Канал демпфирования амплитуды

В теории квантовой связи , амплитуды затухания канала представляет собой квантовый канал , который моделирует физические процессы , такие как спонтанное излучение . Естественным процессом, посредством которого может возникать этот канал, является спиновая цепочка, посредством которой ряд спиновых состояний, связанных с помощью независимого от времени гамильтониана , можно использовать для отправки квантового состояния из одного места в другое. Результате квантовый канал заканчивает тем , что совпадает с амплитудой демпфирующего канала, для которого квантовая емкость , классическая емкость и переплетение вспомогательной классической емкости из квантового канала можно оценить.

Qubit Channel [ править ]

Канал с демпфированием амплитуды моделирует релаксацию энергии из возбужденного состояния в основное состояние. В двумерной системе или кубите с вероятностью распада действие канала на матрицу плотности определяется выражением ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\cal {N}}_{\gamma }(\rho )=K_{0}\rho K_{0}^{\dagger }+K_{1}\rho K_{1}^{\dagger }\;,}$

где - операторы Крауса, заданные формулами ${\displaystyle K_{0},K_{1}}$

${\displaystyle K_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\sqrt {1-\gamma }}\end{pmatrix}},\;K_{1}={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {\gamma }}\\0&0\end{pmatrix}}\;.}$

Таким образом

${\displaystyle {\cal {N}}_{\gamma }\left[{\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}\rho _{00}+\gamma \rho _{11}&{\sqrt {1-\gamma }}\rho _{01}\\{\sqrt {1-\gamma }}\rho _{10}&(1-\gamma )\rho _{11}\end{pmatrix}}\;.}$

Модель квантового канала спиновой цепи [ править ]

Основная конструкция квантового канала, основанная на корреляциях спиновой цепочки, состоит в том, чтобы иметь набор N связанных спинов. По обе стороны от квантового канала есть две группы спинов, и мы называем их квантовыми регистрами, A и B. Сообщение отправляется, когда отправитель сообщения кодирует некоторую информацию в регистре A, а затем, позволяя он распространяется в течение некоторого времени t, при этом получатель позже извлекает его из B. Состояние готовится на A, сначала отделяя спины на A от спинов в оставшейся части цепочки. После подготовки ему разрешается взаимодействовать с состоянием в оставшейся части цепочки, которое изначально имеет состояние${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \rho _{A}}$${\displaystyle \sigma _{0}}$. Состояние спиновой цепочки с течением времени можно описать как . Из этого отношения мы можем получить состояние спинов, принадлежащих регистру B, отслеживая все другие состояния цепочки. ${\displaystyle R(t)=U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)}$

${\displaystyle \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]}$

Это дает отображение ниже, которое описывает, как состояние на A преобразуется в зависимости от времени, когда оно передается по квантовому каналу в B. U (t) - это просто некоторая унитарная матрица, которая описывает эволюцию системы как функцию времени.

${\displaystyle \rho _{A}\rightarrow {\mathcal {M}}(\rho _{A})\equiv \rho _{B}(t)={\mbox{Tr}}^{(B)}[U(t)(\rho _{A}\otimes \sigma _{0})U^{\dagger }(t)]}$

Однако есть несколько проблем с этим описанием квантового канала . Одно из предположений, связанных с использованием такого канала, состоит в том, что мы ожидаем, что состояния цепи не будут нарушены. Хотя состояние A может быть закодировано без нарушения цепочки, считывание состояния из B будет влиять на состояния остальной части спиновой цепочки. Таким образом, любое повторное изменение регистров A и B будет иметь неизвестное влияние на квантовый канал . Учитывая этот факт, определение возможностей этого сопоставления в целом не будет полезным, поскольку оно применимо только тогда, когда несколько копий цепочки работают параллельно. Чтобы вычислить значимые значения для этих мощностей, приведенная ниже простая модель позволяет точно вычислить мощности.

