Ложь группоид

В математике , группоидом Ли является группоидом где набор из объектов и множество из морфизмов оба многообразия , операции исходные и целевые${\ displaystyle \ operatorname {Ob}}$${\ displaystyle \ operatorname {Mor}}$

${\ displaystyle s, t: \ operatorname {Mor} \ to \ operatorname {Ob}}$

являются погружениями , и все операции с категориями (источник и цель, композиция, карта назначения идентичности и инверсия) выполняются плавно.

Группоид Ли, таким образом, можно рассматривать как «многообъектное обобщение» группы Ли , так же как группоид - это многообъектное обобщение группы . Соответственно, в то время как группы Ли обеспечивают естественную модель для (классических) непрерывных симметрий , группоиды Ли часто используются в качестве модели (и возникают из) более общих, точечно-зависимых симметрий.

Примеры [ править ]

• Группоиды Ли с одним объектом - это то же самое, что группы Ли. Соответственно, теория группоидов Ли включает теорию групп Ли.
• Для любого многообразия существует группоид Ли, называемый парным группоидом , с ровно одним морфизмом от любого объекта к любому другому.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ times M \ rightrightarrows M}$
• Для данной группы Ли, действующей на многообразии , существует группоид Ли , называемый группоидом действия или трансляционным группоидом , с одним морфизмом для каждой тройки с .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle G \ times M \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle g \ in G, x, y \ in M}$${\ displaystyle gx = y}$
• Для любого векторного расслоения существует группоид Ли , называемый общим линейным группоидом , с морфизмами между слоями и .${\ displaystyle E \ to M}$${\ Displaystyle GL (E) \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle x, y \ in M}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle E_ {y}}$
• Любое главное расслоение со структурной группой G определяет группоид Ли , где G действует на пары покомпонентно, называемый калибровочным группоидом . Умножение определяется через совместимых представителей, как в парном группоиде.${\ displaystyle P \ to M}$${\ displaystyle (P \ times P) / G \ rightrightarrows M}$

Транзитивные группоиды Ли [ править ]

Калибровочный группоид представляет собой типичный пример широкого класса группоидов Ли, транзитивных. В самом деле, можно показать, что любой транзитивный группоид Ли (т. Е. Такой, что между любыми двумя объектами существует хотя бы морфизм) изоморфен калибровочному группоиду некоторого главного расслоения.

Например, первые два приведенных выше примера тривиально транзитивны и возникают, соответственно, из главного G-расслоения и из главного -расслоения . Группоид действия транзитивен тогда и только тогда, когда действие группы транзитивно, и в этом случае оно возникает из главного расслоения со структурной группой - группой изотропии (в произвольной точке). Общий линейный группоид E также транзитивен и возникает из расслоения реперов .${\ displaystyle G \ to {*}}$${\ Displaystyle \ {е \}}$${\ displaystyle M \ to M}$${\ displaystyle G \ times M \ rightrightarrows M}$${\ displaystyle G \ to M}$ ${\ displaystyle Fr (E) \ to M}$

В качестве менее тривиального примера соответствия между транзитивными группоидами Ли и главными расслоениями рассмотрим фундаментальный группоид (связного) гладкого многообразия M. Это, естественно, топологический группоид, который к тому же транзитивен; видно, что он изоморфен калибровочному группоиду универсального накрытия M. Соответственно, наследует гладкую структуру, которая превращает его в группоид Ли.${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (М)}$${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (М)}$${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (М)}$

Свойства и связанные понятия [ править ]

Тот факт, что исходная и целевая карты группоида Ли являются гладкими погружениями, имеет некоторые непосредственные последствия:${\ Displaystyle G \ rightrightarrows M}$

• s-слои , t-слои и множество составных морфизмов являются подмногообразиями;${\ Displaystyle s ^ {- 1} (х) \ substeq G}$${\displaystyle t^{-1}(x)\subseteq G}$${\displaystyle G^{(2)}\subseteq G\times G}$
• группы изотропии являются группами Ли;${\displaystyle G_{x}}$
• орбиты - это погруженные подмногообразия;${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\subseteq M}$
• s-слой в точке является главным расслоением над орбитой в этой точке.${\displaystyle s^{-1}(x)}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$

