SQ-универсальная группа

В математике , в области теории групп , счетная группа называется SQ-универсальной, если каждая счетная группа может быть вложена в одну из ее фактор-групп . SQ-универсальность можно рассматривать как меру обширности или сложности группы.

История [ править ]

Многие классические результаты комбинаторной теории групп, восходящие к 1949 году, теперь интерпретируются как утверждение, что определенная группа или класс групп является (являются) SQ-универсальными. Однако первое явное использование этого термина, по-видимому, было в обращении Питера Неймана к Лондонскому коллоквиуму по алгебре под названием «SQ-универсальные группы» 23 мая 1968 года.

Примеры SQ-универсальных групп [ править ]

В 1949 году Грэм Хигман , Бернхард Нойман и Ханна Нойман доказали, что всякая счетная группа вкладывается в группу с двумя образующими. ^[1] Используя современный язык SQ-универсальности, этот результат говорит, что F ₂ , свободная группа ( неабелева ) на двух образующих , является SQ-универсальной. Это первый известный пример SQ-универсальной группы. Теперь известно еще много примеров:

Добавление двух генераторов и один произвольный Relator к нетривиальному кручению группы, всегда приводит к SQ-универсальной группы. ^[2]
Любая неэлементарная группа, гиперболическая относительно набора собственных подгрупп, является SQ-универсальной. ^[3]
Многие расширения HNN , бесплатные продукты и бесплатные продукты с объединением . ^[4]^[5]^[6]
Группа Кокстера с четырьмя образующими с представлением : ^[7]

{\ displaystyle P = \ left \ langle a, b, c, d \, | \, a ^ {2} = b ^ {2} = c ^ {2} = d ^ {2} = (ab) ^ { 3} = (bc) ^ {3} = (ac) ^ {3} = (ad) ^ {3} = (cd) ^ {3} = (bd) ^ {3} = 1 \ right \ rangle}

Пример Чарльза Ф. Миллера III конечно определенной SQ-универсальной группы, все нетривиальные факторы которой имеют неразрешимую проблему слов . ^[8]

Кроме того, теперь известны гораздо более сильные версии теоремы Хигмана-Неймана-Неймана. Ульд Хусин доказал:

Для каждой счетной группы G существует 2-генератор SQ-универсальной группа H такой , что G может быть встроен в любом нетривиальном частном от H . ^[9]

Некоторые элементарные свойства SQ-универсальных групп [ править ]

Свободная группа по счетному числу образующей ч ₁ , ч ₂ , ..., ч _п , ..., скажем, должна вкладываться в аффинности фактора SQ-универсальной группы G . Если выбраны таким образом, что для всех п , то они должны свободно порождают свободную подгруппу G . Следовательно: $h_{1}^{*},h_{2}^{*},\dots ,h_{n}^{*}\dots \in G$ $h_{n}^{*}\mapsto h_{n}$

Каждая SQ-универсальная группа имеет в качестве подгруппы свободную группу со счетным числом образующих.

Поскольку каждую счетную группу можно вложить в счетную простую группу , часто бывает достаточно рассмотреть вложения простых групп. Это наблюдение позволяет нам легко доказать некоторые элементарные результаты о SQ-универсальных группах, например:

Если G - SQ-универсальная группа и N - нормальная подгруппа в G (т.е. ), то либо N является SQ-универсальной группой, либо фактор-группа G / N является SQ-универсальной.

N\triangleleft G

Для доказательства предположим , что N не является SQ-универсальной, то есть счетная группа K , которая не может быть вложен в фактор - группе N . Пусть Н любой счетной группа, то прямое произведение Н × К также счетно и , следовательно , может быть встроено в счетной простой группе S . Теперь, по предположению, G является SQ-универсальной , так S может быть вложен в фактор - группы, G / M , скажем, G . Вторая теорема об изоморфизме говорит нам:

MN/M\cong N/(M\cap N)

Теперь и S - простая подгруппа в G / M, поэтому либо: $MN/M\triangleleft G/M$

MN/M\cap S\cong 1

или же:

S\subseteq MN/M\cong N/(M\cap N)

.

