Аффинная оболочка

В математике , то аффинная оболочка или аффинная оболочка из множества S в евклидовом пространстве R ^п является наименьшим аффинным набор , содержащий S , или , что эквивалентно, то пересечение всех аффинных множеств , содержащих S . Здесь аффинное множество может быть определена как перевод из более векторного подпространства .

Аффинная оболочка aff ( S ) S - это множество всех аффинных комбинаций элементов S , т. Е.

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

Примеры [ править ]

• Аффинная оболочка пустого множества - это пустое множество.
• Аффинная оболочка синглтона (набора, состоящего из одного единственного элемента) - это сам синглтон.
• Аффинная оболочка набора из двух разных точек - это прямая, проходящая через них.
• Аффинная оболочка множества трех точек не на одной прямой - это плоскость, проходящая через них.
• Аффинная оболочка набора из четырех точек, не лежащих на плоскости в R ^3, - это все пространство R ³ .

Свойства [ править ]

Для любых подмножеств ${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$является замкнутым множеством, если конечномерно.${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}$
• Если тогда .${\displaystyle 0\in S}$${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$
• Если то является линейным подпространством .${\displaystyle s_{0}\in S}$${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\operatorname {span} (S-S)}$.
  • Так, в частности, всегда есть векторное подпространство .${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)}$${\displaystyle X}$
• Если есть выпуклое то${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {aff} (S-S)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (S-S)}$
• Для каждого , где - наименьший содержащий конус (здесь набор - это конус, если для всех неотрицательных ).${\displaystyle s_{0}\in S}$${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle S-S}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle rc\in C}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle r\geq 0}$
  • Следовательно , всегда есть линейное подпространство, параллельное .${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {aff} S}$

Связанные наборы [ править ]

• Если вместо аффинного комбинации одного использует комбинации выпуклых , то есть один требует в формуле выше , что все неотрицательная, получается выпуклая оболочка из S , которая не может быть больше , чем аффинная оболочка S , как больше ограничений участвуют .${\displaystyle \alpha _{i}}$
• Понятие конической комбинации порождает понятие конической оболочки.
• Если , однако , один накладывает никаких ограничений на всех по номерам , а не аффинной комбинации друг имеет линейную комбинацию , а результирующий набор является линейной оболочкой из S , который содержит аффинную оболочку S .${\displaystyle \alpha _{i}}$

Ссылки [ править ]

• RJ Webster, Convexity , Oxford University Press, 1994. ISBN  0-19-853147-8 .