Антисимметризатор

В квантовой механике , antisymmetrizer (также известный как антисимметризации оператора ^[1] ) является линейным оператором , что делает волновую функцию N идентичных фермионов антисимметричных при обмене координат любой пары фермионов. После применения волновая функция удовлетворяет принципу исключения Паули . Поскольку является оператором проекции , применение антисимметризатора к волновой функции, которая уже является полностью антисимметричной, не имеет никакого эффекта, действуя как тождественный оператор .${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Математическое определение [ править ]

Рассмотрим волновую функцию, зависящую от пространственных и спиновых координат N фермионов:

${\displaystyle \Psi (1,2,\ldots ,N)\quad {\text{with}}\quad i\leftrightarrow (\mathbf {r} _{i},\sigma _{i}),}$

где вектор положения r _i частицы i является вектором in, а σ _i принимает 2 s +1 значений, где s - полуцелый собственный спин фермиона. Для электронов s = 1/2 и σ может иметь два значения («спин вверх»: 1/2 и «спин вниз»: -1/2). Предполагается, что положения координат в обозначении имеют вполне определенный смысл. Например, 2-фермионная функция Ψ (1,2) в общем случае не будет такой же, как Ψ (2,1). Это означает, что в общем и поэтому мы можем осмысленно определить оператор транспозиции, который меняет местами координаты частицы${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Psi (1,2)-\Psi (2,1)\neq 0}$ ${\displaystyle {\hat {P}}_{ij}}$я и j . В общем случае этот оператор не будет равен оператору идентичности (хотя в особых случаях это может быть).

Транспозиция имеет четность (также известный как подпись) -1. Принцип Паули постулирует, что волновая функция одинаковых фермионов должна быть собственной функцией оператора транспозиции с его четностью в качестве собственного значения.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}_{ij}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N{\big )}&\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (i),\ldots ,\pi (j),\ldots ,\pi (N){\big )}\\&\equiv \Psi (1,2,\ldots ,j,\ldots ,i,\ldots ,N)\\&=-\Psi (1,2,\ldots ,i,\ldots ,j,\ldots ,N).\end{aligned}}}$

Здесь мы связали оператор транспонирования с перестановкой координат π, которая действует на множество N координат. В этом случае π = ( ij ), где ( ij ) - обозначение цикла для перестановки координат частицы i и j .${\displaystyle {\hat {P}}_{ij}}$

Транспозиции могут быть составлены (применены последовательно). Это определяет продукт между транспозициями, который является ассоциативным . Можно показать, что произвольная перестановка N объектов может быть записана как произведение транспозиций, и что количество перестановок в этом разложении имеет фиксированную четность. То есть либо перестановка всегда разлагается на четное количество транспозиций (перестановка называется четной и имеет четность +1), либо перестановка всегда разбивается на нечетное количество транспозиций, и тогда это нечетная перестановка с четностью −1. Обозначая четность произвольной перестановки π через (−1) ^π , ^{получаем} , что антисимметричная волновая функция удовлетворяет

${\displaystyle {\hat {P}}\Psi {\big (}1,2,\ldots ,N{\big )}\equiv \Psi {\big (}\pi (1),\pi (2),\ldots ,\pi (N){\big )}=(-1)^{\pi }\Psi (1,2,\ldots ,N),}$

где мы связали линейный оператор с перестановкой π.${\displaystyle {\hat {P}}}$

Набор всего N ! Перестановки с ассоциативным продуктом: «применить одну перестановки после другой», представляет собой группа, известная как группа перестановок или симметрической группу , обозначаемую S _N . Определим антисимметризатор как

${\displaystyle {\mathcal {A}}\equiv {\frac {1}{N!}}\sum _{P\in S_{N}}(-1)^{\pi }{\hat {P}}.}$

Свойства антисимметризатора [ править ]

В теории представлений конечных групп антисимметризатор - хорошо известный объект, потому что набор четностей образует одномерное (и, следовательно, неприводимое) представление группы перестановок, известное как антисимметричное представление . Поскольку представление одномерно, набор четностей формирует характер антисимметричного представления. Антисимметризатор на самом деле является оператором проекции характера и является квазиидемпотентным ,${\displaystyle \{(-1)^{\pi }\}}$

Отсюда следует, что для любой N -частичной волновой функции Ψ (1, ..., N ) имеем

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Psi (1,\ldots ,N)={\begin{cases}&0\\&\Psi '(1,\dots ,N)\neq 0.\end{cases}}}$

