В математике , то гипотеза Атия это собирательный термин для целого ряда заявлений об ограничениях на возможные значения-Бетти числа .
История
В 1976 году Майкл Атья представилкогомологий из многообразия со свободным со-компактным действием дискретной счетной группы (например, универсальной крышкой компактного многообразием вместе с действием фундаментальной группы с помощью скольжений .) Атьи- определяется также-Числа Бетти как размерности фон Неймана полученногогруппы когомологий, и вычислил несколько примеров, которые все оказались рациональными числами. Поэтому он спросил, возможно ли-Бетти числа быть иррациональными .
С тех пор различные исследователи задавали более тонкие вопросы о возможных значениях - Числа Бетти, все из которых принято называть «гипотезой Атьи».
Полученные результаты
Многие положительные результаты были доказаны Питером Линнеллом . Например, если действующая группа является свободной группой, то-Числа Бетти - целые числа.
Самый общий вопрос, открытый по состоянию на конец 2011 года: -Числа Бетти рациональны, если существует оценка порядков конечных подгрупп группы, которая действует. Фактически, предполагаются точные отношения между возможными знаменателями и рассматриваемыми порядками; в случае групп без кручения это утверждение обобщает гипотезу о делителях нуля . Обсуждение см. В статье Б. Экманна.
В случае отсутствия такой границы Тим Остин показал в 2009 году, что-Числа Бетти могут принимать заоблачные значения. Позже было показано, что в этом случае они могут быть любыми неотрицательными действительными числами.
Рекомендации
- Атья, М. Ф. (1976). «Эллиптические операторы, дискретные группы и алгебры фон Неймана». Коллок «Анализ и топология» на почетном звании Анри Картана (Орсе, 1974) . Париж: Soc. Математика. Франция. С. 43–72. Astérisque, № 32–33.
- Остин, Тим (2009-09-12). «Рациональные групповые кольцевые элементы с ядрами иррациональной размерности». arXiv : 0909.2360 .
- Экманн, Бено (2000). «Введение в l_2-методы в топологии: приведенные l_2-гомологии, гармонические цепочки, l_2-числа Бетти». Israel J. Math . 117 . С. 183–219.