Алгеброид Атьи

В математике алгеброид Атьи или последовательность Атьи главного расслоения над многообразием , где есть группа Ли , является алгеброидом ${\ Displaystyle г}$ Ли калибровочного группоида . В явном виде это задается следующей короткой точной последовательностью векторных расслоений над :${\ Displaystyle Р}$ ${\ Displaystyle М}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle М}$

${\ displaystyle 0 \ to P \ times _ {G} {\ mathfrak {g}} \ to TP / G \ to TM \ to 0.}$

Он назван в честь Майкла Атья , который ввел конструкцию для изучения теории существования сложных аналитических связей . ^[1] Это важный пример интегрируемости (транзитивных) алгеброидов Ли, и он имеет приложения в калибровочной теории и геометрической механике .

Определения

Как последовательность

Для любого расслоения над многообразием дифференциал проекции определяет короткую точную последовательность${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle М}$ ${\ Displaystyle д \ пи}$${\ Displaystyle \ пи: P \ к М}$

${\ displaystyle 0 \ to VP \ to TP {\ xrightarrow {d \ pi}} \ pi ^ {*} TM \ to 0}$

векторных расслоений над , где вертикальный пучок является ядром .${\ Displaystyle Р}$ ${\ Displaystyle ВП}$${\ Displaystyle д \ пи}$

Если является главным -расслоением, то группа действует на векторные расслоения в этой последовательности. Кроме того, поскольку вертикальное расслоение изоморфно тривиальному векторному расслоению , где алгебра Ли , его фактор по диагональному действию является присоединенным расслоением . В заключение, частное приведенной выше точной последовательности дает короткую точную последовательность${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle г}$ ${\ Displaystyle ВП}$${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}\to P}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle 0\to P\times _{G}{\mathfrak {g}}\to TP/G\to TM\to 0}$$

${\displaystyle P/G\cong M}$

${\displaystyle P}$

Как алгеброид Ли

Напомним, что любое главное -расслоение имеет связанный группоид Ли , называемый его калибровочным группоидом , объекты которого являются точками , а морфизмы которого являются элементами частного по диагональному действию , с источником и целью, заданными двумя проекциями . По определению, алгеброид Атьи является алгеброидом Ли своего калибровочного группоида.${\displaystyle G}$${\displaystyle P\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P\times P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A\to M}$

Отсюда следует, что , а якорное отображение задается дифференциалом , который является -инвариантным. Наконец, ядро ​​якоря в точности изоморфно .${\displaystyle A=TP/G}$${\displaystyle A\to TM}$${\displaystyle d\pi :TP\to TM}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$

Последовательность Атьи дает короткую точную последовательность -модулей, взяв пространство сечений векторных расслоений. Точнее, сечения алгеброида Атьи есть алгебра Ли -инвариантных векторных полей на под скобкой Ли , которая является расширением алгебры Ли векторных полей на -инвариантными вертикальными векторными полями. В алгебраическом или аналитическом контексте часто удобно рассматривать последовательность Атьи как точную последовательность пучков локальных сечений векторных расслоений.${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$

Примеры

• алгеброид Атьи главного -расслоения есть алгебра Ли${\displaystyle G}$${\displaystyle G\to *}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to *}$
• алгеброид Атьи главного -расслоения является касательным алгеброидом${\displaystyle \{e\}}$${\displaystyle M\to M}$${\displaystyle TM\to M}$
• при заданном транзитивном -действии на , алгеброид Атьи главного расслоения , со структурной группой - группой изотропии действия в произвольной точке, является алгеброидом действия${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G\to M}$${\displaystyle H\subseteq G}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}\times M\to M}$
• алгеброид Атьи каркасного расслоения векторного расслоения - это общий линейный алгеброид (иногда также называемый алгеброидом Атьи )${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \mathrm {Der} (E)\to M}$${\displaystyle E}$

Характеристики

Транзитивность и интегрируемость

Алгеброид Атьи главного -расслоения всегда${\displaystyle G}$${\displaystyle P\to M}$

• транзитивным (поэтому его единственная орбита является всей, а его изотропное расслоение алгебры Ли является ассоциированным расслоением )${\displaystyle M}$${\displaystyle P\times _{G}{\mathfrak {g}}}$
• интегрируемый (до калибровочного группоида )${\displaystyle P}$

Обратите внимание, что эти два свойства независимы. Интегрируемые алгеброиды Ли не обязательно должны быть транзитивными; и наоборот, транзитивные алгеброиды Ли (часто называемые абстрактными последовательностями Атьи ) не обязательно интегрируемы.

Хотя любой транзитивный группоид Ли изоморфен некоторому калибровочному группоиду, не все транзитивные алгеброиды Ли являются алгеброидами Атьи некоторого главного расслоения. Интегрируемость - ключевое свойство, позволяющее различать два понятия: транзитивный алгеброид Ли интегрируем тогда и только тогда, когда он изоморфен алгеброиду Атьи некоторого главного расслоения.

Отношения со связями

Правые разбиения последовательности Атьи главного расслоения находятся в биективном соответствии с главными связностями на . Точно так же кривизны таких соединений соответствуют двум формам , определяемым формулой${\displaystyle \sigma :TM\to A}$${\displaystyle P\to M}$${\displaystyle P\to M}$${\displaystyle \Omega _{\sigma }\in \Omega ^{2}(M,P[{\mathfrak {g}}])}$

$${\displaystyle \Omega _{\sigma }(X,Y):=[\sigma (X),\sigma (Y)]_{A}-\sigma ([X,Y]_{{\mathfrak {X}}(M)})}$$

Морфизмы

Любой морфизм главных расслоений индуцирует алгеброидный морфизм Ли между соответствующими алгеброидами Атьи.${\displaystyle \phi :P\to P'}$${\displaystyle d\phi :TP/G\to TP/G'}$

использованная литература

• Майкл Ф. Атия (1957), «Сложные аналитические соединения в расслоениях», Trans. амер. Мат. соц. , 85 : 181–207, doi : 10.1090/s0002-9947-1957-0086359-5.
• Януш Грабовски; Алексей Котов и Норберт Пончин (2011), «Геометрические структуры, закодированные в структуре Ли алгеброида Атьи», Transformation Groups , 16 : 137–160, arXiv : 0905.1226 , doi : 10.1007/s00031-011-9126-9, доступен как arXiv:0905.1226 .
• Кирилл Маккензи (1987), Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии , конспекты лекций Лондонского математического общества, 124 , CUP, ISBN 978-0-521-34882-9.
• Кирилл Маккензи (2005), Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли , конспекты лекций Лондонского математического общества, 213 , CUP, ISBN 978-0-521-49928-6.
• Том Местдаг и Баво Лангерок (2005), «Алгеброидная структура Ли для неголономных систем», J. Phys. А: Математика. Gen. , 38 : 1097–1111, arXiv : math/0410460 , Bibcode : 2005JPhA...38.1097M , doi : 10.1088/0305-4470/38/5/011.