Либо Ψ не имеет антисимметричной составляющей, а затем антисимметричный компонент проецируется на ноль, либо он имеет единицу, а затем антисимметричный компонент проецирует эту антисимметричную составляющую '. Антисимметризатор несет левое и правое представление группы:

${\displaystyle {\hat {P}}{\mathcal {A}}={\mathcal {A}}{\hat {P}}=(-1)^{\pi }{\mathcal {A}},\qquad \forall \pi \in S_{N},}$

с оператором, представляющим перестановку координат π. Теперь для любой N -частичной волновой функции Ψ (1, ..., N ) с ненулевой антисимметричной компонентой${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle {\hat {P}}{\mathcal {A}}\Psi (1,\ldots ,N)\equiv {\hat {P}}\Psi '(1,\ldots ,N)=(-1)^{\pi }\Psi '(1,\ldots ,N),}$

показывая, что ненулевой компонент действительно антисимметричен.

Если волновая функция симметрична относительно любой перестановки нечетной четности, она не имеет антисимметричной компоненты. Действительно, предположим, что перестановка π, представленная оператором , имеет нечетную четность и что Ψ симметрично, тогда${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle {\hat {P}}\Psi =\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}}{\hat {P}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow -{\mathcal {A}}\Psi ={\mathcal {A}}\Psi \Longrightarrow {\mathcal {A}}\Psi =0.}$

В качестве примера применения этого результата мы предполагаем, что Ψ - спин-орбитальное произведение. Предположим далее, что спин-орбиталь встречается дважды («дважды занята») в этом продукте, один раз с координатой k и один раз с координатой q . Тогда произведение симметрично относительно транспонирования ( k , q ) и, следовательно, обращается в нуль. Обратите внимание, что этот результат дает оригинальную формулировку принципа Паули : никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор квантовых чисел (находиться на одной спин-орбитали).

Перестановки одинаковых частиц унитарны (эрмитово сопряженное соединение равно обратному к оператору), и поскольку π и π ⁻¹ имеют одинаковую четность, отсюда следует, что антисимметризатор эрмитов,

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\dagger }={\mathcal {A}}.}$

Антисимметризатор коммутирует с любой наблюдаемой (эрмитов оператор, соответствующий физической - наблюдаемой - величине)${\displaystyle {\hat {H}}\,}$

${\displaystyle [{\mathcal {A}},{\hat {H}}]=0.}$

Если бы было иначе, измерение могло бы различать частицы, вопреки предположению, что антисимметризатор влияет только на координаты неразличимых частиц.${\displaystyle {\hat {H}}\,}$

Связь с определителем Слейтера [ править ]

В частном случае, когда антисимметризуемая волновая функция является произведением спин-орбиталей

${\displaystyle \Psi (1,2,\ldots ,N)=\psi _{n_{1}}(1)\psi _{n_{2}}(2)\cdots \psi _{n_{N}}(N)}$

определитель Слейтера создаются операционной antisymmetrizer на продукте спин-орбитали, как показано ниже:

${\displaystyle {\sqrt {N!}}\ {\mathcal {A}}\Psi (1,2,\ldots ,N)={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{n_{1}}(1)&\psi _{n_{1}}(2)&\cdots &\psi _{n_{1}}(N)\\\psi _{n_{2}}(1)&\psi _{n_{2}}(2)&\cdots &\psi _{n_{2}}(N)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\psi _{n_{N}}(1)&\psi _{n_{N}}(2)&\cdots &\psi _{n_{N}}(N)\\\end{vmatrix}}}$

Соответствие непосредственно следует из формулы Лейбница для определителей , которая имеет вид

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )=\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }B_{1,\pi (1)}\cdot B_{2,\pi (2)}\cdot B_{3,\pi (3)}\cdot \,\cdots \,\cdot B_{N,\pi (N)},}$

где B - матрица

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1,1}&B_{1,2}&\cdots &B_{1,N}\\B_{2,1}&B_{2,2}&\cdots &B_{2,N}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\B_{N,1}&B_{N,2}&\cdots &B_{N,N}\\\end{pmatrix}}.}$

Чтобы увидеть соответствие, мы замечаем, что метки фермионов, переставляемые членами антисимметризатора, маркируют разные столбцы (вторые индексы). Первые индексы - это орбитальные индексы, n ₁ , ..., n _N, обозначающие строки.