Решаемая модель [ править ]

Используется спиновая цепочка, которая состоит из цепочки частиц со спином 1/2, связанных ферромагнитным гейзенберговским взаимодействием , и описывается гамильтонианом :${\displaystyle H=-\sum _{\langle i,j\rangle }\hbar J_{ij}\left({\sigma }_{x}^{i}{\sigma }_{x}^{j}+{\sigma }_{y}^{i}{\sigma }_{y}^{j}+\gamma {\sigma }_{z}^{i}{\sigma }_{z}^{j}\right)-\sum _{i=1}^{N}\hbar B_{i}\sigma _{z}^{i}}$

Предполагается, что входной регистр A и выходной регистр B занимают первые k и последние k спинов вдоль цепочки, и что все спины вдоль цепочки подготовлены для перехода в состояние замедленного вращения в направлении z. Затем стороны используют все k своих спиновых состояний для кодирования / декодирования одного кубита . Мотивация для этого метода заключается в том, что если бы было разрешено использовать все k спинов, у нас был бы канал из k кубитов , который был бы слишком сложным, чтобы его можно было полностью проанализировать. Ясно, что более эффективный канал будет использовать все k спинов, но, используя этот неэффективный метод, можно аналитически посмотреть на результирующие карты.

Чтобы выполнить кодирование одного бита с использованием k доступных битов , определяется вектор с повышением скорости вращения , в котором все вращения находятся в состоянии замедления вращения, за исключением j-го, который находится в состоянии увеличения скорости вращения.${\displaystyle |j\rangle }$

${\displaystyle |{j}\rangle \equiv \left|\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \uparrow \downarrow \cdots \downarrow \right\rangle }$

Отправитель готовит свой набор из k входных спинов как:

${\displaystyle |\Psi \rangle _{A}\equiv \alpha \left|\Downarrow \right\rangle _{A}+\beta |\phi _{1}\rangle _{A}}$

где - состояние, в котором все позиции имеют спин вниз, и - суперпозиция всех возможных состояний с одним спином вверх. Используя этот ввод, можно найти состояние, которое описывает всю цепочку в данный момент времени t. Из такого состояния отслеживание Nk спинов, не принадлежащих получателю, как мы делали бы с более ранней моделью, оставляет состояние на B:${\displaystyle \left|\Downarrow \right\rangle }$${\displaystyle |\phi _{1}\rangle }$

${\displaystyle \rho _{B}(t)=(|\alpha |^{2}+(1-\eta )|\beta |^{2})\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|+\eta |\beta |^{2}|\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha \beta ^{*}\left|\Downarrow \right\rangle _{B}\langle \phi _{1}^{\prime }|+{\sqrt {\eta }}\alpha ^{*}\beta |\phi _{1}^{\prime }\rangle _{B}\left\langle \Downarrow \right|}$

где - константа, определяющая эффективность канала . Если мы представим состояния, в которых должен находиться один спин, и состояния, в которых все спины должны быть остановлены , это становится узнаваемым в результате применения канала демпфирования амплитуды , характеризуемого следующими операторами Крауса :${\displaystyle \eta }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{n}}$

${\displaystyle A_{0}=|0\rangle \langle 0|+{\sqrt {\eta }}|1\rangle \langle 1|}$;${\displaystyle A_{1}={\sqrt {1-\eta }}|0\rangle \langle 1|}$

Очевидно, что тот факт, что канал демпфирования амплитуды описывает передачу квантовых состояний по спиновой цепочке, происходит из того факта, что гамильтониан системы сохраняет энергию . Хотя энергия может быть распределена по мере того, как состояние с одним спином вверх передается по цепочке, спины в состоянии вниз не могут внезапно набирать энергию и переходить в состояния со спином вверх.

Емкости канала демпфирования амплитуды [ править ]

Описывая спин-цепочку как канал демпфирования амплитуды, можно вычислить различные емкости, связанные с каналом. Одним из полезных свойств этого канала, который используется для определения этих пропускных способностей, является тот факт, что два канала демпфирования амплитуды с эффективностью и могут быть объединены. Такое объединение дает новый канал эффективности .${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta '}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta '}$

Квантовая емкость [ править ]

Для расчета квантовой емкости карта представлена ​​следующим образом:${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\eta }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\equiv {\mbox{Tr}}_{C}[V\left(\rho \otimes |0\rangle _{C}\langle 0|\right)V^{\dagger }]\;.}$

