Покрытие пространства

В математике , в частности в алгебраической топологии , покрывающая карта (также покрывающая проекцию ) представляет собой непрерывную функцию от топологического пространства к топологическому пространству , так что каждая точка имеет открытую окрестность , равномерно покрытую ( как показано на изображении). ^[1] В этом случае называется накрывающее пространство и базовое пространство накрывающей проекции. Из определения следует, что каждое покрывающее отображение является локальным гомеоморфизмом . ${\ Displaystyle р}$ $C$ $X$ $X$ $p$ $C$ $X$

Покрывающие пространства играют важную роль в гомотопической теории , гармоническом анализе , римановой геометрии и дифференциальной топологии . Например, в римановой геометрии ветвление является обобщением понятия покрывающих карт. Накрывающие пространства также глубоко переплетены с изучением гомотопических групп и, в частности, фундаментальной группы . Важным приложением является тот результат, что для «достаточно хорошего» топологического пространства существует биекция между набором всех классов изоморфизма связных покрытий и $X$ $X$ классы сопряженности подгрупп фундаментальной группы . _ $X$

Пусть — топологическое пространство . Покрывающее пространство - это топологическое пространство вместе с непрерывным сюръективным отображением . $X$ $X$ $C$

такое , что для каждого существует открытая окрестность такая, что ( прообраз под ) является объединением непересекающихся открытых множеств в , каждое из которых гомеоморфно отображается на . ^[2]^[3] $x\in X$ $U$ $x$ $p^{-1}(U)$ $U$ $p$ $C$ $U$ $p$

Эквивалентно, накрывающее пространство может быть определено как расслоение с дискретными слоями. $X$ $p\colon C\to X$

Карту называют картой покрытия , ^[3] пространство часто называют базовым пространством покрытия, а пространство называют тотальным пространством покрытия. Для любой точки базы прообразом в необходимо является дискретное пространство ^[3] , называемое слоем над . $p$ $X$ $C$ $x$ $x$ $C$ $x$

Накрывающая карта удовлетворяет условию локальной тривиальности. Интуитивно такие карты локально проецируют «стопку блинов» над открытой областью U на U .

Gimbal lock возникает потому, что любая карта T ³ → RP ³ не является покрывающей картой. В частности, соответствующая карта переводит любой элемент T ³ , то есть упорядоченную тройку (a,b,c) углов (действительные числа по модулю 2

π

), в композицию поворотов трех координатных осей R _x (a) ∘R _y (b)∘R _z (c) на эти углы соответственно. Каждое из этих вращений и их композиция являются элементами группы вращений SO (3), которая топологически является RP ³ . Эта анимация показывает набор из трех шарниров, смонтированных вместе, что позволяетстепени свободы. Когда все три шарнира выровнены (в одной плоскости), система может двигаться только в двух измерениях из этой конфигурации, а не в трех, и находится в заблокированном шарнире . В этом случае он может наклоняться или рыскать, но не крениться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).