Последнее не может быть правдой , потому что это означает , K ⊆ H × K ⊆ S ⊆ N / ( M ∩ N ) противоречит нашему выбору K . Отсюда следует, что S можно вложить в ( G / M ) / ( MN / M ), который по третьей теореме об изоморфизме изоморфен G / MN , который, в свою очередь, изоморфен ( G / N ) / ( MN / N ) . Таким образом, Sбыла вложена в фактор-группу группы G / N , и поскольку H ⊆ S была произвольной счетной группой, то G / N SQ-универсальна.

Так как каждая подгруппа Н из конечного индекса в группе G содержит нормальную подгруппу Н и конечного индекса в G , ^[10] легко следует , что:

Если группа G является SQ-универсальной , то так любой конечный индекс подгруппы H из G . Верно и обратное утверждение. ^[11]

Варианты и обобщения SQ-универсальности [ править ]

В литературе встречается несколько вариантов SQ-универсальности. Следует предупредить читателя, что терминология в этой области еще не полностью устойчива, и при чтении этого раздела следует помнить об этом.

Позвольте быть класс групп. (Для целей настоящего раздела, группы определены до изоморфизма ) группа G называется SQ-универсальным в классе , если и каждая счетная группа изоморфна подгруппе фактор- G . Можно доказать следующий результат: ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ $G\in {\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$

Пусть n , m ∈ Z, где m нечетно и m > 1, и пусть B ( m , n ) - свободная m-образующая группа Бернсайда , тогда каждая нециклическая подгруппа в B ( m , n ) SQ-универсальна. в классе групп показателя n .

n>10^{78}

Позвольте быть класс групп. Группа G называется SQ-универсальной для класса , если каждая группа изоморфна подгруппе фактор- G . Обратите внимание, что не требуется, чтобы какие-либо группы были счетными. ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ $G\in {\mathcal {P}}$

Стандартное определение SQ-универсальности эквивалентно SQ-универсальности как в классе счетных групп, так и для него.

Учитывая счетная группа G , вызовите SQ-универсальная группа H G -stable , если каждая нетривиальная фактор - группа H содержит копию G . Пусть - класс конечно определенных SQ-универсальных групп, которые являются G -стабильными для некоторого G, тогда версия Хусина теоремы HNN, которую можно переформулировать как: ${\mathcal {G}}$

Свободная группа на двух образующих SQ-универсальна для .

{\mathcal {G}}

Однако существует несчетное количество конечно порожденных групп, и счетная группа может иметь только счетное число конечно порожденных подгрупп. Из этого легко увидеть, что:

Ни одна группа не может быть SQ-универсальной в .

{\mathcal {G}}

Бесконечна класс групп является wrappable , если даны какие - либо группы существует простая группа S и группа такая , что F и G могут быть встроены в S и S могут быть встроены в H . Легко доказать: ${\mathcal {P}}$ $F,G\in {\mathcal {P}}$ $H\in {\mathcal {P}}$

Если - оборачиваемый класс групп, G является SQ-универсальным для, и тогда либо N является SQ-универсальным для, либо G / N является SQ-универсальным для .

{\mathcal {P}}

{\mathcal {P}}

N\triangleleft G

{\mathcal {P}}

{\mathcal {P}}

Если - оборачиваемый класс групп и H имеет конечный индекс в G, то G является SQ-универсальным для этого класса тогда и только тогда, когда H является SQ-универсальным для .

{\mathcal {P}}

{\mathcal {P}}

{\mathcal {P}}

Мотивация для определения оборачиваемого класса проистекает из таких результатов, как теорема Буна-Хигмана , которая утверждает, что счетная группа G имеет разрешимую проблему слов тогда и только тогда, когда она может быть вложена в простую группу S, которая может быть вложена в конечно представленная группа F . Хусин показал, что группа F может быть построена так, что у нее тоже есть разрешимая проблема слов. Это вместе с тем фактом, что прямое произведение двух групп сохраняет разрешимость проблемы слов, показывает, что:

Класс всех конечно определенных групп с разрешимой проблемой слов является оборачиваемым.

Другие примеры оборачиваемых классов групп:

Класс конечных групп .
Класс групп без кручения.
Класс счетных групп без кручения.
Класс всех групп заданной бесконечной мощности .

