В магнитостатике силу притяжения или отталкивания между двумя токоведущими проводами (см. Первый рисунок ниже) часто называют законом силы Ампера . Физическое происхождение этой силы состоит в том, что каждый провод генерирует магнитное поле в соответствии с законом Био – Савара , а другой провод, как следствие, испытывает магнитную силу в соответствии с законом силы Лоренца .
Уравнение
Особый случай: два прямых параллельных провода
Самый известный и простейший пример закона силы Ампера, который лежал в основе (до 20 мая 2019 г. [1] ) определения ампера , единицы тока СИ , гласит, что магнитная сила на единицу длины между двумя прямыми параллельными проводниками равна
- ,
где - магнитная силовая постоянная из закона Био – Савара , - общая сила, действующая на любой из проводов на единицу длины более короткого (более длинный приближается как бесконечно длинный по сравнению с более коротким), расстояние между двумя проводами, и , - это постоянные токи, переносимые проводами.
Это хорошее приближение, если один провод достаточно длиннее другого, так что его можно приблизительно считать бесконечно длинным, и если расстояние между проводами мало по сравнению с их длинами (так что справедливо приближение с одним бесконечным проводом), но большие по сравнению с их диаметрами (так что их также можно аппроксимировать бесконечно тонкими линиями). Значение зависит от выбранной системы единиц и значения решает, насколько велика будет единица измерения тока. В SI системы, [2] [3]
с участием магнитная постоянная , определяется в единицах СИ , как [4] [5]
- Н / 2 .
Таким образом, в вакууме
- сила на метр длины между двумя параллельными проводниками, отстоящими друг от друга на 1 м и каждый из которых пропускает ток 1 А, точно равна
Общий случай
Общая формулировка магнитной силы для произвольной геометрии основана на повторяющихся линейных интегралах и объединяет закон Био – Савара и силу Лоренца в одном уравнении, как показано ниже. [6] [7] [8]
- ,
где
- это общая магнитная сила, воспринимаемая проводом 1 из-за провода 2 (обычно измеряется в ньютонах ),
- а также - токи, протекающие по проводам 1 и 2 соответственно (обычно измеряются в амперах ),
- Интегрирование двойной линии суммирует силу, действующую на каждый элемент провода 1 из-за магнитного поля каждого элемента провода 2,
- а также бесконечно малые векторы, связанные с проводом 1 и проводом 2 соответственно (обычно измеряются в метрах ); см. линейный интеграл для подробного определения,
- Вектор - единичный вектор, направленный от дифференциального элемента на проводе 2 к дифференциальному элементу на проводе 1, и | r | расстояние, разделяющее эти элементы,
- Умножение × - векторное векторное произведение ,
- Знак относительно ориентации (например, если указывает в направлении обычного тока , затем).
Чтобы определить силу между проволоками в материальной среде, магнитная постоянная заменяется фактической проницаемостью среды.
Для случая двух отдельных замкнутых проводов закон можно переписать следующим эквивалентным образом, расширив векторное тройное произведение и применив теорему Стокса: [9]
В этой форме сразу становится очевидным, что сила, действующая на провод 1 со стороны провода 2, равна и противоположна силе, действующей на провод 2 со стороны провода 1, в соответствии с 3-м законом Ньютона .
Историческое прошлое
Форма закона силы Ампера, обычно приводимая, была получена Максвеллом и является одним из нескольких выражений, согласующихся с первоначальными экспериментами Ампера и Гаусса . Х-составляющая силы между двумя линейными токами I и I ', как показано на соседней диаграмме, была дана Ампером в 1825 году и Гауссом в 1833 году следующим образом: [10]
После ампера, ряд ученых, в том числе Вильгельм Вебер , Клаузиус , Джеймс Клерк Максвелл , Бернхард Риман , Грассман , [11] и Вальтер Ритц , разработал это выражение , чтобы найти фундаментальное выражение силы. Путем дифференциации можно показать, что:
- .
а также личность:
- .
С помощью этих выражений закон силы Ампера может быть выражен как:
- .
Используя удостоверения:
- .
а также
- .
Результаты Ампера можно выразить в виде:
- .
Как заметил Максвелл, к этому выражению могут быть добавлены члены, которые являются производными функции Q (r) и при интегрировании компенсируют друг друга. Таким образом, Максвелл дал «наиболее общий вид, согласующийся с экспериментальными фактами» для силы на ds, возникающей в результате действия ds ': [12]
- .
Q является функцией r, согласно Максвеллу, которая «не может быть определена без каких-либо предположений из экспериментов, в которых активный ток образует замкнутую цепь». Взяв функцию Q (r) в виде:
Получаем общее выражение для силы, действующей на ds со стороны ds:
- .
Интегрирование вокруг s исключает k, и получается исходное выражение, данное Ампером и Гауссом. Таким образом, что касается исходных экспериментов Ампера, значение k не имеет значения. Ампер взял k = -1; Гаусс взял k = +1, как это сделали Грассман и Клаузиус, хотя Клаузиус опустил S-компонент. В теориях неэфирных электронов Вебер взял k = -1, а Риман взял k = +1. Ритц оставил k неопределенным в своей теории. Если взять k = -1, мы получим выражение Ампера:
Если взять k = + 1, получим
Используя векторную идентичность для тройного перекрестного произведения, мы можем выразить этот результат как
При интегрировании вокруг ds 'второй член равен нулю, и, таким образом, мы находим форму закона силы Ампера, данную Максвеллом:
Вывод случая параллельной прямой проволоки из общей формулы
Начнем с общей формулы:
- ,
Предположим, что провод 2 расположен вдоль оси x, а провод 1 находится в точке y = D, z = 0, параллельно оси x. Позволять- координата x дифференциального элемента провода 1 и провода 2 соответственно. Другими словами, дифференциальный элемент провода 1 находится на а дифференциальный элемент провода 2 находится на . По свойствам линейных интегралов а также . Также,
а также
Следовательно, интеграл равен
- .