Это представление карты получается добавлением вспомогательного гильбертова пространства к тому из . и введение оператора V, который работает с A и C. Также определен дополнительный канал, где вместо трассировки по C мы трассируем по A. Определяется операция перестановки S, которая преобразует A в C. Используя эту операцию, а также правило конкатенации каналов демпфирования амплитуды, показано, что для :${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{A}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }}$${\displaystyle \eta \geqslant 0.5}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {D}}}_{\eta }(\rho )=S{\mathcal {D}}_{(1-\eta )/\eta }\left({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho )\right)\;.}$

Это соотношение демонстрирует, что канал является деградируемым, что гарантирует аддитивность когерентной информации канала. Это означает, что квантовая емкость достигается при использовании одного канала.

Отображение демпфирования амплитуды применяется к общему входному состоянию, и из этого отображения энтропия фон Неймана на выходе находится как:

${\displaystyle S({\mathcal {D}}_{\eta }(\rho ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}\right)/2)\;,}$

где с состоянием и - член согласованности. Глядя на очищение состояния, обнаруживается, что:${\displaystyle p\in [0,1]}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |\gamma |\leqslant {\sqrt {(1-p)p}}}$

${\displaystyle S(({\mathcal {D}}_{\eta }\otimes 1_{anc})(\Phi ))=H_{2}(\left(1+{\sqrt {(1-2\,(1-\eta )\,p)^{2}+4\,(1-\eta )\,|\gamma |^{2}}}\right)/2)}$

Для того , чтобы максимизировать квантовый потенциал , мы выбираем , что ( в силу вогнутости от энтропии , что дает следующие значения в качестве квантового потенциала :${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle Q\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;}$

Найти квантовую емкость для несложно, так как квантовая емкость обращается в нуль как прямой результат теоремы о запрете клонирования . Тот факт, что каналы могут быть составлены таким образом, означает, что квантовая емкость канала должна увеличиваться в зависимости от .${\displaystyle \eta <0.5}$${\displaystyle \eta }$

Классическая способность с помощью запутывания [ править ]

Чтобы вычислить емкость с помощью запутывания, мы должны максимизировать квантовую взаимную информацию . Это обнаруживается путем добавления входной энтропии сообщения к полученной согласованной информации в предыдущем разделе. Он снова максимален для . Таким образом, классическая пропускная способность с использованием сцепленности оказывается равной${\displaystyle \gamma =0}$

${\displaystyle C_{E}\equiv \max _{p\in [0,1]}\;{\Big \{}\;H_{2}(p)+H_{2}(\eta \,p)-H_{2}((1-\eta )\,p)\;{\Big \}}\;}$

Классическая емкость [ править ]

Теперь мы вычисляем C1, то есть максимальный объем классической информации, который может быть передан с помощью несвязанного кодирования по параллельным каналам. Эта величина действует как нижняя граница классической емкости C. Чтобы найти C1, классическая емкость максимизируется при n = 1. Мы рассматриваем ансамбль сообщений, каждое из которых имеет вероятность . Информация Holevo оказалась следующей:${\displaystyle \xi _{k}}$

${\displaystyle \chi \equiv H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p)^{2}+4\,\eta \,|\gamma |^{2}}}}{2}}\right)-\sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\;}$

В этом выражении и - совокупность и член согласованности, как определено ранее, а и - их средние значения.${\displaystyle p_{k}}$${\displaystyle \gamma _{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma }$

Чтобы найти C1, сначала находится верхняя граница для C1, а затем находится набор , удовлетворяющий этой границе. Как и раньше, устанавливается равным 0, чтобы максимизировать первый член информации Holevo . Отсюда мы используем тот факт, что двоичная энтропия убывает относительно, а также тот факт, что он выпуклый относительно z, чтобы найти следующее неравенство:${\displaystyle p_{k},\gamma _{k},\xi _{k}}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle H_{2}(z)}$${\displaystyle |1/2+z|}$${\displaystyle H_{2}(1+{\sqrt {1-z^{2}}}/2)}$