Пример [ править ]

По определению антисимметризатора

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)=&{\frac {1}{6}}{\Big (}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)+\psi _{a}(3)\psi _{b}(1)\psi _{c}(2)+\psi _{a}(2)\psi _{b}(3)\psi _{c}(1)\\&{}-\psi _{a}(2)\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{a}(3)\psi _{b}(2)\psi _{c}(1)-\psi _{a}(1)\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Big )}.\end{aligned}}}$

Рассмотрим определитель Слейтера

${\displaystyle D\equiv {\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{vmatrix}\psi _{a}(1)&\psi _{a}(2)&\psi _{a}(3)\\\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}.}$

К расширению Лапласа вдоль первого ряда D

${\displaystyle D={\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(1){\begin{vmatrix}\psi _{b}(2)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(2)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(2){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(3)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(3)\end{vmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\begin{vmatrix}\psi _{b}(1)&\psi _{b}(2)\\\psi _{c}(1)&\psi _{c}(2)\end{vmatrix}},}$

чтобы

${\displaystyle {\begin{aligned}D=&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(1){\Big (}\psi _{b}(2)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(2){\Big )}-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(2){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(3)-\psi _{b}(3)\psi _{c}(1){\Big )}\\&{}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}\psi _{a}(3){\Big (}\psi _{b}(1)\psi _{c}(2)-\psi _{b}(2)\psi _{c}(1){\Big )}.\end{aligned}}}$

Сравнивая термины, мы видим, что

${\displaystyle D={\sqrt {6}}\ {\mathcal {A}}\psi _{a}(1)\psi _{b}(2)\psi _{c}(3).}$

Межмолекулярный антисимметризатор [ править ]

Часто встречается волновая функция формы произведения, где полная волновая функция не антисимметрична, но факторы антисимметричны,${\displaystyle \Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{A}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})=\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})}$

а также

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{B}\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})=\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B}).}$

Здесь антисимметризует первые частицы N _A и антисимметризует второй набор частиц N _B. Операторы , входящие в эти два antisymmetrizers представляют элементы подгруппы S _{N A} и S _{N B} , соответственно, S _{N A + N B} . ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{A}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}^{B}}$

Как правило, один отвечает таким частично антисимметричные волновые функции в теории межмолекулярных сил , где находится электронная волновая функция молекулы А и является волновая функция молекулы B . Когда A и B взаимодействуют, принцип Паули требует антисимметрии полной волновой функции, в том числе при межмолекулярных перестановках.${\displaystyle \Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})}$${\displaystyle \Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})}$

Полная система может быть антисимметрична с помощью полного антисимметризатора, который состоит из ( N _A + N _B )! члены в группе S _{N + N B} . Однако таким образом нельзя использовать уже имеющуюся частичную антисимметрию. Более экономично использовать тот факт, что произведение двух подгрупп также является подгруппой, и рассматривать левые смежные классы этой группы продуктов в S _{N A + N B} :${\displaystyle {\mathcal {A}}^{AB}}$

${\displaystyle S_{N_{A}}\otimes S_{N_{B}}\subset S_{N_{A}+N_{B}}\Longrightarrow \forall \pi \in S_{N_{A}+N_{B}}:\quad \pi =\tau \pi _{A}\pi _{B},\quad \pi _{A}\in S_{N_{A}},\;\;\pi _{B}\in S_{N_{B}},}$

где τ - представитель левого класса смежности. С

${\displaystyle (-1)^{\pi }=(-1)^{\tau }(-1)^{\pi _{A}}(-1)^{\pi _{B}},}$

мы можем написать

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{AB}={\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}{\mathcal {A}}^{A}{\mathcal {A}}^{B}\quad {\hbox{with}}\quad {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}=\sum _{T=1}^{C_{AB}}(-1)^{\tau }{\hat {T}},\quad C_{AB}={\binom {N_{A}+N_{B}}{N_{A}}}.}$

Оператор представляет собой представителя смежного класса τ (перестановку межмолекулярных координат). Очевидно, что у межмолекулярного антисимметризатора есть фактор N _A ! N _B ! меньше членов, чем полный антисимметризатор. Ну наконец то,${\displaystyle {\hat {T}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})&\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B})\\&={\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}\Psi _{A}(1,2,\dots ,N_{A})\Psi _{B}(N_{A}+1,N_{A}+2,\dots ,N_{A}+N_{B}),\end{aligned}}}$

так что мы видим, что достаточно действовать, если волновые функции подсистем уже антисимметричны.${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}^{AB}}$

См. Также [ править ]

• Определитель Слейтера
• Идентичные частицы

Ссылки [ править ]