Тот факт, что класс оборачивается, не означает, что какие-либо группы являются SQ-универсальными для . Ясно, например, что требуется какое-то ограничение мощности для членов . ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$

Если мы заменим фразу «изоморфна подгруппе фактора из» на «изоморфна подгруппе из» в определении «SQ-универсального», мы получим более сильное понятие S-универсального (соответственно S-универсального для / в ${\mathcal {P}}$ ). Теорема вложения Хигмана может быть использована для доказательства того, что существует конечно представленная группа, которая содержит копию каждой конечно определенной группы. Если - класс всех конечно представленных групп с разрешимой проблемой слов, то известно, что не существует единого алгоритма для решения проблемы слов для групп в . Отсюда следует, хотя доказательство не так просто, как можно было бы ожидать, что ни одна группа в не может содержать копию каждой группы в ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {W}}$ . Но ясно, что любая SQ-универсальная группа тем более является SQ-универсальной для . Если мы позволим быть классом конечно представленных групп, а F ₂ - свободной группой с двумя образующими, мы можем резюмировать это как: ${\mathcal {W}}$ ${\mathcal {F}}$

F ₂ является SQ-универсальным в и . ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {W}}$
Существует группа, S-универсальная в . ${\mathcal {F}}$
Никакая группа не является S-универсальной в . ${\mathcal {W}}$

Открыты следующие вопросы (второй подразумевает первый):

Существует ли счетная группа , которая не является SQ-универсальной , но SQ-универсальный для ? ${\mathcal {W}}$
Существует ли счетная группа, которая не является SQ-универсальной, но является SQ-универсальной в ? ${\mathcal {W}}$

Хотя довольно сложно доказать, что F ₂ является SQ-универсальным, тот факт, что он SQ-универсален для класса конечных групп, легко следует из этих двух фактов:

Каждая симметрическая группа на конечном множестве может быть порождена двумя элементами
Каждая конечная группа может быть вложена внутрь симметрической группы, естественной группой является группа Кэли , которая представляет собой симметрическую группу, действующую на эту группу как на конечное множество.

SQ-универсальность в других категориях [ править ]

Если категория и является классом объектов из , то определение SQ-универсальный для явно имеет смысл. Если - конкретная категория , то определение SQ-универсальности также имеет смысл. Как и в теоретико-групповом случае, мы используем термин SQ-универсальный для объекта, который является SQ-универсальным как для, так и в классе счетных объектов . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {C}}$

Многие теоремы вложения можно переформулировать в терминах SQ-универсальности. Теорема Ширшова о том, что алгебра Ли конечной или счетной размерности может быть вложена в алгебру Ли с двумя образующими, эквивалентна утверждению, что свободная алгебра Ли с двумя образующими является SQ-универсальной (в категории алгебр Ли). Это можно доказать, доказав версию теоремы Хигмана, Неймана, Неймана для алгебр Ли. ^[12] Однако версии теоремы HNN могут быть доказаны для категорий, в которых нет четкого представления о свободном объекте. Например, можно доказать, что каждая сепарабельная топологическая группа изоморфна топологической подгруппе группы, имеющей два топологических образующих (то есть имеющей плотную подгруппу с 2 образующими).^[13]

Аналогичная концепция верна и для свободных решеток . Свободная решетка в трех образующих счетно бесконечна. В качестве подрешетки он имеет свободную решетку в четырех образующих и, по индукции, в качестве подрешетки, свободную решетку в счетном числе образующих. ^[14]

Ссылки [ править ]