${\displaystyle \sum _{k}\xi _{k}H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {(1-2\,\eta \,p_{k})^{2}+4\,\eta \,|\gamma _{k}|^{2}}}}{2}}\right)\geqslant H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )(\sum _{k}\xi _{k}p_{k})^{2}}}}{2}}\right)}$

Путем максимизации по всем вариантам p находится следующая верхняя граница для C1:

${\displaystyle C_{1}\leqslant \max _{p\in [0,1]}{\Big \{}H_{2}\left(\eta \,p\right)-H_{2}\left({\frac {1+{\sqrt {1-4\,\eta \,(1-\eta )\,p^{2}}}}{2}}\right){\Big \}}\;}$

Эта верхняя граница оказывается значение для C1, а также параметры, реализующие этой границы , и .${\displaystyle \xi _{k}=1/d\,\!}$${\displaystyle p_{k}=p\,\!}$${\displaystyle \gamma _{k}=e^{2\pi ik/d}{\sqrt {(1-p)p}}}$

Численный анализ емкостей [ править ]

Используя выражения для различных мощностей, можно провести их численный анализ. При значении 1 три емкости максимизируются, что приводит к тому, что квантовая и классическая емкости равны 1, а классическая емкость, поддерживаемая сцеплением, равна 2. Как упоминалось ранее, квантовая емкость равна 0 для любого значения меньше 0,5, в то время как классическая емкость пропускная способность и классическая пропускная способность с помощью запутывания достигают 0 для 0. Когда меньше 0,5, слишком много информации теряется в окружающей среде для отправки квантовой информации принимающей стороне.${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \eta }$

Эффективность спиновых цепей как квантового канала связи [ править ]

Вычислив пропускную способность канала демпфирования амплитуды как функцию эффективности канала, можно проанализировать эффективность такого канала как функцию расстояния между местом кодирования и местом декодирования. Бозе продемонстрировал, что эффективность падает в зависимости от , где r - позиция декодирования, а s - позиция кодирования. Из-за того, что квантовая емкость исчезает менее чем на 0,5, это означает, что расстояние между отправителем и получателем должно быть очень коротким для передачи любой квантовой информации . Следовательно, длинные спиновые цепочки не подходят для передачи квантовой информации .${\displaystyle |r-s|^{-2/3}}$${\displaystyle \eta }$

Будущее исследование [ править ]

Возможности для будущих исследований в этой области будут включать методы, с помощью которых спин-цепные взаимодействия могут использоваться как более эффективный канал. Это будет включать оптимизацию значений${\displaystyle \eta }$путем более внимательного изучения взаимодействия между спинами и выбора взаимодействий, которые положительно влияют на эффективность. Такая оптимизация может позволить более эффективную передачу квантовых данных на расстояние. Альтернативой этому могло бы быть разделение цепочки на более мелкие сегменты и использование большого количества спиновых цепочек для передачи квантовых данных. Это было бы эффективно, поскольку спиновые цепочки сами по себе хорошо передают квантовые данные на короткие расстояния. Вдобавок к этому, можно было бы увеличить квантовую емкость, разрешив бесплатную двустороннюю классическую связь между отправителем и получателем и используя квантовые эффекты, такие как квантовая телепортация.. Другие области исследования будут включать анализ кодирования, которое использует полные k спинов регистров, поскольку это позволит передавать больше информации за раз.

Внешние ссылки [ править ]

• Giovannetti, V .; Фацио, Р. (2005). «Описание информационной емкости спин-цепных корреляций». Physical Review . 71 (3): 032314. Arxiv : колич-фот / 0405110 . Bibcode : 2005PhRvA..71c2314G . DOI : 10.1103 / PhysRevA.71.032314 .
• Бозе, С. (2003). «Квантовая коммуникация через немодулированную спиновую цепочку». Письма с физическим обзором . 91 (20): 207901. Arxiv : колич-фот / 0212041 . Bibcode : 2003PhRvL..91t7901B . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.91.207901 .
• Майкл А. Нильсен, Исаак Л. Чуанг, «Квантовые вычисления и квантовая информация»
• Уайлд, Марк М. (2017), Квантовая теория информации , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W , doi : 10.1017 / 9781316809976.001