Морфизмы и подгруппоиды [ править ]

Ли подгруппоида группоида Ли является подгруппоидом с дополнительным требованием, является погруженным Подмногообразием.${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle H\rightrightarrows N}$${\displaystyle H\subseteq G}$

Ли Группоид морфизма между двумя группоидами Ли и является группоид морфизма (т.е. функтор из G в H, явно задается два карт ), где оба F и F являются гладкими.${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle H\rightrightarrows N}$${\displaystyle F:G\to H,f:M\to N}$

Действия и представления [ править ]

Напомним, что действие группоида на многообразии P вдоль функции определяется через набор отображений для каждого морфизма между ними . Соответственно, действие группоида Ли на многообразии P вдоль гладкого отображения состоит из действия группоида, где отображения гладкие. Когда является группоидом Ли над точкой, восстанавливаются стандартные действия группы Ли .${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)}$${\displaystyle G}$

Точно так же представление группоида Ли состоит из действия группоида Ли на векторном расслоении , такого что действие послойно линейно, т.е. каждая биекция является линейным изоморфизмом. Эквивалентно представление on можно описать как морфизм группоида Ли из в общий линейный группоид .${\displaystyle \pi :E\to M}$${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E}$${\displaystyle G}$${\displaystyle GL(E)}$

В частности, когда является группоидом Ли над точкой, понятие представления восстанавливает понятие представления группы Ли . Более того, представления транзитивных группоидов Ли возникают из представлений их групп изотропии с помощью конструкции расслоения фреймов § Ассоциированные векторные расслоения .${\displaystyle G}$

Дифференцируемые когомологии [ править ]

Понятие дифференцируемых когомологий групп Ли естественным образом обобщается и на группоиды Ли. Точнее, дифференцируемые когомологии группоида Ли с коэффициентами в представлении - это когомологии подходящего коцепного комплекса . Его определение опирается на симплициальных структуры нерва из , рассматривается как категория.${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle (C^{n}(E,M),d^{n})}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Алгеброид Ли группоида Ли [ править ]

Любой группоид Ли имеет ассоциированный алгеброид Ли , полученный с помощью конструкции, аналогичной той, которая связывает алгебру Ли с любой группой Ли. В самом деле, при данном рассмотрении вертикальное расслоение относительно исходной карты ограничивается элементами, касающимися тождеств. Такое векторное расслоение наделяется структурой алгеброида Ли, отождествляя его секцию с левоинвариантными векторными полями на G и перемещая их скобку Ли в A. Наконец, карта привязки задается дифференциалом целевой карты.${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle A:=\ker(ds)_{\mid M}\to M}$${\displaystyle A\to TM}$

Соответствие группы Ли – алгебры, обобщенное на некоторые из них, распространяется также на группоиды Ли: первые две теоремы Ли (также известные как теорема о подгруппах – подалгебрах и теорема о гомоморфизмах) действительно могут быть легко адаптированы к этой ситуации. Однако аналога третьей теоремы Ли не существует , поскольку существуют примеры алгеброидов Ли, не допускающих интегрирующего группоида Ли. Препятствие к существованию такого интегрирования зависит от топологии G. ^[1]

Эквивалентность Мориты [ править ]

Как обсуждалось выше, стандартное понятие (изо) морфизма группоидов (рассматриваемых как функторы между категориями ) естественным образом ограничивается группоидами Ли. Однако существует более грубое обозначение эквивалентности, называемое эквивалентностью Морита, которое более гибко и полезно в приложениях.