Оценка перекрестного продукта:
- .
Далее интегрируем из к :
- .
Если проволока 1 также бесконечна, интеграл расходится, потому что общая сила притяжения между двумя бесконечными параллельными проволоками равна бесконечности. Фактически, мы действительно хотим знать силу притяжения на единицу длины провода 1. Поэтому предположим, что провод 1 имеет большую, но конечную длину.. Тогда вектор силы, воспринимаемый проводом 1, равен:
- .
Как и ожидалось, сила, которую испытывает провод, пропорциональна его длине. Сила на единицу длины:
- .
Направление силы - вдоль оси y, представляя провод 1, тянущийся к проводу 2, если токи параллельны, как и ожидалось. Величина силы на единицу длины согласуется с выражением для показано выше.
Известные выводы закона силы Ампера
В хронологическом порядке:
- Оригинальное происхождение Ампера 1823 года:
- Ассис, Андре Кох Торрес; Чайб, JPM C; Ампер, Андре-Мари (2015). Электродинамика Ампера: анализ значения и эволюции силы Ампера между элементами тока, вместе с полным переводом его шедевра: Теория электродинамических явлений, однозначно выведенная из опыта (PDF) . Монреаль: Апейрон. ISBN 978-1-987980-03-5.
- Вывод Максвелла 1873 года:
- Трактат об электричестве и магнетизме, том. 2, часть 4, гл. 2 (§§502–527)
- Вывод Пьера Дюгема 1892 года:
- Дюгем, Пьер Морис Мари (9 сентября 2018 г.). Закон силы Ампера: современное введение . Алан Аверса (пер.). DOI : 10.13140 / RG.2.2.31100.03206 / 1 . Дата обращения 3 июля 2019 .( EPUB )
- перевод: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3, приложение к книге 14, стр. 309-332 (на французском языке)
- Дюгем, Пьер Морис Мари (9 сентября 2018 г.). Закон силы Ампера: современное введение . Алан Аверса (пер.). DOI : 10.13140 / RG.2.2.31100.03206 / 1 . Дата обращения 3 июля 2019 .( EPUB )
- Вывод Альфреда О'Рахилли 1938 года:
- Электромагнитная теория: критическое рассмотрение основ т. 1, pp. 102–104 (см. Также следующие страницы)
Смотрите также
- Ампер
- Магнитная постоянная
- Сила Лоренца
- Обходной закон Ампера
- Свободное место
Ссылки и примечания
- ^ «Резолюции 26-го заседания ГКБП» (PDF) . BIPM . Дата обращения 1 августа 2020 .
- ^ Раймонд Сервей и Джуэтт Дж. В. (2006). Принципы физики Сервея: текст, основанный на исчислении (Четвертое изд.). Белмонт, Калифорния: Томпсон Брукс / Коул. п. 746. ISBN 0-534-49143-X.
- ^ Пол М.С. Монк (2004). Физическая химия: понимание нашего химического мира . Нью-Йорк: Чичестер: Уайли. п. 16. ISBN 0-471-49181-0.
- ^ Определение BIPM
- ^ «Магнитная постоянная» . 2006 КОДАТ рекомендуемых значений . NIST . Архивировано 20 августа 2007 года . Проверено 8 августа 2007 года .
- ^ Интегральное выражение этого выражения появляется в официальной документации, касающейся определения ампера BIPM SI Units брошюры, 8-е издание, стр. 105
- ^ Тай Л. Чоу (2006). Введение в теорию электромагнетизма: современная перспектива . Бостон: Джонс и Бартлетт. п. 153. ISBN. 0-7637-3827-1.
- ^ Закон силы Ампера Прокрутите до раздела «Интегральное уравнение», чтобы найти формулу.
- ^ Христодулидес, К. (1988). «Сравнение законов магнитостатической силы Ампера и Био-Савара в их формах линейный ток-элемент» . Американский журнал физики . 56 (4): 357–362. Bibcode : 1988AmJPh..56..357C . DOI : 10.1119 / 1.15613 .
- ^ О'Рахилли, Альфред (1965). Электромагнитная теория . Дувр. п. 104. (ср. Дюгем, П. (1886). "Sur la loi d'Ampère" . J. Phys. Теор. Прил . 5 (1): 26–29. DOI : 10,1051 / jphystap: 01886005002601 . Проверено 7 января 2015 года ., который появляется в Дюгем, Пьер Морис Мари (1891). Leçons sur l'électricité et le magnétisme . 3 . Париж: Готье-Виллар.)
- ^ Петше, Ханс-Иоахим (2009). Герман Грассманн: биография . Базель Бостон: Биркхойзер. п. 39. ISBN 9783764388591.
- ^ Максвелл, Джеймс Клерк (1904). Трактат об электричестве и магнетизме . Оксфорд. п. 173.
Внешние ссылки
- Закон силы Ампера Включает анимированное изображение векторов силы.