Анализ фракталов или исчисление фракталов - это обобщение исчисления на гладких многообразиях на исчисление на фракталах . Фрактальное исчисление или исчисление на фрактале было сформулировано Парватом и Гангалом в основополагающей статье, основанной на обычном исчислении, которая называется F <\ alpha> -Calculus. Определены дифференциальные уравнения на фрактальных множествах и кривых.
Теория описывает динамические явления, происходящие на объектах, моделируемых фракталами. Он изучает такие вопросы, как «как тепло распространяется во фрактале?» и "Как фрактал вибрирует?"
В гладком случае оператором, который чаще всего встречается в уравнениях, моделирующих эти вопросы, является лапласиан , поэтому отправной точкой теории анализа фракталов является определение лапласиана на фракталах. Оказывается, это не полный дифференциальный оператор.в обычном смысле слова, но обладает многими желаемыми свойствами. Существует несколько подходов к определению лапласиана: вероятностный, аналитический или теоретико-мерный. Были определены случайные процессы и случайные величины и процессы на полностью несвязных фрактальных множествах. Определены интегралы и производные функций на пространствах тартана Кантора. Определены нелокальные производные на фрактальных канторовских множествах. Свойства масштабирования были даны как для локальных, так и для нелокальных фрактальных производных. Решаются и сравниваются локальные и нелокальные фрактальные дифференциальные уравнения. Также предлагаются родственные физические модели. Обобщенные преобразования Лапласа и Сумуду включают функции с полностью несвязанными фрактальными множествами на реальной прямой. Линейные дифференциальные уравнения на канторовских множествах решаются с использованием фрактальных преобразований Сумуду. Получено случайное движение частицы по фрактальной кривой с использованием подхода Ланжевена. Это включает определение новой скорости в терминах массы фрактальной кривой, как это определено в недавней работе. Геометрия фрактальной кривой играет важную роль в этом анализе. Уравнение Ланжевена с конкретной моделью шума было предложено и решено с использованием методов фрактального исчисления. Было сформулировано новое исчисление фрактальных кривых, таких как кривая фон Коха. Уравнение Фоккера – Планка на фрактальных кривых было получено, исходя из уравнения Чапмана – Колмогорова на фрактальных кривых.
Смотрите также
Рекомендации
- Кристоф Бандт; Зигфрид Граф; Мартина Захле (2000). Фрактальная геометрия и стохастика. II . Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6215-7.
- Джун Кигами (2001). Анализ на фракталы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-79321-6.
- Роберт С. Стрихарц (2006). Дифференциальные уравнения на фракталах . Принстон. ISBN 978-0-691-12542-8.
- Павел Экснер; Джонатан П. Китинг; Питер Кучмент; Тошиказу Сунада и Александр Тепляев (2008). Анализ на графах и ее приложения: Исаак Ньютон Института математических наук, Кембридж, Великобритания, 8-June 29 января 2007 года . Книжный магазин AMS. ISBN 978-0-8218-4471-7.
Внешние ссылки
- Анализ фракталов , Роберт С. Стрихарц - статья в уведомлениях AMS
- Университет Коннектикута - Анализ фракталов Исследовательские проекты
- Исчисление на фрактальных подмножествах действительной прямой - I: формулировка
- Исчисление на фрактальных подмножествах вещественной прямой II: сопряжение с обычным исчислением
- Исчисление на фрактальных кривых в $ R ^ {n} $
- Уравнение Фоккера – Планка на фрактальных кривых.
- Случайное блуждание и широкие распределения на фрактальных кривых
- Уравнение Ланжевена на фрактальных кривых
- Фрактальное исчисление функций на пространствах Кантора Тартана
- Стохастические дифференциальные уравнения на фрактальных множествах
- Суб- и супердиффузия на декорациях Кантора: за гранью парадокса
- Нелокальные интегралы и производные на фрактальных множествах с приложениями
- Фрактальное логистическое уравнение
- Преобразование Сумуду во фрактальном исчислении
- О третьем законе Кеплера о фрактальных пространствах времени
- Диффузия на канторовских множествах со средним ξ
- Случайные величины и устойчивые распределения на фрактальных канторовых множествах