^ Г. Хигман, Б. Х. Нейман и Х. Нойман, «Теоремы вложения для групп», J. London Math. Soc. 24 (1949), 247-254
↑ Антон А. Клячко, «SQ-универсальность относительного представления с одним соотношением», Arxiv preprint math.GR/0603468, 2006
^ Г. Аржанцева, А. Минасян, Д. Осин, 'SQ-универсальность и аппроксимируемость относительно гиперболических групп', Журнал алгебры 315 (2007), № 1, стр. 165-177
^ Бенджамин Файн, Марвин Треткофф, «О SQ-универсальности групп HNN», Труды Американского математического общества, Vol. 73, No. 3 (март 1979 г.), стр. 283-290
^ П. М. Нейман: SQ-универсальность некоторых конечно определенных групп. J. Austral. Математика. Soc. 16, 1-6 (1973)
^ К.И. Лосов, 'SQ-универсальность свободных произведений с объединенными конечными подгруппами', Сибирский математический журнал, том 27, номер 6 / ноябрь 1986 г.
^ Мухаммад А. Альбар, 'О группе Кокстера с четырьмя генераторами', Internat. J. Math & Math. Наука Том 24, № 12 (2000), 821-823
^ CF Миллер. Решение задач для групп - обзор и размышления. В Алгоритмах и классификации в комбинаторной теории групп, страницы 1-60. Спрингер, 1991.
^ АО Хусина, «Удовлетворенность экзистенциальных теорий конечно представленных групп и некоторых теорем вложения», Annals чистой и прикладной логики, том 142, вопросы 1-3, октябрь 2006, страницы 351-365
^ Лоусон, Марк В. (1998) Обратные полугруппы: теория частичных симметрий , World Scientific. ISBN 981-02-3316-7 , стр. 52
^ П. М. Нейман: SQ-универсальность некоторых конечно определенных групп. J. Austral. Математика. Soc. 16, 1-6 (1973)
^ А. И. Лихтман и М. Ширвани, «HNN-расширения алгебр Ли», Proc. Американская математика. Soc. Том 125, номер 12, декабрь 1997 г., 3501-3508
^ Сидней А. Моррис и Владимир Пестов, «Топологическое обобщение теоремы Хигмана-Неймана-Неймана», исследовательский отчет RP-97-222 (май 1997 г.), Школа математических и вычислительных наук, Веллингтонский университет Виктории. См. Также J. Group Theory 1 , № 2, 181–187 (1998).
^ Л. А. Скорняков, Элементы теории решеток(1977) Adam Hilger Ltd. (см. Стр. 77-78)

Лоусон, М.В. (1998). Обратные полугруппы: теория частичных симметрий . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7.

[1] Г. Хигман, Б. Х. Нейман и Х. Нойман, «Теоремы вложения для групп», J. London Math. Soc. 24 (1949), 247-254

[2] Антон А. Клячко, «SQ-универсальность относительного представления с одним соотношением», Arxiv preprint math.GR/0603468, 2006

[3] Г. Аржанцева, А. Минасян, Д. Осин, 'SQ-универсальность и аппроксимируемость относительно гиперболических групп', Журнал алгебры 315 (2007), № 1, стр. 165-177

[4] Бенджамин Файн, Марвин Треткофф, «О SQ-универсальности групп HNN», Труды Американского математического общества, Vol. 73, No. 3 (март 1979 г.), стр. 283-290

[5] П. М. Нейман: SQ-универсальность некоторых конечно определенных групп. J. Austral. Математика. Soc. 16, 1-6 (1973)

[6] К.И. Лосов, 'SQ-универсальность свободных произведений с объединенными конечными подгруппами', Сибирский математический журнал, том 27, номер 6 / ноябрь 1986 г.

[7] Мухаммад А. Альбар, 'О группе Кокстера с четырьмя генераторами', Internat. J. Math & Math. Наука Том 24, № 12 (2000), 821-823

[8] CF Миллер. Решение задач для групп - обзор и размышления. В Алгоритмах и классификации в комбинаторной теории групп, страницы 1-60. Спрингер, 1991.

[9] АО Хусина, «Удовлетворенность экзистенциальных теорий конечно представленных групп и некоторых теорем вложения», Annals чистой и прикладной логики, том 142, вопросы 1-3, октябрь 2006, страницы 351-365

[10] Лоусон, Марк В. (1998) Обратные полугруппы: теория частичных симметрий , World Scientific. ISBN 981-02-3316-7 , стр. 52

[11] П. М. Нейман: SQ-универсальность некоторых конечно определенных групп. J. Austral. Математика. Soc. 16, 1-6 (1973)

[12] А. И. Лихтман и М. Ширвани, «HNN-расширения алгебр Ли», Proc. Американская математика. Soc. Том 125, номер 12, декабрь 1997 г., 3501-3508

[13] Сидней А. Моррис и Владимир Пестов, «Топологическое обобщение теоремы Хигмана-Неймана-Неймана», исследовательский отчет RP-97-222 (май 1997 г.), Школа математических и вычислительных наук, Веллингтонский университет Виктории. См. Также J. Group Theory 1 , № 2, 181–187 (1998).

[14] Л. А. Скорняков, Элементы теории решеток(1977) Adam Hilger Ltd. (см. Стр. 77-78)

[1]