, полученная факторизацией по изотопии , называемая группой классов отображений :
МКГ также можно интерпретировать как 0 - й гомотопической группы , . Это дает короткую точную последовательность :
В некоторых приложениях, особенно на поверхностях, группа гомеоморфизмов изучается с помощью этой короткой точной последовательности и сначала путем изучения группы классов отображений и группы изотопически тривиальных гомеоморфизмов, а затем (иногда) расширения.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ «Гомеоморфизмы X образуют топологическую группу» . Проверено 22 августа +2016 .
- ^ a b http://www.cs.vu.nl/~dijkstra/research/papers/2005compactopen.pdf
- "группа гомеоморфизма" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]