Во- первыхи, карта Морита (также известная как слабая эквивалентность или существенная эквивалентность) между двумя группоидами Ли и состоит из группоида Ли морфизм из G в H , который, кроме того , полностью верен и по существу сюръективен (адаптации этих категориальных понятий к гладкому контексту). Мы говорим , что две группоиды Ли и являются Морита - эквивалентны тогда и только тогда , когда существует Группоид третий Ли вместе с двумя Морита отображающая G на K и от H до K . Более явное описание (полезно для проверки того, что эквивалентность Морита является отношением эквивалентности${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$${\displaystyle K_{1}\rightrightarrows K_{0}}$) требует использования группоидных главных (би) расслоений. ^[2]

Инвариантность Мориты [ править ]

Многие свойства группоидов Ли, например собственные или транзитивные, инвариантны по Морите. С другой стороны, быть эталоном - это не инвариант Мориты.

Кроме того, эквивалентность Мориты между и сохраняет их поперечную геометрию , т. Е. Индуцирует:${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$

• гомеоморфизм между пространствами орбит и ;${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$${\displaystyle H_{0}/H_{1}}$
• изоморфизм между группами изотропии в соответствующих точках и ;${\displaystyle G_{x}\cong H_{y}}$${\displaystyle x\in G_{0}}$${\displaystyle y\in H_{0}}$
• изоморфизм между нормальными представлениями групп изотропии в соответствующих точках и .${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\cong {\mathcal {N}}_{y}}$${\displaystyle x\in G_{0}}$${\displaystyle y\in H_{0}}$

Примеры [ править ]

• Изоморфные группоиды Ли тривиально эквивалентны Морите.
• Две группы Ли эквивалентны Морите тогда и только тогда, когда они изоморфны как группы Ли.
• Любой транзитивный группоид Ли эквивалентен по Морите своим группам изотропии.
• Учитывая группоид Ли и сюръективную субмерсию , обратный группоид эквивалентен по Морите .${\displaystyle G\rightrightarrows M}$${\displaystyle \pi :P\to M}$${\displaystyle \pi ^{*}G\rightrightarrows P}$${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Конкретный пример последнего примера выглядит следующим образом. Пусть M гладкое многообразие и открытое покрытие М . Его чешский группоид определяется непересекающимися союзами и , где . Исходная и целевая карты определяются как вложения и , а умножение становится очевидным, если мы читаем как подмножества M (совместимые точки в и фактически совпадают в M и также лежат в ). Группоид Чех фактически откат группоидом, при очевидном погружения в воду , тривиального группоиде${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$${\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M}$${\displaystyle s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }}$${\displaystyle t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$${\displaystyle p:G_{0}\to M}$ ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$. Таким образом, чешские группоиды, связанные с различными открытыми покрытиями M, эквивалентны Морите.

Гладкие стеки [ править ]

Исследование структуры пространства орбит группоида Ли приводит к понятию гладкого стека. Например, пространство орбит является гладким многообразием, если группы изотропии тривиальны (как в примере группоида Чеха), но в целом оно не является гладким. Решение состоит в том, чтобы вернуться к проблеме и определить гладкий стек как класс эквивалентности Морита группоидов Ли. Естественные геометрические объекты, живущие в стеке, - это геометрические объекты на группоидах Ли, инвариантные относительно эквивалентности Морита: примером являются когомологии группоидов Ли .

Поскольку понятие гладкого стека довольно общее, очевидно, что все гладкие многообразия являются гладкими стеками. Другие классы примеров включают орбифолды , которые являются (классами эквивалентности) этальных группоидов, и пространства орбит слоений.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Алан Вайнштейн, Группоиды: объединение внутренней и внешней симметрии, AMS Notices , 43 (1996), 744-752. Также доступно как arXiv: math / 9602220
• Кирилл Маккензи, Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии , Cambridge U. Press, 1987.
• Кирилл Маккензи, Общая теория группоидов Ли и алгеброидов Ли , Cambridge U. Press, 2005.
• Мариус Крайник, Руи Лоха Фернандес, Лекции по интегрируемости скобок Ли , доступно arXiv: math / 0611259 .
• Иеке Мурдейк, Янез Мрчун, Введение в слоения и группоиды Ли , Cambridge U. Press, 2010.